Institutionum arithmeticarum libri quatuor. In quibus, regulis et exemplis practicis, breuissime et calrissimè explicantur. ... Cum appendice fractionum astronomicarum. Et indice capitum, articulorum, & rerum praecipuarum. Ab Ioanne Lantz, è Societat

31쪽

Abiice tam ex quoto, quam ex diuisore ', quoties p tes. residua in superiore. domuseriore crucis parte posita, duc in se; atque ex eo, quod inde fit, &residuo diuisionis si quod suerit rursus biice 9, quoti potes: res duo huic si aequato suerit residuum numeri diuidendi, probabile est operationem bonam esse. Si aequale nota

suerit,icertum est erratum esse. Exempli causa, reiectis ex quo cis 9, quoties fierip test, restant in primo exemisplo,o, in secunO 6.in tertio,o; in quarto p. quae ponum tur in suprema parte crucis. Reiectis quoque s ex diuisoribus. quoties fieri potest, restant in prImo exemplo r; in secundo vi, in tertio Min quarto 8, 'u ponuntur in inferiore parte crucis. Ductis iam residui3 illis in se, producuntur in primo exemplo, os in secundo a , in tertio, o; in quarto 16. His si addantur residua diuisionis, fient in exemplo secundo nam in primo, isc.quarto nullum est residuum 2 21: in tertio 8. Reiectis unc rursus 9, quoties fieri potest, restant, in primo exemplo, o, in secundo I; in rq io 8, in quarto x; quae a salterum latus crucis ponuntur. Quod si reiectis 9, qu ties fieri potest, ex nomeris diuisiendis. superfuerin , in exemplo primo, o; in secundo II in tertio 8; in quarto i, probabilesst operationes probas esse. Certissima probatio est, quae fit per Multiplicationem, hoc modo. Ducatur diuisor in quotum, producto addatur residuum diuisionis, si quod fuerit; nam si hoc ultimum productum, aequale fuerit numero diuidendo, recte se habet operatio. Eodem modo per dis uisionem multiplicatio examinatur. Si enim produ-

32쪽

ctum diuidatur per alterutrum multiplicantem , atque in quoto alter multiplicansprouenerit, recte se haber

mus signifieat dimidium I; seeundus duas tertias Diates alicuius yntegri, hoc est,inserior significaticitum ali quos dimisum esse in tres partes; at superior ex tribus illis, duasiduntaxat aeceptas esse innuit . Tertius sit, gnificari es quartas partes. 'Quartus quinque septirria2. Quintus septem duodeeiman Sextus bE ginta unam centesimas vigesimas. y Inferior dicitui Denominator, quod nominet, in quoipartes totum sit diffisum: Supe TiorNumerator,quod numeret partes accepeas ex paribbus, inquiis totum diuisam est. Exempli cam sreus inet diuisus in partes, & ego ex illisaccepissenae et , haberem si, nehipe viginti septeth strigesiman hoc est, 27 cruciseros Sed iam ad praecepta peri

FRACTIONES A αδσι

nores terminos reduc re

33쪽

ehre, vi tath numerator, quam denominator minores quidem fia ', eandem tamen, quam prius, proportionem inter se conseruent: ita ex hac fractiones, potest& haec fieri & haec I, siquidem in omnibus tribus denominator est duplus numeratoris, Omnesque dimi. dium significanT . Reducturus ergo magnam aliquam fractionem ad

minores terminos, subtrahe tandiu minorem terminuex maiore,donec subtrahendus,& residuus, aequales fiant. Aut diuide tandiu maiore per minorem, donec nihil remaneat; tunc enim uterque Denominator, & Numerator diuidendus erit per residuu illud, aut ultimum , idiuisorem . Sit haec fractio si ad minores terminos reducenda : subtrahe 63 exsi, restant 28. Deinde subtrahe 18 ex63, restant 3 1: rursus subtrahea 8 ex 3s,supersunt r. Item subtrahe ex 28, restanti a I; iterumque subtrahe ex at, restant I ; ac deniq; subtrahe 7 ex

x , supersunt , quae est utriusq; numeratoris Sc denominatoris mensura maxima, per quam si tam isy,quam

9 r, diuiseris, prouenient9, & 1 3 ; erit igitur haec tractios λ, ad hanc reducta. Vel diuide 9 I per 6 3. restant 28; deinde diuide 6 3 per 28, restant 7: deniq; divide χῖ per γ, restat nihil: erit igitur vltimus hic diuisor τ, numerus per quem tam v I, quam ε 3 diuidendus est. Quod si in hac mutua subtractione, nunqua subtrahen-xilus residuo aequalis fiat & in mutua illa diuisione, semper aliquid supersit, donec ad unitatem perueniatur, ni Poterit illa frachio ad mibres ter inos reduci, ut videre est in hac fractione , quae ad minores terminOS reduinci nequit. Dicitur numerus,per quem Vterque, tam Numerator, quam Denominator diuiditur,comunis utrius

34쪽

a 3 D R., Nu M B O s FRACTIs Numeri vero , qui eiusmodi mensuram habent , di cuntur numeri inter se compositi; qui non habent. di. cuntur inter se primi,ut videre licet in septimo Elemen. torum Euclidis. .

DUAS MUT PL URES

fractiones, ad eandem denominationem reducere .

Reducere fractiones ad eandem denominationem is est efficere , ut eundem De nominatorem. acquirant . Duas ergo fractiones ad eandem denominationem reis ducturus, multiplica inter se denominatores, ut habe tur communis danominator. Pro numeratoribus v ro nouis, duc denominatores in numeratores per crucem . Exemplum . Sint hae duae fractiones ἔXI, ad eandem denominationem reducendae. Duc denomiis natores in se,& fient 24, communis Denominator. Pro

Numeratoribus duc per crucem, ὁ χI l H, pro primo 3 in 6; pro secundo I in , ut fiant i 8 & 2o, ut in exisemplo apparer . Valent igitur idem tam ἱ quam Σ, L . Reducturus tres. quatuor aut plures fractio- sies ad eandem denominationem. duc prinis Denom . natorem in Denominatorem secundae productum in De nominatorem tertiae; & hoc productum in De nominatorem quartae Scc. Et erit postremum productum.

Denominator comunis.Pro Numeratoribus nouis, dilenumeratores reducendos in denominatore iam inue

35쪽

& erut quoti numeratores noui. Exemptu. sint hae quatuor fractiones ad eandem denominationem reducendae. Duc De non inatore, in se, hoc est, a in 3,& fient K ; hoc productum in fientque a , hoc in f,& fient i Eo, communis innominator. Pro primo no- uo Numeratore duc 1 in ιχo, productum diuide per ΣEc prouenient 6o. Pro secundo, duc 2 ini 2o, productum diuide pers, & inuenies 8o. Pro lsrtio, duc 3 in I ao, productum diuide per & prodibunt so. Pro quarto duc in i 1o, productum diuide, per 1 dc reperies 96, ut in his exemplis apparet Ulla, Sed obseruandum, denominatorem commune n fieri posse minorem, s productu praecedentium denominatorum, Sc denominator sequentis fractionis, habeant communem mensuram. Ut in his l, , ἔ, φ, habent productum duorsi priorum denominatorum, quod est 6, Ac denominator sequentis fractionis, qui est , hanc mensuram aue Ur quam si tam 6. quam 4, diuiseris, prouenient 3 & 2. Si rursus aut 6 in quotu 2 aut 4 in quorum 3 duxeris, producetur trium priorum fractionum communis denominator I 1. Hu: in denominatorem quartae ductus , producit communem omnium De nominatorem go. Si iam porro per regulam traditam ioperatus fueris, inuenies has fractiones , ζ ad

36쪽

ue 4 in 3 duxeris, reperies , α. Iam qiso D, denomin tor primae Ae secundae fractionis, & i 8 denominator temtit habent communem mensuram 6, si per ea in tam 1 r,' quam I 8 diuidas, prouenient a & 3; quare si vel isin 1, vel 1 a m.duxeris, prouenient denominator

communi, K,lI, Is Numeratores nouos facile per supra dicta, inuenieS.

subtractione fractorum

Nihil est facilius,quam duas, aut plures fractionesi, uicem addere, aut minorem ex maiore subducere. Nam si duae, aut plures, eundem habeant denominatorem ψadduntur inuicem Numeratores , dc supponitur illis communis denominator. Vt si hae fractumes. - φ, ν eundem habentes denominatorem addendae sint, adduntur 3,s, si Sc conflantur 14, quibus suppomttire anuuis denominator 7, hoc modo . Si iam i per diuiseris, prouenient et, summa dictarum fractionum. Si habeant diuersos denominatores,reducuntur prius ad eandem denominationem; ac deinde, Ut prius, numeratores inuicem adduntur. Sint inae fractiones I, LL, T. addendae; reductae iaciunt has summa numentorum est ' , qtra per 3 6 diuisa, prouentur an, siue ara , in minimis terminis. 7 vero X, L, ad eandem denominationem

reducis, iaciunt ti, Il, s i solam norustratorum;

37쪽

LIB. I. CAP. II. ART. III ac est ue ergo summa omnium n. Eodem modo, si Bactio minor ex maiore sit subtrahenda, agendum est. Et si quid em eundem habeant denominatorem, subtrah

rur minor numerator ex maiore, residuo sipponatur

communis denominator. Vt si haec fractio ν ex hac sic thbtrahenda subtrahantur a ex restant s,quibus si supponantur τὸ fiet residua haec fractio φ.

Si non habeant eundem denominatorem, reducanis dradeunde; deinde subtrahatur minor numerator exqualore, residuo supponatur communis denominator Ut si haec Vl. ex hac a F, sit subtrahenda, reductae ad eandem denominationem, iaciunt stil, in minimis terminis ,-δc I s subtracta ex 3 , relinquunt 1 9, quibus si supponatur communis denominator 3 fiet reliqua haec fractio H. Contingit interdum, ut maior fractio ex Gnore si subtrahenda , quandis nimirum fractis integra adhaeret. Exempli causa, sint i 2I ex a b subtrahenda, quia fractio haec maior est, quam haec φ; siquidem in s ducta plus iaciunt, quam 6 in a. semper autem illa fractio

maior est, cuius numerator in alterius denominatorem ductus, plus facit, quam alterius Numerator duehus in denominatorem ipsius) si inquam 12b ex 24 subtrahenda proponantur, Bangatur unum integrum,hoc est. a 3dantur ad Numeratorem fractionis septem, dc tollatur unum ex integris, hoc modo Σιφ. Iam si subtrahantur Ia ex 23; dc I ex restabunt Nam ad eandem denominationem reduetae, faciunt-, ari , Ac ex subtracta, relinquunt ergo si 1 exa subtrahantur, restant 1 1

38쪽

DE MULTIPLICATI ο-

Multiplicatio. &diuisio fractorum faciles sunt: nams in Multiplicatione, tam Numeratores,quam denomirnatores in se multiplicetur, perfecta erit multiplicatio. Sit haec fractio in hanc ἔ multiplicanda; duco tam superiores 7,s,qua inseriores 12, 8 in se, & produco Si una per alteram sit diuidenda,inuertendus est diuissor,& postea ut in multiplicatione operandum. Sit haeca a per hanc diuidenda. Inuerto diuisorem sic o quo facto, duco tam D in 7, quam Ia in A, dc produco hanc fractionem siue facta diuisione) hane semper enim, quando se perior maior est inferiore,'diubsio fieri potest, licet non semper sit necesse , imo inter dum commodius est si non fiat'. Quod si,ut saepe contingit,sractis adhaereant integra, frangenda prius sunt integra,hoc est, multiplicanda per denominatorem, dc productum Numeratori addendu. Sint haec 1 aν per multiplicada: duco I 2 in 7, & pro . duco 8 quae addo Numeratori,& cocto ν ductis iam tam 89 in , qua in9, produco Iσ,&,sacta diuisione, . Jgitur si multiplicentur I ab Per producutur sSi sint i 1ν per ' diuidenda,inuerto diuisorem sic Se diuidendum, ut prius,resolvo, stabuntque sic numeri -iductis igitur tam superioribus, quam inferioribus in se, producuntur H , siue, facta diuisione, si ergo I ab per ' dividantur, proueniunt 28ss. Cur autem cu integer per fractu multiplicatur, minus integfo;

39쪽

LIB. L CAp. I L - et 8 eum vero integer per fractum diuiditur plus integro

proueniat, dicetur. lib. I. cap. q. art. 6. Annot. a, Si viriq; stactioni adhaereant integra, Vtriusq; integra Yesoluta , numeratoribus addi debent, ac deinde iuxta tradita regulam agendum. Sint enim per multiplicanda, resoluta sic habent ἶ,mductis tam se perioribus,qua inserioribus in se, sic di facta diuisione se sues c 28l. Si vero sint per se diuidendi nuerto diuisorem, stabitq; sic exemplum Rἶ , & facta multiplicati ne sic , & divisione se Deniq; si integer per fractum si multiplicandus, suin Pono integro unitatem . Ut si velim Ia per I multiplicare, stabit sic exemplum V, I , facti multiplicatione sie Us ; dc giuisone sic Eodem modo, si velim xi per A diuidere, suppono

integro unitate, 6cinuerto diuisorem hoc modo φ, quefacta igitur multiplicatione producuntur & diuisioneao. Ergo si s a per I dividantur, proueniunt ZOα

Cccurrunt interdum fractorum fractionem , quod quando fit, duc tam superiores,quam inseriores in se, de habebis illorum valore. Vt si sit huius fractionis hae e fractio I. reduces eas ad hanc siue ad hanc . Si huius haec ν, reduces eas ad hanc siue ad A siue ad I sitam si Io ponitur viginti una lexagesimς unius florent, erunt viginti unus cruciferi ac proinde tres septimaec 1 viῖu1

40쪽

DE REGULIS, ET

Multi multas tradunt regulas, suo quilibet instituto adcommodatas. Ego quatuor, saluo aliorum Iudicio. 4ufficere. ico. Auream nimirum illam proportionum regulam , : Regulas item Consoriij, Alligationis, in positionum .

DE REGULA PRO-

Vt haec regula melius intelligatur, aliquid de propo tionibus dicendum est. Scire ergo oportet, tunc qua tuor numeros apud Arithmeticos dici proportionales, si primo, & tertio in quemcumq; numerum multiplis to ; Item Aundo, & quarto, in eundemis, aut alium quemcumque, semper quando productum primi maius est producto secundi, etiam productum tertii maiussi producto quarti. Et si productum primi sit aequale , produino secundi, etiam productum tertij aequale si producto quarti. Ac denique si productum primi mianus sit proditisto secudi, etiamproductu tertii minus sit producto quarti. Si inquam hoc semper contingare, tunc quatuor illi numeri dicuntur esse proportionales etsi vero non semper contingat, proportionales non dim