장음표시 사용
41쪽
quando Mnitus.ex primo ., &nito ex secundo, & tertio. Unde congat in Multiplicatione productum, duos multiplicini es, & unitatem , esse proportionales: si nimirum produenistis; viii Laextremas, multiplicantes mediaς sedes oeta niM ' Eρώ dem modo in diuisione proportio nal Nutas rus dulidendus, Diuisor, quotus , dc vn taN scdhisti,n- dus,& unitas extremas, Diuisor, MIquotus medias se. des occupen' Sed cuna de Mopor ο'ςἐlura dicen-ciproca simplex, Directa composita, Keciproca --.polita . . Dicitur haec regula, etiam regula trium , quD3 iex pribus numeris natis, quartus ignotus per illa'i eruatur. Dicitur quoque,propter praemoriam,qua reliquag1uperare, regula aurea.
. In hac regula semper sunt tres numeri cogniti, quorum duo homogenei inter se sunt, tertius homogeneus numero inueniendo. In collocatione primo loco ponitur ille homogeneus, qui quaestionem anneXam non habe , seu cuius valoriam cognitus est. Reliqui duo noti, ponuntur secundo & tertio loco, secundo quidem homogeneus inueniendo, tertio homogeneias primo loco ponendo. Quod etsi in directa opus non est, , a C ι
42쪽
in reciproca tamen necessirium prorsus est . Facta collocatione ducitur secundus in tertium; productii
diuiditur per primum, &prouenit quaesitu ia
. Vtimur in exemptis moneta in Romano imperio usitati re, nimirum aureis, irrarus, cruciferis, ct obolis. Aure habet a o triarios, 6 o cruciferos, o obolos. Triarius has cruciferos, aι oboloa. Crucifer habu obolos. Ε x Ε M P L A. iExemplum primum. 2O aureis emo Is ulnas panni, quot ulnas emo 1 aureisi Hic vides homogeneos esisao, & 4s aureos, dc quaestionem annexam habere 4rai reos. Primo ergo loco pono 2o. au. secundo, I 6 vunas. Tertio 4s aureos,hoc modo. 2oau. I is vl. l 41 au. Facta operatione iuxta regulam, reperio 3 6 Vinas. Nam . 1 6 in os ducta gignut 72o, quς per χo diuisa, reddiit 3 q. Secundum exemplum. Quidam dat pro mensa uno die 9 cruciferos, quaero quid uno anno dare debeare Sciendum hic est, unum annum habere dies 3 6s. stabit ergo sic exemplum 1 D. l scrvc. t 36s D. Facta op ratione reperies cruciferos 3 28s, quibus divisis per sci quod unus aureus 6o cruciferos habere ponatur, ree
ries aureos 1 4, cruciferos 4s. Atque tantum uno anno dare debere. Tertium exemplum . Vna libra earnis venditur seruciseris, obolis, quanti venduntur Ioo librae Resolue cruciseros in obolos, hoc est. duc in I: producto adde fientque 1s oboli Quo facto sic habet exema plum.i lib. t asob. t ioci lib. Operatione iacta reperies asco obolos, quibus per εχ odiuisis quod . unus a
43쪽
eus Σo obolos habere ponatur P proueniunt aureis, restant oo oboli. Quibus per diuisis, proue
niunt sy cruciferi, restat unus obolus. Ergo si l. libra carnis vendatur 3 cruciseris, Obolis, vendentur Ioo librae, aureis s, cruseris S , obolo Uno.Quartum . Io aureIs, 2s cruciferis, emo 2 vrnaz3c a mensuras vini : quanti emta et o urnas i Quia in hac quaestione libmogeneae res sunt Vrnae, &menia surae, dc quaestionem annexam habent 2o Urnae . de bent primo loco poni 2 urnae, & 3 2 mensurae, adeoque quaestio in hunc modum formanda . Vrnae χ, Sc ramenturae dant Ioaureos, χr cruciferos; quid dant Eo 'urnae' Resolue urnas in mensuras, aureos in cruciferos habet una urna mensuras 6 , Unus aureus 6O cruci&ros 9 6c stabit sic exemplum . 16o Mensi l sis cruc. lx igo Mens t Facta operatione reperies Iocio crucise ros, quibus per 6o diuisis, proueniunt 8 3 iurei, restant
χο crueiseri. Ergo si Z urnae, ν 2 mensura muntur 1 oaureis, 21 cruciferis, ementur ZO Urnae, 83 aureis, 2 a
QMntur .. Quidam emit 2 au. I 8ἱ crucis It vlnas panni, quot emet ulnas, 8 9 au. o cruciferis Duo aurei habent I ho cruciferos quibus si addas i8ἶ, crucuferos habebis r 38ἶ. aurei 08 habenis 88o crucis quibus si addas o crucis conflabis 3 9 2o. Exemplum e go, facta resolutione fractorum , integro unitate supposita, dc termino primo, qui diuisor est, inuerso, sic star' iri Ductis in 3 produco I 2; his in s 9 1 6 progigno Ilo O, qui est numerus diuidendus. At da, sto I in χ creo 2, his in efficio Irio,qui est diuisor. Diuisis ergo IIo o per Is Io, proueniunc σε Uinae.
44쪽
3 3 DE- REGULA PROPOR IONVM Sextum . Quidam mercator emit Monachii 4o
C medimnos salis, quemlibet'Uno aureo, s cruciferi .
Hos Noribergam vexiti atque Monachio Ingol stadiunxvsque pro vectura, & Vectigalibus expendit pro quolibet medimno s cruciferos : Ingol stadii vendidit medimnos, quemlibet 2 aureis, reliquos χχo Noriberingam vexit , deditque pro vectura, & vectigalibus pro quolibet medimno cruciferos.; quaerit si ro auteos lucrari velit, quanti quemlibet medimnum Noribergae
vendere debeas ' Dico primo unus me di mus dare I au. 1 . crucis. siue II cruciferos, quid dant ψoci m dimnis' Et reperio cruciferos 16Oo. Quia Vero. pr quolibet medimno expendit s cruciferos, si duxero sin UO, reperio crucif. 2oOD. Iterum, quia, Ingol stadio Noribergam pro quolibet χχo medimnorum expendit cruciferos, duco 22o in , & produco 88o cruciferos. Summa omnium est aureorum 8 O S. Porro quia i 8 o medimnos vendidit au. quemlibet me. dimnum E aureis, si 3 6o aureos ex 8 o 8 subtra so, relinquentur 4 8 aurei: sed quia ro aureos vult lucra. ri, addo illis. 3o, ut fiant 478. Atque hos aureos diuido per ino medimnos Noribergam vectos. inuenioque quemlibet 2 aureis, Iri , .cruciferis vendenda esse. Nam si dividantur 478 per ino, proueniunt Rau. restant 38 ; quibys in 6o ductis, productoque peraro diuiso, proueniunt Iolr cruciseri. Septimum. Mercator emi ' 8 ulna& panni Io a Vult IO ulnas Vendere Is aureis, quaerit quot vinae sibi emendae sint, ut lucretur Ioo aureos Z Dico primo. 8vinae dant Io au. quid dant Io vinae 3 & reperio au. Ergo si 8 ulnas emit Io aureis, emet Io vinas tal
45쪽
6, per inseriorem euacuatur. horis. Ἀλω u utraq; continuo fluare, quanto tempore cisterna impleat in rQuia 6 horis tota impletur, implebitur Imbura a Q. sternae. Et quia 8 hqrjs xot' ep/cuaxur, euacuatutu una hor I cisternae. Si rgo *btraham . ex renabit pari cisternae, quae una hqra impletur, nimirum lat.
Quare si una hora Mi se cisternae, implebitur
Nonum . Est cisterna tres habens fistulas aequaliter,& continuo su nN3, perpum3mi impletur , per se-Cundam si, Per tertiam Ia horis. Quaeso stomnes fimul fluerent', quanto tempore cisterna impleretur Prima una hora implet 2 . in ecunda a. . Tertia Sae custernae: ergo omnes si Luna hora implent S cisternae. Si dicam. cisternae dat unam horam, quid dat una cisterna λ reperio 2 horast. Atque tanto te ore, si omnes fistulae fluerent, cisterna impleretur. Decimum . Petrus dat Paulo as ulnas panni nigri pro s ulnis panni rubri, cuius quaelibet vina constat 33 cruciferis, quaero quid valeat una vina panninbgri Petri λ Quia una vina panni rubri constat 3 3 cruciferis, constabunt omnes simul is 1 crucis. Sed 3c tantum Valent omnes panni nigri: ergo una valebit crumseris Q. C s Vnde
46쪽
Vndecimum. Tres opifiees absoluunt aliquod opes Primus solus laborans absoluit illud et O , alter so; si tertius accederer', absoluerent id omnes simul io diebus. Quaero quanto tempore tertius solus absolueret λ Primus uno die absoluit is seeundus . ; uterq, simul totius operis: qua subtracta ex l- portione, quam Omnes simul ,no die absoluunt, restat portio tertii. Ergo si tertius uno die absoluit op et1ς, absoluet totum so diebus. Nam si dicam, primus vo diebus a soluit totum opus, quid seno die t Reperio Eodemi modo fecundum uno die reperio absoluere L S. Vter que ergo uno die absoluit operis. Et cum omnes id absoluant so diebqs, ab Uluem uno die Subtracta ergo ex L . restat Iz, Id quod tertius uno die absolui . Si ergo tertius uno die absoluit ri operis, absoluet totum so diebus.
Aliter. Quoniam primus absoluit opus 2 o diebus, absoluet io diebus dimidium operis . hoc est, Aiter, quia-diebus totum absoluit, absoluet ic diebuti operis: uterque ergo ro Iebus absoluet ζ operis: Ergo tertius io diebus issolueta operis. Ideoque totum so diebus. Duodecimum. Duo tabellarii e diuersis ciuitatibus 1 o milliaribus distantibus eodem die exeunt. Primus quolibet die conficit τὶ Alter i milliaria : quaero quoto die conuenturi sinU' 3 Uterque simul conficiunt, a 2 milliaria. Si ergo dicam 1χ milliaria dant i diem, quid dant 1 o milli1ria λ Reperio χo diςs : conu
nient ergo die vigesimo. Decimum tertium . Est moletrina tres habens mo- las. Prima i 4 hqris molit Io modios, altera Io
47쪽
horis cinines molae 3 o modios molere possint Pruma na hora molit I: altera A: tertia Φ: ergo omnes
Iam dicorii modij requirunt i Η, quid requirunt o modij λ de inuenio Io ἱ horas
Decimum quartum,. Est turris, cuius' i sab terra latere. aquis immersa est, supra aquam eminent pedes Iso. . Quaero quot pedum sit turris, quot item te ra. & aqua occultentur λ 4 & iaciunt ergo in terra dc aqua sunt, is supra aquam eminent'. Si L
gitur abiectis denominatoribus, dicam. s l Iso i 7,
reperio a Io, qui cum i so faciunt 36o pedes , cuius 4 sunt so: sunt retor ergo 9o pedes in terra sunT', Oo aquis immerguntur , dc tota turris est 36o p
Decimum quintum . Quidam mercator emit Icio inas panni 8o aureis , vult autem Σ3o vinis lucrati . O aureoS. Quaero quanti unam ulnam vendere de beat ' λ Dico. Ioo vl. t 8o au. t 2 3 ovi. 3c reperio rI 84 au. Addo o ain ut fiant 2 24 aurei, dicoque Σ3ovi. t aa au. t Iul. Acinuenio unam ulnam vendendam esse cruciferis. Resolui enim 2 24 aureos in cruciferos, & reperi I 3 o, quibus per a3. d, uisis, prouenerunt 28ly cruciserio Decimum sextum . Quidam vult mutuos accipere Io aureos, ea lege, ut sibi aequali numero dentur triarij, eruciferi & oboli. Quaero quot accipere debearet Dece aurei faciunt triarios χoo, cruciferos coo, obolos hoci: ergo unus triarius est am, unus crucifer unus obolus dece aureoru: omnes ergo sunt
48쪽
ditatur, prouenient I Α - atque tot triarios ; tot cruciseros, Sc tot obolos accipere deberi Faciunt enim
unt 2oo triarios, hoc est, IO. aureos. ι , L
Regula reciproca simplex est, quando termini lio. mogenei seu primus, dc tertius permutantud: quando autem permutandi sint, ex ipsa quaestionσiudicandum est. Permutatione facta operatio fit, ut in simplici dia
Primum exemplum. cum modius tritici venditura aureis, fit panis pistorius ira unciarum : quaero quotvnciarum esse debeat, si modius vendatur reis λ Sic quidem stat exemplum. 3 au. t Iavnc. t 4 au. Sed pe mutatis terminis homogeneis notis sic. 4 au. l a r unc. l3 au. Facta operatione proueniunt unciae s. Quod autem termini sint permutandi, ratio haec est. Quia si non permutarentur, prouenirent is unciat, quod fieri non potest: siquidem certum est, quo carius frume tum vendit hoc minorem fieri debere panem ia Eringo si panis,eum modius frumenti venditur aureis, sit
unciarum is, debere necessario, cum venditur 4 au- reis, pauciorum esse unciarum: quod ut fiat regula Rociproca utendum est. Unde fit, ut in collocatione peris mutetur termini homogenei, hoc modo. au. t Iavncit 3 au. ut proueniant 9 unciae.
49쪽
LIB. I. C Ap. III. ART. I. 38 Secundum exemplum. Opifices Ia absoluunt opus aliquod ro diebus; quot diebus opus habent so opifices3 Exemptu reciproce sic habet. 3O op. .l ao D. l laop. operatione absoluta reperiuntur dies 8. Quod autem termini sint permutandi inde constat, quia so opifice citius se expediunt quam 2O. Tertium . Sex fistulae cisternam implent 18 horis, quot horis opus habent 4 fistulae Z Certum est quod pluribus, plures enim fistulae citius cisternam implens, - quam pauciores. Idcirco reciproce sic stat exemplum
fist. l 18 H. t 6 fiae saeia operatione , reperio 27
. Quartum . Nuncius si quotidie 12 milliaria confiaciat, peruenit Romam II diebus: quaero quot diebus eo peruenturus sire, si quotidie conficiat milliaria i r Certum estι quod quo pauciora milliaria conficit , hoe tardius Romam peruenturus si '. Igitur exemplum reciproce sic habet. 9 Mil. i ii D. l 12 Mil. operationε absoluta reperio dies I . . Quintum . Quando pannus latus est ' palmo , opus habeo pro tunica Al ulnis : quaero quando latus est I 1 palmos, quot opus habeam ulnisy Certum est, quod paucioribus. Ut ergo paucioreS in neniam, recti proce pono exemptu. I 2 pal. l Αι vl. l 9pal. iacta operatione, inuenio vinas.
Directa composita plures quam tres terminos notos eΣigit, nimirum s , 7, auc etiam plures. Reducuntur
50쪽
Da' REGvLA PRO 'DRYION MIutem plures illi termini ad tres, si aut cognati termini in se sigillatim ducantur, aut regula proportionum instia tuatur. Sed rem exempla declarabunt . . t Primum. 12 mercatores 1 O aureis lucrantur δoci aureos quaero quantum 18 lucrentur I9Oo Hie notinumeri quinque ad tres reducendi sunt,hoc est,cognati primus, & secundus i Item quattus, & quintus in se ducendi, obtinebuntq; producta locum primum,& tertiuι hoc modo rao l 8oo i r 2oo, facta operatione reperies aureos 22 8O,quos I 8 mercatores, I9Oo aureis lucr eur. Possumus & eoiae quinq; terminos ad tres per re- gulam proportionum reducere, si dicamus. χχ Mere. l8ω au. l 18 Merc. reperimus enim I 1Oo: aut si die mus som l 8 l I9oo, reperimus enim , Isa . UT quaestio in his tribus terminis. I o i ta O l I9oo; aure in his. Ia i r 1 ao i i 8,consistar. Siquidem utrobique per operationem eruitur hic numerus 228o. l Secundum. io plaustra vini aduecta per i g milliaria, consumunt Im aureos, quantum consumunt 48 plaustra, adueista per 3 o milliaria ' Duc tam χo in I 8i quam
8 in 3o, 6c stabit exemplum in his terminis 3 6o i ioo i
x 44G. Facta operatione prouenient 4oo aurei, quot 48 plaustra,per 3 o milliaria aduecta, consumunt. , Tertium. 6 Mercatores, Zoo aureis, 8 mensibus Iu- erantur8O aureos, quantum lucrantur I 6 mercatores. 6oo aureis, χο mensibus λ Duc tam pecunias, quam
menses in suos mercatores sigillatim, hoc est, due in istam 6.1-.8; quam I&s . ao, stabitq; exemplum in his terminis 96 l go i i amo: sacta operatione reperies I 6OΟ aureos, quos Io mercator*s 6oo aureis , χο mensibus lucramur.