장음표시 사용
61쪽
Li B. ID CAPIUE ARE. Iri. 3 omero inueniendo numeramiWrmcunque. cumque iulo proeede iuxta quae itioms sententiam; quῖsi quaesti ni satis secerit. erit ille numerus quaesitus. Si non satis
seceritὲponeerrorem infra positionem cum litera R, vel M, ptour per excessum, vel sectum erratum fuerit . - Secundo pone alium numerum, cum quo , Ut cum priore, rib cede, errore cum litera P, vel M se infra po-
fitionem collocato. - . . . . t 1.
Tercio. s uterq; error habuerit P, vel M, quae literae signifieanzplim. dc minus) subtrahe minorem ex maiore, resilaum erit diuisor. Si alter habuerit P, alter M. addet errores, eritque utriusque summa diuisor. .l a Quates, duc per crucem primam politionem in eraro rem secundum; secundam in errorem primumὴ prc ductum minus tolle ex maiore, si uterque error habu in P; vel M e si unus P, alier M, adde producta. - IA ' Quinto. Residuum, aut summam diuide per diuis
, rem ante repertum, δc erit , quod prouenit, numeras Occultus, qui quaeritur. m: DPrimum exemplum. Duo habent pecunias, si pii. mus dat secondo au. habet secundus triplo plus primo : si vero secundus dat primo 3, habet uterqὲ aequam lem summam, quaero quantum quilibet habeat - Pono pro pecu H
primi numerum que- I' I. Icunque. dummodo 29 -- -
.maior sit quam 7,vU'. Error M 8 M. Error secundo possit ἡare 7. Primus Diuisor. Secundus Ponamus igitur primum habere is aureos, ex quibus si dederit seeundo 7, retinebit ipse ia, cuius triplum est 6, ex quo si tol-
62쪽
, et D g RE aut L Pos ITIONI s.Itas , restant 2s. pecunia secundi. . Si secundus det primo 3, retinebit ipse 26, 6c habebit primus, , qui
numerus cum minor sid numero 26, errauimus per desectpm, hoc numero ψ, qui est error primus. Ponatur secundo primus habere 2 i au. qui ubi secundo dederi . . retinebit ipse I , ex cuius triplo 4 2, si tollo ν, r stant pecunia secundi. Qui si primo dederit 3, r tinebit ipse 32, & habebit primuS 1 ι qui, numerus eum sit minor, quam 3 2, iterum per defectu m hoc numero δὲ erratum est. Subtrahe minorem rorem ex maiore, & restabit Diuisor Duc deinde per crucem, tam 8 ι secundum e orpm in 19, primam posutionem a quam Α, primum ira rem in M, secundam
positionem ι & produce As A, di 8 . Subtractis 8 ex Isa, restant 68, quibu pqr 4 diuis proueniunta , pecunia primi. Rursus si ducas, ram 8 in as; quam 4 in 3s, pro duees λ ἶ- ubi ctisque I o ex a 3 a. & residuo sta per i diuiso, proueniunt cunia secundi. Nam si primus, qui habet 17 , do securudo, qui habet a 3, septem, ha bit secundus 3o, pri- mus Io. si Mero secundus oderit primo 3, habebiwvterq; o: quaestio ergo recte solut- est. '.
o. M. i P. Κo Vt si minor ducatur in η.
- . maior in 3, productasant2 QP aequalia. Ponatur minor Diuisor. 6o; erit ergo maior 18
si ille in , hic in ducatur, producentur 62 , dc o ι ςrratum ergo est per desectum hoc numero a ro.
63쪽
natur secundo mistis 8o ι erierigimr maIor lso vs ille in , hic in 3 ducaturi producentur H M 48oarerratum igitur est per excessum,hoc numero 8o. Summa errorum 1oo', es diuiseri si iam per crucem tam . 1 ab in ga; quam ducantur, producentues 6oo, dc 48Oo; quorum sumina i4 oo per Diuisoremaoo diuisa, reddit χ, partem primam, Hc minore; qua ex 240 subtracta, restat maior I 68: nam tam 7 a. ino; quam is 8 in a ducta, producunt ueo .
cisonci; vreum cum in multu exemplistasiat, non ducimus
opere precium plura de illa dicere. Nam siproponatur talis quaestio. Dentur duo numeri in dupla proportione, ut in θductι procreent ρ δ, succedit regula Gema; si vero talis proponatur. Dentur duo numeri, quorum me sit - , ut in ρ dum pro eant 3 6 s, fallit. Caterum usum qu sionum solution&petantur exari. g. cap. 3. lib. a.
. : .. 3. ANNOTATIO II. i. Praxis Italicam, ta alia Compendia in regulis hactem traditis cons.lto omisiquod Uu melius,qua regulis dissatur: multitudine enim regularum obruimur. quae usu discimuri tenacissime harent. uuis.n. non videt, si vel mediocriter in calculosti exercitatus,posse in regula proportioni pro magnis homogeneoru terminis,minores eiusdeproportionisAbstitui 'ρ a&36, hos r,s :pro a a 'tars Ir, hos, i, I: M.n. talismonatur quaest. Aursis a a 1 emo P r urnaι vini quatuemo aurias I FIXytotide urnas inuenio, quot inuenire diacerem, aureo I,emo θ I vrnari quot emo aureis r mirabis
64쪽
derato. Secundo, de numero rδlato. Tertio, de numero geometricas figuras repraesentante.
Numeri, absolute considerati. Primo diuidμntur iapares, de impares. Parei sin , quoi binarius numeram
Impares. 'nos binarius nQ munerare. . o. Species parium duae sunt . Sunt enim , aut pariter
pares ι aut pariter impareα . Patiter par est, quem numerus par per parem metitur, cuiusmodi est 3 quem a per meritur. Pariter impar est, quem par per imp rem metitur, ut ethnumerus Io, quem 2 per I metitur Impariter impar non est species paris, sed imparis,c iusmodi est numerus I , quem impar per imparem metitur, ut η per F. Proprietates parium Uc imparium sum . Prima pax additus pari, secit parem. Secunda. Par additus impari, iacit imparem. Tertia. Impar additus impari,facie parem. arra. Par intra S a pari, relinquit parer
65쪽
Li κ. I. CAM IIII. An T. I. Quinta. Par subtractus ab imparii relinquit imparem . Sexta: Impar subtractus ab imparia relinquὲt parem. Primus numerus est, quem sola unitas metitur, cu iusmodi sunt 3. s. . II. Primi inter se sunt, quos sola'Unitas metitur, cuius. modi sunt 3 & 4, 8 3c s, Io 6c I 3 &c. , Numerus compositus est, quemQliquis numerus ine-titur; Cuiusmodi sunt' 6. 8. IO, IE.&c. compositi inter se sunt, quos aliquis Πumerus, qui
communis eorum mensura dicitur, metitur.
Numerus persectus est, qui suis partibus est aequalis cuiusmodi sunt A. 28. 496. Abundans est, qui suis partibus est maior. Diminutus qui suis partibus est minor. Intelligo per partes , partes aliquoiasue seu quotos illorum numerorum, per quoa diuidi positare: Ut , diuidi potest per Σ3 & 6, quorum quoti A. tii I. faciunt 6. Et a 8 diuidi
potest per a. . . l . 28 quorum quini I 4. . . a. 4. faciunt 28. Numerum Ia diuidunt 2.3. q. 6. I 2; quorum quoti f. . 2. I. iaciunt 16, plus quam Ιχ. Nμ-
merum Io diuidunt a. & s*quorum quoti s dc a f ciunt 7, minus quam ro. Vnde 6 dc 28 sunt num xi persecti. I 2 abunda .iIo diminutus. Persecti inueni utur ex progressione geometrica duorum parium, Vtexa dc A.'ex 4 dc 8; ex 16 dc 3 ις 64 Ac I 28 ue ex 2 1' 6 Sc s I 2; ex Ioa dc ao 8 dc s. Si nimirum ex maiore tollatur unitas, residuum duca-
66쪽
i Parti s impares inter absolutos, non inter relatoI repono, quod eorum desinitiones absoluωρο absistorum c ,
Hue pertinent proportiones, proportionalitates, semedietates, siue progressiones, de quibus singulis compendio est agendum- h
Proportio triplex est, aequalitatis, maioris inaequalitatis. 6c minoris inaequalitatis. AEqualitatis est, quando aequalis numerus ad aequalem refertur, v v 4 ad 4.' Maioris inaequalitatis est, quando maior numerus aclminorem ; Minoris, quando minor ad maiore resertur. Vtriusqῆ quinque sunt species. Prima maioris inaequalia eatis dicitur Multiplex. Secundasuperparticularis. Ter tia superpartiens. Quarta Multiplexisuperparticularis. Quinta Multiplex superpartiens. . rMultiplex est, quando maior minorem aliquoties cortinet. Ut bis, ter, quater decies, centies, &c. Cuiusmo- di cernitur inter & a, inter se & 3; iqter 2 o & sθinter Ios & IO &c. quarum prima dicitur dupla , Ω-cunda it la, tertia quadrupla, quarta decupla, dcc. γSuperparticularis est, quando maior minorem semel
67쪽
eontinet, & insuper unam eius partem: cuiusmodi pro portio est inter a dc χ: inter 4 & 3; inter ' & 8. Prima dicitur sesquialtera; secuda sesquitertia: Tertia secquiquarta et quarta sesquioctaua. Est proportio super.
particularis inter omnes numeros unitate sele excedentes, & inter eorum aeque multiplices. Vt inter LEIi :interses inter 6O, dcys &c. Dicuntur 3, ipsorum D& Ii aeque multiplices, cum creentur ex dia. istu ipsorum Ia,& D, in 3: Similiter 6O, dc sis fiunt ex is & i , in . Superpartiens est quando maior in inorem semel,& insuper aliquot eius partes continet: Qi- iusmodi proportio est inter Omnes numeros inter te primos, modo eoru excelsus sit plus quam unitas. Item Multiplex superparticularis, composita ex multiplics.&superparticulari est, quando maior minorem aliquoties,& insuper unam eius partem continet: Cuiusmodi
est inter r: inter is & 6; inter Eo & 7: prima dicitur dupla sesquialtera : Secunda tripla sesquisexta: Tetitia quadrupla sesqui septima. Multiplex superpartiens, ex multiplici, & superparti&te coposita est,qn maior minore aliquoties,&insupera. liquot eius partes continet; cuiusmodi est inter 3 & : inter I & s. prima dicirur quadrupla superseptuparti, ens sextas: secunda dupla superquintia partiens quartas. Proportio minoris inaequalitatis est qn minor cu maiore comparatur. Easdem quas prior habet species , sed
praefigitur illis particula s Sub) ut submultiplex, sub - ,
inter eorum aeque multiplices: Cuiusmodi est intelis , dc . inter I & io: inter 17 dic II: inter 8 Ima. 3c secunda dicitur superquintupartinsatia Ac quarta super septemdecu partiens decima &e:
68쪽
Proportionum Compositio fit per Additionem, subia
tractionem, multiplicationem, & diuisionem, quantCla. in fila lib. 9. Euclid. explicat. Cum enim ad dies proportionem proportioni, addit inter se denominato.
res proportionis. Vt si addendae sint dupla & tripla. fiequintupla, quod ex additione denominatorum Σ &sant s. Si addenda sit dupla sesquioctaua ad tripi msesquiquat eam, fiet ε, scilicet quintupu superoctu-
Partiens tertias. Nam denominator duploe sesquioctauae est Σὲ, triplae Iesquiquartae quae inuicem ad oditae, iaciunx iCum proportio proportioni lubtrahu ur, denomin tor minor ex maiore subtrahitur, ut si dupla exsextupla sit subtrahe da. restat quadrupla: sis es inauera ex tripla. restat se minera: nam denominator sesquialterae est triplae a, siue .g subtractiS autem ex . restant siue 1 L In multaplicatione proportionis, in seducuntur denominatoreS proportionis, ut si tripla sit ducem da in quadruplam, giguetur duodecupla. . Si tripla sua perseptu partiens tertias in duplam tesquiquartam, hoc
est, , in λὲ, produco tur 7b, hoc est, septupla Maperseptupartiens quintas. Eodem
69쪽
'Eodem modo in diuisione diuiditur maior propo . tionis denominator per minorem Ut si diuidenda sit decupla per duplam,proueniet quintupla: si quadrupla superquadrupartiens tertias per sesquialteram, hoc est. H per i , proueniet tripla sesquisexta, hoc est 3 . . Vides ergo eodem modo proportionum Multiplicationem, & Diuisionem fieri,quo numerorum fractorum ..ART1CΦLVs IIII. . .ιl :
Authores plerique Analogiam vocant medietatem. Numerantur analogiae plures; sed exilli s sunt praecipuae, Arithmetica, Geometrica.& Musica,quas etiam progressiones appellamus. De singulis pauca dicenda .
Arithmetica progressio est series numerorum,in qua di tres,aut plures numeri per eandem differentiam progrediuntur, ut hic est videre. I. a. 3 4 4. 3. 6. 7. 8. 9. I o. II. I a. I 3. I 4. I s. I S. I . I 8. i 9. 2 O. 2I. 2 2. 2 3. 26. 3cc. a. 4. 6. 8. I S. I 2. I 4. I 6. I 8. 2 O. a 2. 24. 26.
70쪽
έs -JUE Rgo vix νυ Seeundulfi . Cuidam quatuor debitores debent Hoo aurins ἰ Si primus quotannis persoluat et 8; seἀcimtas i 63 tertius io; qu reus 63: quaero quanto te pore totum debitum snt per uturi, & quantum quis, que debeat λ Pono 6 annis, qμih is dat primus Io8, secundus 96; tertius 6O; quartus 36: qui numeri co iunctis iuri '3oo, deberent autetm sacere aso Q Dico ergo. 3oo dant 6l quid dant Io oo,& reperio χo: Ergo annis 2o totum debitum persoluetur: quibus dat primus 3 6o; sec sidus ι δο , tqrpius 2 oo, quarxus Hozmi numeri cum simul faciant Iooo , bene operari s
, Tertium . Quidam rogatus, quot haberet , pecus nos, respondit. Si adhuc haberem tot, quot habeo . δε prael prea ν meae pecuniae, haberem 8 s aureos. . Quaeru qu4ntum habearei Ponatur haberebus si adhuc tot addam . 1 Item ψ δc scilice et ar a. constabo a . Dico ergo dant 6 quid dant 81:ο Met inu 3o 'ureos; quibus si addantur go, de dim,dium, nempe is , dc k scilicet io, conflabuntur M. s. Quartum. Haereditatis meae pro censu annuo e posui is i ludendo 1misi, retineo adhuc si 1 aureos; quaero quanta suerit haereditas ρ Ponosuisse Iaiau.i c
triari restat i 3 deberent autem ras restare. Dico e
go i dat bi I s; quid dant i at reperio 1 3 8o ad- reos. Cuius ν sunt xino; 4 est 3 1, quae quia cur xis iaciunx Iι8o, bene operati sumus. οπ