장음표시 사용
171쪽
enim inclinatoritas circa quemvis alium axem spectari potest tanquam compositus ex duobus motibus inclistitoriis circa illos axes inuicem normales, pro quorum utroque si stabilitas fuerit cognita, inde stabilitas respectu aliuscuiusque axis poterit colligi. Qiemadmodum igitur pro quovis aequilibrii sint in corpore quocunque aquae innatante stibilitas respectit cuiusuis axis horimntalis debeat investigari, in sequente propositione docebitur.
Iso. Corporis ACF DB aquae in aequilibrio in zmb. XV. dentis determinare sabilitatem respeeiu axis dati hyri ta 'Iis c d per centrum grauitatis corporis G transeuntis , a que motum oscillatorium cuius corpus circa hinc axem escapax.
Sit ACBD sectio aquae, et AFB pars corporis
aquae immersi, cuius centrum magnitudinis o situm erit in recta verticali EF per centrum grauitatis corporis G transcunte, eo quod corpus in aequilibrio est posuim. Sit totius corporis massa seli pondus ' Μ , eiusque partis submersae soliditas seu volumen 'V, atque momentilminertiae totius corporis respectu axis c d S. Concipiatur num corpus paulisper inclinari circa axem c d centro grauitatis interea vel ascendente vel descendente, quo a qualis pars aquae maneat immersa. Fiat vero inclinatio
172쪽
priorem aquae sectionem secans recta CD, parallela ameritque angulus, quem haec noua sectio aquae cum priore constituit pariter diti autem utroque casiae quale corporis volumen siib aqua versatur, erit segmentum AC Da aequale segmento BCDb. Ponatur areae ACD centrum grauitatis in p, areae autem BCD centrum grauitatis in q, atque ex ' et g in C D ducantur Perpendiculares pr et O , erit soliditas segmenti AC Dam AC D. V. dast, segmenti vero BCD , Qtiditas erit BCD. qs. M ; hinc igitur habebitur AC D. BCD. p. Praeterea ipsius segmenti A CD a centrum magnit dinis cadat in P , segmenre vero BCDb in atque ex P et in' CD ducantur normales in et Q S. Iam per punctum o ducatur ad planum a Ch Dperpendicularis eis , quae tu situ corporis inclinato erit verticalis , atque tum ex G in tam rectam, tum ex e per E in CD ducantur normales in et e ΕΗ, erit Gg GO. dis et Ee EO. dis. Qiκ igitur xim inueniamus qua corpus ex situ hoc incliciato in pniunturi situm aequilibrii restituitur, pars corporis aquae immersa est consideranda quae est ACF DB- ACDσ-BCDo , ex quihus singulis membris vites sunt dcfiniendae ad corpus r stituendum, vel conuertendiun circa mem c d. Pressi ius autem aquae, quam pars ACFDBsiastinet, momentum ad corpus restituendum est Μ. Gg M. GO. dust. Nune fiat ut V ad AC Da ita pondus M ad vim ex semetiato ACDa ortam , quae proinde erit 'quae expresso pariter valebit pro pressione aqtrae in Q. gmentum BCDb. Cum autem segmenti AcDa cem
173쪽
trum magnitudinis sit in P, erit momentum inde oriundum ad corpus restituendum m mentum vero ortum ex vi segmenti BCD, tendet ad sabuersionem, eritque adeo ncgatiuilm et 'i υ-- Ggὶ. Horum trium momentorum duo primra lunt aduendi et a summa postremum subtrahendum , quo fusto pr Hibit momentum totale ad restitutionem corporis in pristinum aequilibrii situm lcndens α'dui Go
PR- QS)ὶ ; qios diuisum per angulum inclinationis dis dabit stibilitatem huius aequilibrii situs respoctu axis ed M G Ο Diuidatur per
hanc stabilitatis expressionem momentum materiae seu inctariae totius corporis respcctu aXis , quod est S, et pro di bit longitudo penduli simplicis it,hroni cum Oscillutio nibus corporis sese circa axem cd in aequilibrium restituentis quae penduli longitudo pro tae crit
centra grauitatis areariam AC Det BC i , sequitur rectam CD transire per centrum grauitatis sectionis aquae ACBD.
2sa. Si ergo sectionis aquae ACBD centrum grauitatis repertum fuerit in I, atque stibilitas huius aequilibrii situs requiratin respeetii axis c d , tum in lectione aquae ACBD per centrum grauitatis Ι ducatur recta Parallela CD ipsi mi ed, qua inuenta stabilitas dcsiderata per cauculiun innotescet.
174쪽
293 . Qiiemadtriolum autem p et q sunt centra grauitatis partium ACD ct BCD sectionis aquae, ita intelligere licet puncta P et esse centra Oscillitionis earundem Pirtium circa mem CD oscilllantium.
as . Postquam igitur sectio aquae recta per centrum grauitatis transeunte diuiti est in duas partes, viriu que partis tam centriim grauitatis quam centrum oscillationis debet indagari , quo facto sine xllo ad angulum inclinationis φν habito respectu stabilitas desiderata poterit iuueniri,
aps, strioniam inter oscillandum centriam grauitat totius corporis G recta vel ascendit vel descendit, ut pedipetuo debita corporis pars maneat aquae submersa pe spicuum est huithmodi motum centri grauitatis sere minimum , si recta verticalis per centrum grauiditis totius corporis transiens simul per centrum grauitatis sectionis aquae transe
296. Intelligitur ceteriam quo maior sit expressio I I GΟ-- ), eo firmius corpus in suo aequilibrii situ esse permansiurum, si scilicet circa axem c d ad inclinandum 1bllicitetur ; sin autem haec expressio fiat Besaliua , tum corpus missime declinatum iri subii ersum.
175쪽
sty . Determinata igitur est satis commode et concinne stabilitas, qua Vnumqtotque corpii, aquae insidens in a uilibrio perstitit, id quod primo intuitu si immopere dissicile videri potuisset. Praeterea etiam ca regula est perquam simplex et sicilis, cuius ope ipsi e oscillationes, quas corpus ex situ aequilibrii depulsum sese restituens a stiluit, quo ipso dignitas et utilitas huius theoriae abunde intelligitur; secile enim erit hinc insignia commoda ad nauigationem deriirare, quod fieri non potuisset , si cn datio hanim propositionum ad inextricabiles calculos deducti fuisset. Qihie autem ad stabilitatem determinandam pro quoque corpore nosse oportet, sunt praeter pondus totius corporis a quo quantitas partis submersae pendet, interuallum iliter centrit m grauitatis corporis et centrum magnitudinis partis submersie atque imprimis sectio aquae quae ad hoc negotium calculo est stibiicienda. Sectiones igitur aquae variarum figuraruis conueniet considerari , atque eas expressiones , quas ad stibilitatem definiendam nosse oportet, dcfiniri quo post na Hum ficilius sit de quoque corpore aqiue innatante iudicium ferre. Hunc in- finem in s uente propositione inuentam expressionem cauculo analytico sum persecuturus.
298. Si sectio assuete fuerit curua quaecunque Λ ID, cuius natura per aequatimem e I data nire sabilitatem corporis aquad in metu respectu aris curuauis , percal sum analyticum. Solutio Dissiliasu by Corale
176쪽
Sit n. massa seli pondus corporis aquae insidentis, et V volumen partis stibmersee , atque Go eXprimat i teruallum uater centrum grauitatis corporiS et centriina magnitudinis patiis submerae , posito centro grauitatis G in Ioco humiliore ; posito enim centro grauitatis G sit pracentrum magnitudinis o tum loco H-- stribi debet -GO. Iam per centrum grauitatis sectionis aquae ducta sit recta C D parallela illi axi, cuius respectu stabilitas quaeritur ;et ad hanc rectam tanquam axem referantur orthmgon. iliter ordinatae YXZ , ponathirque GX X; et XZzzz. Sint porro p et ρ centra grauitatis arearum CAD et CBD , atque Ρ et earundem centra Oscillationis respectu axis CD ; et ex his punctis ad axem CD diacantur normales pr , qs, P R et Q S. His positis erit
integralibus his ita accepti, ut etianescant polito x 'O ; atque tum loco x posito CD. Ita exprimet Ibd x aream CARatquc Ddx aream CBD. Quia vero est CAD.ν CBD. F, erit 1, 2 et x. ob ACD Brdae et CBD. ,set adae. Denique autem diibebitur PR. - . ; quibus in Brmula supra inuenta substitutis reperietur stabilitas corporis in isto aequilibrii
α99. Ad stabilitatem igitur obtinendam ope catali latescitis stimendum est intestae socinulae , ita Disiligod by Cooste
177쪽
ta ut evanescat positis a o , atque post integrationem perachim, poni debet x CD.
a oo. Si recta CD sectionem aquae in duas partes similes ci aeqiciles diuidat, erit ubique Σ hoc ergo casu stabilitas erit
ao I. Si centrum grauiduis totius corporis G silpra centrum magnitudinis o partis sithmersae cadit, tum intcmullum Go negative accipi oportet, eritque his casibus
Ioa. Nisi ergo G sit pra o cadat, aequilibrii situs respectit omnium axium erit stabilis ; quia j '--z' dae semper amrmativum tonet valorem. At existente pina G magis eleuato quam o, tum fieri potest, ut situs aequilibrii sit instabilis, id quod accidit si fuerit Go .
3O3. Qxio autem has formulas eo facilius ad varia corporum aquae innatantium genera accommodare liceat, figuras nonnullas dcterminatas loco sectionis aquae ACBD siibstituam , et quomodo se habeat stabilitas eiusmodi corporiim aquae insidentium inuestinabo. Non Dium autem stabilitatem respectu unici axis determina , sed respectu binorum inter se normalium , quo ex hac duplici stabili-R tate
178쪽
rgo late reqκω cuiusuis alius axis stabilitas possit aestimari. In hunc finem eiusmodi elegi figuras, quae Vel in nauigatione locum habeant, vel etiam ad experimenta iust tuenda sint maxime accomodatae , Ut tam Vsius quam litas huius theoriae clarissime ob oculos ponatur. Huic igitur negotio absbluendo sequentes deminaui propositiones, quibus institutum huius capitis penitus exhaurietin'.
Io . Sit corporis aquae infidensis sectio a e fuerit parasielgraminum rectangulis E FHK , inuenire eius labiatalem tum respectu aris CD , tum axis ad bum normati AB.
Consideretur primo axis CD parallelus lateribus EF et ΚΗ sitque EF zz ΚΗ IzA; ER B, et massa seu pondus corporis G M , Volumenque partis submersae II V. Ponatur CX IIx erit XYIT: z I B. Ergo
B et in x silmis in rati per totum axem CD. Erit igitur stabilitas respectu axis C D Μ G Ο - pre . Simili autem modo stibilitas respectu alterius axis AB erit m M G o Q. E. I. Coroll. I go s. Si ergo tam Go--Η quam Go fherint quantitates affirmativae, tum situs aequilibrii corporis Q it stabilis respectu cuiusuis aris alii Coroll. Dissiligod by Corale
179쪽
DE STABILIT C P. I AE INSIDEN. et ar Coroll. 2.
.ao6. Stabilitas igitur respeetii axis CD eo erit maior, quo maius fuerit latus in B ; atque semper stabilitas crit maxima respectu aris breuioris, quod quidem per Κ est planum.
ao . Si pari modo per integrationem computetur stibilitas respectit diagonalis alterutrius EH vel FK tum reperietur si νδ -z' Atque ipse stabilitas co Poris respectit huius axis erit M G Ο rao expressio media est inter expressiones ante inuentas pro axibus CD et AI . Atque si fit orit AttaB tum stabilitas crit acqualis tam res istu axium AB et CD quam respectu diagonalium. Ex quo facilius intelligitur, ad statum corporum aquae innatantium cognosccndum sumere stabilitatem rcsse: Bi duorum axium inter se normalium determinasse. Eius m Hi autem bini axes sinat accipiendi, qui in sinione aquae sitiat praecipui, et quonam alter ma ximam alter vero minimam habeat stabilitatem, quemadmodum in casia proposito fecimus, ι
ao 8. Si totum corpus fuerit parallelepipedum MN. Tin. TVLNRTVS aquae ita iiisdens, ut EKHF sit sectio aquae ;atque pondus eius se habeat. ad aequalis voluminis aquei pondus vi p ad Deinde sit longitudo M N ; l titudo ΜΡ b ; et altitudo PH e; erit in sectione aqme A a et B b. Habebitur autum ex statu aequilibriiq : p PT c): ΚT , unde est KTIT ; atque volumen R a partis
180쪽
parti, submerae V ; cuius cent m magnitudinis o cadet in medio inter I et L rectae verticalis wL per medium parallelepipedi ductae , ita ut sit Lo a. Qitoniam vero hic situs aequilibrio praeditus ponitur , necesse est , ut centriina grauitatis totiuὴ corporis cadat in eandem rectam verticalem L sit ergo in G , existente LG B, erit Go a B. His igitur sit bstitutis erit stabilitas respectu axis longitudinalis CD , qua inclinationi circa hunc axem resistitur zzM stabilitas vero respectu aris latitrullinilis AB erit M 5 - θ ' in quibus expressionibus littera Μ denotat pondus pan illelepipedi , atque p ad ρ nationem grauitatis specificae corporis ad aquam. Ex his igitur Brmulis flabilitas huius aequilibrii situs respectu cuiuinis axis colligi poterit.
aos. Quo ergo iste aequilibrii situs sit stabilis, opo tet esse tam quam Si ergo
st a D , dum modo Perit ii 5 - si situs aequilibrii
respectu omnium axium erit stabilis.
3ro. Si parallelepipedum constet ex materia uni-sermi, tum eius centrum Frauitatis G cadet in medio inter L et w , eritque B Hoc ergo casu stibilitas erit m n respectu aris C D. Respectu ve-m alterius axis A B erit stabilitas Ita ΜCorta. Diuiti eo by Corale