Institutionum calculi integralis volumen primum tertium ... Auctore Leonhardo Eulero ... 2 Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonh

541쪽

C A P U T V. ex quibus formulis, si iactores ipsius P non sint

euoluti partes integralis facilius reperiuntur.

xa r. si pro aequatione disserentiali praec dente quantitas algebraica Ρ inde formata sectorem habeat cubicum α--Σὶ' integralis partem inde

oriundam inuestigare. --... . . x

Solutio.

Ponamus ergo esse P - α--Σ ' VH-z R existente V α- ω, ubi ut pro quantitate evanescente assumitur. Quod

ergo ante erat Q id hinc fit Q sν--πὶ R, et dicto 2 α erit QT-ωR si etiam in R ponatur Deinde cum sit

Quocirca ex factore quadrato α- - κ)' per praecedens problema haec obtinetur integralis pars:

cuius ambo membra in infinitum excrestunt Ob aero. Adiiciamus autem partem ex tertio lactore

. o oriundam Diuitiam by Corale

542쪽

vriundam, quae ob φm sit -- α ὶ' R essa zigh x 'IH X dx posito z--γz-α tu. Quod si iam R ut ante is merit valor , qui Oritur posito ου - α ς augendo hunc valorem particula vi, loco L scribi debet

si quidem valorem α α - α et hic retineamus: unde haec integralis pari ob α -- Σ ta erit

sieqne manifestum est illum ipsius L valorem Vsque ad stcundam potestatem ipsius vi continuari debuisse, atque eadem lege hic alteram partem x inuoluen intem exprimi conueniet. Ad quod obseruo si habeatur huiusmodi formula Hi x V d x secundum potestates ipsius ω euoluenda , id hac ratione commodissime fieri. Posito

quare posito

543쪽

Consequenter cum in applicatione sit V x X erit pars integralis ex factore γ--z α- ω--z nata:

qua eum parte ex α - a)' nata iunctim sumta omnia membra infinita se mutuo destruunt, et pro quantitatis P α ία factore cubico i α--αὶ in integrale ingreditur haec pars ἔ

I 2 a. Methodus in stilutione huius problematis adhibita facile ad quotcunque factores aequales extendi potest. Si enim fuerit l α -- α ὶ factor quan .icatis Ρ , atque in hac fractione suisque Disiligod by Cooste

544쪽

5 3que differentialibus, postquam fuerint evoluta ponetis tur Σ te, partes integralis inde natae ita se habebunt Factor quant. P

12 3. Si fuerint duo pluresue factores duplices inter is aequales ramus - - αα f cos. θεν - I. sin. θὶ et βπί cos. θ γ' - I. sin. θ', partes pro ία--Σ ' et sβ--Σ ' seorsim euolutae methodo supra adhibita non dissiculter coniungetitur et ad realitatem reducentur.

1 a 4. Simili methodo, qua hoc caput est Pertractatum , in euesutione Capitis III. huius k-ctionis uti oportebat, neque tum ullum periculum in errores prolabendi fuisset pertimescendum. Superfluum autem nunc iret, errores ibi commissos hic emendare, eum non solum methodus plane esset eadem , sed etiam aequatio hic tractata facile in Br-mam ibi consideratam transmutari queat et vicissim.

V v v a Quodsi

545쪽

statuatur x la, ut sit dae V, lanctio autem X abeat in lanctionem ipsius v quae sit V , proueniet aequatio eius formae quam hic tractauimus. Dum autem ibi elementum dx pro constanti est habitum, ad hanc conditionem exuendam ponamus θ pdx, o dx, dq r dx, dr Idxete ut haec aequatio resultet :X V M BIγ--Cq-Dr--Es et Nunc autem ob dx v, adipiscimur elemento doconstante sumto :

546쪽

lare aequatio inter v et I erit haee

evius integrati mem hic docnimus. Imprimis autem notandum est quantitatem algebraicam P hinc mr-

mandam

--F ία-I )'-- etc. quae quantitas algebraica ab illa , qua in Cap. III. ad integrationem sumus usi, hoc tantum disteri , quod ibi littera a id quod hic Qrmula et I ex pressimus; ex quo etiam ambarum integratio facillime altera ad alteram reducitur. V v a

547쪽

statuatur x is, ut si dx v, sanctio autem X abeat in iunctionem ipsius v quae sit V, proueniet aequatio eius formae quam hic tractauimus. Dum autem ibi elementum dae pro constanti est habitum, ad hanc conditionem exuendam ponamus θ pdx , θαρ dx , dg r , dr -r dx ete ut haec aequatio resultet :X V AF -F- B p --C q-D r H- E s -- etc. Nune autem ob dx adipiscimur elemento doconstante sumto D - γυ

548쪽

Quare aequatio inter v et I erit h-

ad hanc Brmam reduei '

quae qzanitas algebraica Ead integrationem scinus .e 'Cuod ibi I. Vera a id in pretii mo, ; ex qLO et LITe Utera ad altaret

549쪽

unde indoles harum fiormularum iam magis fit perspicua , simulque Patet partem integralis ex aliquot factoribus Oriundam non pendere ab aequalitate reliquorum. Quocirca iam problema generale aggredi licebit. '

i Problema III.

I 26 . Proposita aequatione differetitiali cuiuscunque gradus huius formae: . .

ces exhibere.

Solutio.

--- - Sint primo sermae Ρ omnes factores simplices reales:

factorum numero existente zzn, et eX antecedentibus patet ex quolibet sectore nasci integralis partem. Ad has partes inueniendas , eliciantur sequentes valores:

550쪽

littera N ex superioribus formis per diuisionem tolletur , fietque integrale quaesitum : zz. x D' X dxΦ. x VP X dx a VH X - - etc. quoad singuli fultores suerint exhausti. Quodsi iam forma P factores habeat imaginarios, partium inde ortarum imaginariarum ad realiis talem reductio sequenti modo instituetur. Quoniam hini factores simplices imaginarii praebent sectorem duplicem realem , ponamus α--αὶ ' --πὶ G in eos. OH Ea ita ut sita ficos θη-V- I. sin. ρὶ et β cos. ἡ-V- I. sn. θ)Vnde primum valores literarum ei et ab definiantur , quarum cum utraque derivetur ex Brma illa posito zzz-α haec vero posito a - g ; in ipsa forma loco Σ viaque scribatur