장음표시 사용
141쪽
aequilibrii restituitur sit m rideto GO-ia kKk d erit perangulum doe diuidendo stabilitas, qua figura in situ aequi librii A Μ F N B perseuent ' ίGO--ripli) dest. Mante AFB aream partis sit bmessio. Q. E. I.
213. Patet ergo quod supra asscritimus, im restia tuentem in situm aequilibrii proportionalem esse angulo quo corpus ex situ aequilibrii est declinatnm, si quidem angulus Berit quam minimus, ideoque si stabilitas abistu te requiratui, angulum dω, quo inclinatio indicatur , omitti oponere. Sic igitur expressio stabilitatis momentis virium erit homogenea, ciun sit pruductum ex vistu potentia M in lineam quandam rectam Go p ἶ-
142쪽
etr . In expressione stabilitatis denotat Go distat etiam centri grauitatis figurae a centro magnitudinis partiis sebmeisie, quando figura in aequilibrio existit. Cum igitur positerimus in figura hac centrum grauitatis infla ce trum magnitudinis cadere , per se patet, si in asio casti centrum grauitatis G supra centrum magnitudinis cadat , tum interuallum Go negati ue accipi debere, ita ut in huius modi casibus stabilitas proditura sit Μ M-Gοὶ
Hic scilicet figuras ex materia utcunque heterogeii constantes consideramus, ita ut centrum grauitatis G tam supra quam insta centrum magnitudinis o incidere possit; sin autem figura ex materia homogenea coniecta ponatur, tum nece o centrum grauitatis supra centrum magnit
dinis partis submersia cadere oportet. Huius modi igitur easibus stabilitas semper ex hac posteriore formula erit aestimanda , in qua G o negativo signo amituro
ars. Quoties ergo centrum grauitatis infra centrum magnitudinis partis submersae cadit,. tum situs aequilibrii semper erit firmus et stabilis, quia expressio stabilitatis no gatiua fieri nequit.
II 6. sin autem centrum grauitatis G supra ce trum magnitudinis o cadit, tum situs aequilibrii non erit. stibilis , nisi fuerit γ Go. At si fuerit Gosesitus erit instabilis sta labilis, et spua vel minime ex
143쪽
situ aequilibrii declinata prohibetur, allumque situm a quilibrii quaeret.
2I . Maximam igitur situs aequilibrii habebit stabilitatem , si centriini grauitatis profundillime , centriim magnitudinis autem in loco maxime et citato sucrit situm atque praeterea si scistio aquae seu tecta AB fuerit maxima: manente scilicet eodem figurae pondere Μ, quo ipso magnitudo partis stibmersae etiam inuariata manet.
2I8. In corporibus ergo aquae innatantibus , quo profundius pondera collocentur, eo maiorem ea stabilita emin sina aequilibrii acquirent. Magis vero etiam stabilitas augebitur , si alis adiungendis sectio aquae amplior redd itur.
219. Quamuis haec propositio tantum ad superficies planas aquae Verticaliter insidentes sit accommodata , tamen ea latius patet, ct corpora cylindrica in se complectitur. Si enim corpus cylindricum aquae ita innatet, ut eius axis longitudinalis horinetontaium situm teneat, thim eius stabilitas res 'ctu axi, horizontalis eiusdem ex stabilitate cuiusque sectionis transversilis, quae est s perfici plana Verticalis, cognolcctur. His igitur casibus A F Berit sectionis mediae corporis cylindrici pars aquae submersa, G totius corporis centrum grauitatis, O centriim magnitudinis panis submersae : Μ vero pondus totius comporis , et A F B ut ante cuiu,quc scctionis pari aquae sub-Diuitirco by Coosli
144쪽
DE STABILIT QUA CORP. A AE INSIDENT
filmeria. Praeterea etiam ex eadem propositione pro corporibus alius figurae coniectaria deduci possent, sed de iis in sequentibus, cum omnis generis corpora ex instituto contemplabimur, fusius melabimus.
aeto. Si figura plana aquae in Atu Certicali infidens Tri UL
ex stu aequilibrii aliquantillum declinetur , deteramnare mlum , quo Jese in stum aequilibrii resiluet.
Sit figura plana A F B aquae insistens in aequilibrio , cum praeter rectam per centium grauitatis G ad planum figurae normaliter ductam etiam recta Μ G N fuerit horizontalis. Sit pondus figurae zz Μ atque A B sectio aquile et O centriim magnitudinis partis submersie A F B. Inclinetur nunc aliquantillum figura ex sint aequilibrii virecta ab fiat sinio aquae , et angulus A Ca fiat ποῦ dis. His positis ex prop. praeced. momentum restimens figuram in aequilibrium , quo stilicet figura circa axem horigontalem per G ad planum ipsius normaliter ductum circumvertetur, obtinebimr, si stabilitas ante inuenta perangulum inclinationis d tu multiplicetur, eritque propterea hoc momentum ad corporis restituti mem tendens Ita Μαω G O- A. Quoties igitur haec expressio fiterit
assirmativa, figura in situm aequilibrii restit mr, atque rostiti itio fiet rotando circa centrum grauitatis G , dum in terra ipsam centrum grauitatis G recta vel ascendit vel desce Diuitirco by Cooste
145쪽
destendit, prout conditio ea, qua isnper aequ*s pars aquae debet esse 2bmersia, requirit. Cum ergo hoc momentum angulo percurrendo sit proportionale, figura e dem modo in statum aequilibrii pervcniet, quo pendulum destendendo ad situm verticalam accedens. Hancobrem figura oscillationes instar penduli perficiet, donec totus motus a resistentia fuerit consi tus. Iste motus ostillato. rius ergo cognoscetur, si longitudo penduli simplicis dete minetur , quod suas Oscillationes aequalibus temporibus abstarat. Ad hoc vero pendulum assignandum necessie est, vi momentum inertiae figurae respectu mis circa quem gyratur constet. Sit igitur S momentum inertiae figurae seu aggregetum omnium particularum per quadrata distantianam suarima ab axe rotationis multiplicatarum , qui misad figuram normaliter per G transit. Hinc igitur erit vis
gitudo penduli simplicis, quod ostillationes isochronas cum ostillationibus figurae absoluit m Prodit enim perpetuo longitudo penduli simplicis isochremi, si angulus inclinationis per vim gyratoriam diuidatur , id quod ficile ex principiis mechanicis collisitur. Q. E. I.
xx. Longitudo ergo penduli isochroni aequatur momento inertiae figurae respectu axis orationis diuisis perstabilitatem figurae respectu eiusdem axis, prout quidem stabilitatem exprimere constituimus.
146쪽
22 2. Manente igitur eadem figurae stabilitate in suo aequilibrii situ oscillationes eo enint celeriores , quo minus fuerit momentum inertiae figurae; maximo autem existente hoc momento, oscillationes tardissimae fient.
inertitae oscillationes eo crebriores euenient, quo maior si erit figurae stabilitas; minuta autem stabilitate , oscillat,ones simiores perficientur.
praeter pondus et figuram et centrum grauitatis, quae ad stabilitatem cognostendam sufficiunt, nosse oportet m mentum inertiae figurae noctu aris, circa quem oscillationes fiunt.
huiusmodi figurarum aquae innatiantium clarius cc oscatur, iuuabit casias speciales considerasse , in quibus Mautitate, adhuc indeterminatas determinari et inter se comparari licebit. Determinatas igitur figuras contemplabimur , quae aquae insidant, ubi quidem sussiciet figuram partis subnacr-sae posuisse, cum figura partis sipra aquam minentis in compulim non ingrediatin': Ex figma vero partis si ibmersae simul centrum eius magnitudinis datur. Conveniet au-N tam
147쪽
tem tantum figuras regulares, quae circa Verticalem EF partes similes et aequales habeant, inuestigasse , ne ante Opus sit situm aequilibrii iniicnire. Ponenatin igitur centriim grauitatis huiusmodi figurarum in ipsa verticali E F , quae est diametor, sitiun , quo aequilibrium habeatur, si ista diameter venicalem situm obtinuerit. Eiusmodi ergo propositiones aliquot hic subiungemus, antequam ad ipsa corpora Gaminanda progrediamur.
Tab. XIII. 2 26. Si Murae aquae in entis pars submersa AFB' triangulum i seles ; determinare sabilitatem huius Atus, atquae motum oscillatorium , quem Mura, si ex hoc situ astiquantitam declinetur , acquiret.
Ex vertice F in basin AB, quae sectionem aquae repraesentat, ducatur perpendicularis F C hasin A B bis, riam secans in C. Ponatur AC BC a; et perpendiculum FCzzb; erit pars submersa AFB ab , eiusque centrum magnitudinis in Ο, ut sit Co αἰ b. Sit m ro G centriim grailitatis totius figurae, atque CG B, erit Gozz CG - CO B-ἔb. Vocetur deinde massa seu pondus totius figurae Μ, et momentum eiu8 re spectu aris normaliter ad planum AFB per G transeuntista S. His igitur positis erit stibilitas huius situs aequilibrii m M B-ὲθ -- Penduli vero simplicis i chroni cum oscillationibus huius figurae οIcillantis
148쪽
DE STABILIT QUA CORP. UVAE INSIDENT. stu
longitudo erit . si quidem stabilitas assit-matiuum habuerit valorem. Q. E. I.
22 . Si ergo fuerit abb , b situs iste acquilibrii erit flabilis, eoque maior erit stabilitas, quo maior Berit iste excessiis.
228. Hic porro situs aequilibrii erit indifferens, si fiterit et a ab θα by; sin autem fuerit 2a --3hθαι , tum situs erit labilis, eumque figura tenere non poterit, sud vel tantillum ex eo deturbata prolabetur.
α 29. si integra figura fuerit tri angulum isbscelasMFN. constans ex materia unisbrmi , cuius ad aqivim grauitas specifica teneat rationem p : q. ponanturque 'LIT LN A , et FL B , tum AC π BC Tta et FC b, erit ab : AB p : ρ , atque ob a b A: B erit
Manente autem massa seu pondere figurae Μ, erit m
149쪽
aso. Stabilis ergo erit iste trianguli aquae insidentis situs aequilibrii, si fierit A'--B'ὶν 2 B' Qu
2ax. Si triangulum fuerit aequi latcnim , erit B
A V a ; atque stabilitas eius in hoc aequilibrii situ prodis
Longitudo vero penduli isochro.
232. Hoc ergo casu situs aequilibrii erit stabilis, si V t γ l, hoc est si s A. Posita emo grauitate specifica aquae em IOOo , situs erit stabilis, si fuerit pγs ia :instabilis autem erit, si grauitas specifica trianguli minor est quam sσa
et aa. Si angiuus ad F fiterit rectus, ut sit B A, ΔΑΜ s 2-- et in erit stabilitas αρ- -. Situs ergo aequilibrii erit stabilis, si, posita aquae grauitates ifica mIooo, trianguli Diqiligod by Coosl
150쪽
anguli gratiitias specifica maior fuerit quam aso. Sin autem trianguli grauita, minor sit quam aso , situs aequilibrii ent instabilis. Longitudo vero penduli isochroni illo ca-
aa . Si Aura aquae ins s fuerit triangulum Mo-Tadi. XIIII. sceles F Μ N babem M N sub aqua in stu harizontali sectioni aquae AB paralis habens postam ; seu potius, s pars, res AHNBJuerat trapezium, in quo latera AB et N Μ Iunt inter se parallelu, anmulque Μ re Naequales : determinare sabilitatem qua se stus aequil, isti conseruatur , motumque oscillatorium , quem eiusmodi si rura , s aliquantillum ex stu aequilibrii deturbetur acquiret.
Ducta rei ta verticali CL , quae tam sectionem aquae AB , quam basin ΜN bisecet, in hac positum erit cen-tnim magnitudinis partis stibmeti te o. Qiare necesse est, ut in eandem rectam centrum grauitatis totius figurae incidat , quod sit in G. Ponatur AC BC a: MLαLN- e C L b : et C G B. Centnim magnitudinis vero partis submersae o ita secundum praecepta statica reperietur ut sit Co ; erit ergo h - β. Denotet preterea Μ massam totius figurae, atque S eiusdem momentiam inertiae respeetia axis ad figuram normaliter per centriam grauitatis G transeuntis. Cum ergo