Resolutio omnium Euclidis problematum aliorumque ad hoc necessario inuentorum vna tantummodo circini data apertura, per Ioannem Baptistam de Benedictis inuenta

61쪽

. subtractaver6 superficie.i.d.& eo quod est bis sub.c.d.&.e.d. quae quidem inuicem aequalia sunt, per supradicia)remanet ergo.c.b.latus, aequale datae lineae por tertiam conceptione. Si aut. d.b. maior fuerit, tunc perpendicularis extra triangulii cadetί ut superius dictum fuit)conficio enim quadratu, ex duobus quadratis linearu .c. d.&.b.c.per supradicta xv.huius, quod quidem quadratu subtraho per praedicta ex quadrato linear.b.d.data . ex residuo vero constituo superficiem rectangula aequi distatium laterii, prout docet.xiii.huius,st excpli gratia.

aut aduersarius dicat,i non,sed aequalis,luc quia, quod est bis sub. d.c.&.c.e cu eo qd fit ex .d.c.& quod fit ex b. c. aequale est ei quod fit ex .D.d.per hypothesim,sed etia,COadiuuante prima coceptione ei aequale est,id quod est bis sub.d. .&. .e.cu eo quod fit ex d. .& quod fit ex .c.e. per . iiii. secundi, subtracto igitur eo,quod est bis lub.d.c.

S.c.e .cum eo quod fit ex.d c. remanebit quod fit ex.c. e. aequale ei quod fit ex b c .ergo.b .c.smul lucta cli.d.c. in

62쪽

.e.Vt parS toto, remanebit per communem scientiam,

id quod fit ex.b.c. minor eo,quod fit ex .c.yd.b. T.y .er Sod .c.&.b.in longum directumq; coniunctar, minorem faciunt lineam, linea.d.b. quod es t contra hypothesim, est igitur.d.b .longior. l.e .postea vero subtraho quadratum lineae.d.e .ex quadrato lineae. .b.datae,& ex residuo c6ficio quadratu, ut docet.Xix.huius,cuius unum latuS tetragonale, si .e. b.vel per octauam huius, dic.& duco. l. b.&.c.b .erit itaque, latus .d.b. aequale lineae data .d.b.perquadrages mamsextam coadiuuante prima conceptione, di cum per .xii secundi, quod fit ex latere.d.b. aequale sit ei, quod est bis sub .d.c&.c.e .cum eo quod fit e S latere.d.c.& ex latere.cb.' per hypothesim est etiam ei aequale, quod est sub .d.c.&.c.e. bis cum eo quod fit ex

communibus quantitatibus, remanebit per communem scientiam) quod fit ex latere.c.b.aequale ei quod fit ex data.b.c.& latus.b.c. data .b.c.totusque trigonus compositus erit, ex tribus lineis, aequalibus datis, quod est pi opostum. Et contra illos omnes eccellcntissimos Mathematicos, priscos, modernosque, qui dixerunt ,

63쪽

LIBER impossibile esse hoc problema, alio modo posse cones di, quam ut docet. xxii. primi Euclidis, ego vero deo dante labente. Anno Diuinae incarnationis. M D LII. Die.xv.Octobris illud inueni.

PROBLEMA XXVIII. HUIUS,

ET II. Q. VARTI. Intra signarum circissum , triangulum constitvere, relat guto dato aequiangulum. Datus circulus sit.eM.f. triangulus vero.a.b.c. designabo enim triangulum aequiangulum triangula ab.c.in dato circulo.e.d.f.duco primum ab aliquo puncto extra ci culum dato, lineam tangentem circulum,per.XXml.h

64쪽

P R I M V S. a ius, punctus vero contingentiae st.d.linea autem tangens , sit .g.d. quam protraho in longum atque dircctu, quae quidem ex necessitate extra circulum cadet, si autem circulum secaret, tunc non esset tangens circulum, hoc satis patet. Deinde in puncto .d.ad lineam. d. h.co stituo angulum aequalem angulo. a.c.b. trigoni. a.b .c dati per decimam huius, protracta.ds usque ad circunferentiam, quod patet per.Xv.tertii, praeterea suprae de puncto, ad lineam .g.d.describo alium angulum,per supradictam decimam huius, aequalem angulo .a.b .c. dati trigoni, protracta.d.e.vsque ad circunfercntiam, deinde duco .es.' quia angulus.d.f.e.aequalis est angu-lO.g.d.e per .Xxxi.tertii, erit aequalis angulo a.b.c.per

65쪽

PROBLEMA XXIX. HUIUS,

ET III. Q. VAR Tl. Circa est sim assignatum, triogulum aequia'Humoreian

gulo dato, deesignare.

Sit circulus datus.d.e.fcuius centrum .g.circa quem, triangulum aequiangulum triangulo.ah. .eXtructuruS,pr traho a centro .g.ad circunferentiam, lineam. g.d.super quam,in puncto .g.constituo angulum aequalem, angulo.b.extrinsecos protracta primo.b.c.in Vtranque par tem ) sit itaque .d. g.e.per .X.huius, ct supra eodem puncto ad eandem lineam fled ex aduerso ) conficio angulum .d.g.f. per eandem , sed aequalem angulo .c.extrinseco, deinde per puncta .d.e .sduco per primam huius, tres perpendiculares, ad lineas .d.g:g.e.&.g.f.quas pr traho dum concurrant, clarum est quod concurrent, quia linea si intelligatur recte protracta, per puncta. l. ct sipsa quidem rectos angulos secabit.g. d.l.& .g.Cl. erui autem anguli ad partem .l. minores duobus rectis, concurrunt ergo per penultimam petitionem, concurrant igitur in puncto .l. ita etiam reliqua .e .h. h. Um .d.l. in puncto .h. praeterea cum enim demonstratum sit in trigesimasecunda primi,quod omnis quadrilaterus, quatuor angulos habeat aequales quatuor rectis, quadrilateri autem .d. fg.l.&.d.g.c.h. Vnus quisque inquam eorum , quatuor angulos habebunt aequales quatuor rectis, sed quadrilaterus .g.l.duos angulos rectos habet, hoc est g.d l.&.g.fl.per hypothesim, remanebunt a

66쪽

D R I M V S. tem anguli .d. g f&.fl .g. aequales duobus rectis,per teratiam coccptionem S cum angulus.d.g.f. a riualis sit angulo .c.eXtrinseco, erit angulus i. aequalis intrinseco per decimam tertiam primi, & tertiam conceptionem, per easdem etiam rationes,angulus d. h.e .aequalis erit angulo .a.b. .erunt ergo anguil .l.&.h.minores duobus rectis, per primam conceptIonem,&.XXΣil primi, concurreterm .e. h.cum .l.fin puncto. S angulus v. arctualis erit angulo. a per praedictam igitur trigonus .h.h. .a quia gulus est trigono dato. a.bM.quod cu propositum. O i irris . v. Iq rt: Di m2 iurarυ sup L. . b. u. f. h. o. iluu

PROBLEMA XXX. HVIUS,

67쪽

. LIBER huius, quod sit .e per quom protraho diametrum.b .e. l. super quem, a puncto .e .crigo perpendicularem, per primam huius, quam tu utranque partem protraho, viqi ad circunserentiam, sit ital. a.e .c.deinde duco. a.b. b.c:c. d.&.d. a.tunc dico, quod .a.b.c. f.est quadratum,na omnes anguli ad .e .inuice sunt aequales, quia recti sunt, per definitionem lineae perpendicularis super lineam, &Omnes lineae scilicet. a.e.b .e: e .c &.e.d. inuice etiam a quales sunt, per definitionem circuli, lineae igitur .a.b b.c:C. d.&.d. a. aequales inuice sunt per . illi .primi, deinceps a guli .e .c.d &.e.d.c. aequales inuicem lunt, per . V. primi, &vni recto aequales,per.xxxii. primi, ergo unusquisi e rum est dimidius recti, similiter & anguli .e. d. a &.e .a. d. erit ital angulus .c.d. a rectus,& similiter angulus .d.a b. N. angulus .a.b .c.& ita reliquus, ergo costitutum est qua

dratum iu proposito circulo, quod erat propositum.

68쪽

PROBLEMA XXXI. ΗVI Us.

ET VII. Q VARTI.

Circa datum circulum, quadratum designare.

Datus circulus st.a.b.c.d.cuius centrum inuenio, per vigesimam huius, sit illo.e.circa quem circulum, constituam quadratum , produco primum diametrum . b.e.d. ad quem a puncto.e. erigo aliam diametrum perpendiculariter,per prima huius, quae sit .a.e .c.deinde a quatuori unctis,scilicet. a.b.c.&.d.extraho quatuor perpendicua res per primam huius,quae exempli gratia,sint.a.fh h.

pter hoc,qui a s linea intelligatur ab. a. ad .d. recta, ipsa qdem secabit angulos .a.&.d. qui quidem recti sunt per definitionem lineae perpendicularis super lineam,anguli

igitur partiales, minores erunt duobus rectiS, ut pars,toto minor est, ergo por penultimam petitionem concurrunt ad .h.' cum omnes angula ad .e. recti sint per definitione perpendicularis lineae super linea,erit angulus .a .e. d. rectus S per eande,anguli .e.a.h.&.e.d.k. recti sunt,deinceps per ocmostrata in. xxxii .primi, angulus. k.rectus est na ibi demonstratum est φ omnis quadrilaterus, quatuor angulos habet,quatuor rectis aequales per easdemetia rationes, anguli .r.g.&.h. recti sunt, demu .Lk.amluidi stans est.b.d.per. xxviii primi na anguli.k.a .e.&ae.d. recti sunt ut demostratum est) per easdem rationes et . g. i. a quidistas est.b. d.crit enim P. xxx.primi .g. h.a quidistas fk.deinde P easde rones praecise .g.f. a quidistans et .h. h. eriat igitur .g.f.&.h.h.inuice aequales per. xxxiiii primi, P

69쪽

quam etiani kl, aequalis erit.f.k.ct cum una quae pie linearum .g. f.&.hin.a qualis sit lineae vel diamctro. ac .per supradictam trigesimamquarta primi,per quam etiam . f. h.Vel.g. h.a qualis.b.d.&.b. d. aequalis .a.c. nam diam tri omnes eiusdem circuli, sunt inuicem aequales )erit .g. I. f. aequalis.b.d.per primam conceptionem, ted.b. d.a qualis et is. h.vel.g.h.ut demostratum est, per eandem ergo primam coceptionem .g.fa qualiS est.fk.etiam .g. h.per easdem etiam rationes. h.k.aequalis est .fk.vel g n igitur s. h. h.g.quadratus es est etiam circa datu circulum delignatus nam per correllarium.Xv.tertii OmneS quatuor taeae tangunt circulum,quod est propositum. ET X. Q V ARTI .

Duorum aequalium Leerum triangulum designare , cuius uterque duorum angularum, quos basis obtinet , reliquo duplus existas. sit exempli gratia linea data.ah.nam eam primum diuido

70쪽

in puncto c. per. xvi. huius, ita lid quod fit ex .c.a. aequale sit ei quod est b. a. b.&.c.b. Tunc erit per. Xiii.sexti .a. c. ad .c. b. Vt. a. b. ad .a .c. deinde super lin ana aequalem. a. c. qua per . viii huius, inuenio quRst. b. d. de ligno triangulum duorum aequalium laterum, per . v xii. huius quorum alterum sit .a b. vel ei aequale per . viii huius, si itaque triangulus .a. b. d. quem probabo facere prUblema, ducta porro. c. i. erit modo. a. d. ad .d b. Vt .a.b. ad .d. b. per septimam quinti, sed per eandem. a.b. ad. b. l. est ut

decimam ciuidem, deinceps cst d. b. ad .b. c. Vt .a c. ad .c. b per supradictam septima quinti, erat etiam. a. c. ad C.

xi.'iunt habet, erat qu07. a. b. ada .c. ut .a. d. ad .d. b. erit modo per praedictam .d.b. ad. b. c. Vt. a.dad.b. d. at angulus. a. d. b. aequalis est angulo. a. b. d. per quintam primi, nam per hypothelim .a. d. aequalis est .a b. ergo per vi. sexti angulus d. c.b. aequalis angulo. b.& reliquus .c.d. b. reliquo .a Aia.d: d.b. per . vi. primi, sed .d.b. aequalis est. a. c.per hypothesin,erit etiam .c. d. eidem aequali per pramam codeptio Dena: anguli Vero .c. a. d.&.c. d. a.muicem erunt aequales per .Vi. primi, angulus autem . . d.b. a qualis erit angulo.c.d.a .per primam conceptione, erit italangulus totalis, hoc est.a.d.b. pericommunem scientiam in duplus ad angulum .a.d.c.etiam ad angulum .a. per conceptionem, & per sequentem postea conceptio-gulus.b. duplus erit angulo. a. quod est pro-

positum.