Scientia navalis seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus. Pars prior posterior ... auctore Leonhardo Eulero ..

181쪽

erit stabilitas zz Μ Qtio ergo iste aequilibrii situs sit stabilis, necesse est vi sit

Exemplum 2.

P SN aquae in situ erecto insidens ut sectio aquae EΚΗF sit rectangulum basi ΜΡQN parallelum. Pondus autem huius corporis se habeat ad pondus aequalis voluminis aquae Vt p ad ρ. Ponatur 'N PQ ma; MΡ Ne IIb ; atque altitudo cunei WL sit zzz c ; in qua recta verticali K L ambo centra tam grauitatis G quam magnitudinis o sint sita , atque L GITh. Iam manenti-tibus EFII KHILA; ERII FH B erit A : B a: batque A: Amr L se): IL ; unde fiet IL V. At ex grauitate isercifica sequitur q: p b': Η', unde pisit

Tab. XVI. J

stetiis, erit Θ ἰc; atque hoc case stibilitis respectu axis

182쪽

Coroll. 2.aa . Si ergo fiterit Vl γ etiam

si a b , situs iste aequilibrii erit stabilis; casibiis vero contariis situs prodibit instibilis et ad subuersionem Procliuis

a I s. Si generaliter o retineat valorem eundem, Itraque expressio et fit infinite magna tam si cI quam si e oo minimum igitur valorem induet, si siuerita ac vol etiam b zz a e. His igitur casibus stabilitas prodibit minima ceteris paribus.

Exemplum I.

II 6. Sit corpus aquae insideus pyramis recta MN LPQ cuius basis ΜNPQ sit horigontalis et parallelogram-mum iectangulum, cui ergo sectio a piae EFΗΚ erit parallel a pariterque parallelogrammum rechangulum. Sit MN PQ a ; ΜΡ N i, et ahitudo wL 'e ; et centnim grauitatis extet in G, ut sit L G zz h. Ρondus autem huius pyramidis sit M , quod , se habeat ad pondus aequalis voluminis aquae vi p ad φ Iam erit a : b A: B, atque a : Α' ρ : p; ita ut sit et B b Vl, similiterque L I mci l. Centrum magni ul-dinis autem partis sthmoriae cadet in o ut sit L Ο ἱέ νl, unde erit Go γ φ-h. At volumen partis submalae erit Disiligod by Cooste

183쪽

si . manentibus igitur tam b quam ratione p : ε . iisdem , stabilitas res eiu axis C D erit minima, si fuerit brae V a. Respectu axis AB vero stibilitas erit minima, si fuerit a cν 3.

ar 8. Qio igitur huiusmodi pyramis firmissime sinierecto aquae innatet, in ea conficienda imprimis est eusetandum ne, sit vel si vel k prope aequale ipsi e Y a.

Coroll.

a19. Si isti pymmis ex materia misi rini constet tum erit θ ἰ c. Stabilitas ergo talis pyramidis respectu

Coroll. 6.

32O. Qtio igitur eiusmodi pyramis aquae firmirer insideat necesse est ut sit tam Εἰ γ quam vi , Si ergo fiterit a b , oportet ut sit

32 I. Si fiterit a b c ; talis pyramis situlit in figura representatum conseruare non poterit nisi siti Disiligod by Socrate

184쪽

Τ b. XVII. M. I.

PROPOSITIO II.

Problema.

322. Si corporis natantis sectio ac re suerit rhisbus ACBD, determinare eius sabilitatem respectu inriusque dimgonalis CD et Ais.

Solutio.

Consideretur primo axis per centrum grauitatis corporis transiens parallelus diagonali CD ; ducaturque ordinata quaecunque YXZ; atque vocatis CI DI A; AI BI: B ; CX x ; XY m XZ I , erit Λ: B- X: I et ' 2; atque latus rhombi AC erit V A' DB' . His positis erit 13' d x; positoque x A habebitur valor huius expressionis pro parte CIA: ἰ A. B' qui quater sumtus respondebit toti rhombo CBDA, pro quo proinde erit dae A. B . Si nunc corporis pondus ponatur 'i I et interitalium ccntri magnitudinis iuper centro grauitatis Go atque Volumen partis submersite ' V , erit stibilitas respeetu axis CD Simili autem modo reperietur flabilitas rospectu axis ΛΒ zzM GΟ---, P ). Ex quibus duabus expressionibus stabilitas respectu cuiusuis alius axis poterit colligi. Q. E. I.

Coroll. I.

asta. Si igitur diagonales sunt inaequales, corpus inclinationi circa longiorem minus resistit, quam circa breviorem Diuiligod by Corale

185쪽

viorem , qthie regula sere in omnibus semonibus aquae lo. cum habet, ubi axes inter se normata sunt inaequales.

Coroll. 2.aa . Qito ergo iste aequilibrii situs sit stabilis, noeesse est ut tam Go--π quam Go-- habeat valorem affirmativum , id quod accidit, si tantum minor expressio fuerit affirmatitia.

Coroll. 3.

sas. Si liatus rhombi A C ponatur m C, at te a gulorum sinus ni; anguli ACB c inus vero n; erit anguli CAB cosnus n. Hinc reperitur B CYT' et AIT.'H. Quare stabilitas respectu aris CD erit

a 26. Si rhombus abit in quadratum, set ni Ire n m o ; hoeque casti stibilitas rebetu utriusque diag nilis erit eadem scilicet ' Μ GΟ--S ; quae ipsa e pressio quoque inuenta est ex praecedente propositione, Ecta applicatione parallelogrammi ad quadratum.

Exemplum.

I. Terminetur pars corporis aquae submersa in 7 2 δ recta horizontali RS pastillela diagonali CD, atque rectis B L, AL ad punctum medium L rectae RS ductis,

186쪽

CAPUT TERTIUM

Iasitemque verticalibus CR et DS, ita ut singulae steliones horietontales sint rhombi. Maneant CI DITIA; Aletet: sitque CR LITID SIT D ; erit partis seb- mersae volumen V ABD; eiusque centrum magnitudinis in o vi sit Lo αἰ D. Totius vero corpori S centrum grauitatis cadat in G , dicaturque L Gmb; erit GozzἰD-h. Ex his igitur reperietur stabilitas huius aequilibrii situs respectu aris CD Μ s,D At respectit axis AB erit stabilitas Μ ἰD-B--s . Coroll. I.

cesse est ut sit B Q , simulque etiam BSi ergo fuerit BQ A siissiciet ad stabilitatem corpori com

parandam esse .

Coroll. 2.

a 29. Nisi ergo sit BγD , necessario centrum ginvitatis corporis infra stiperficiem aquae cadere debet, si quidem situs aequilibrii debeat esse stibilis.

Problema.

a Io. Si sectio aquae fuerit trian iura i sceles ECF, determinare sabilitatem corporis aquae infantis tum re- axis CD tum resspectu aris AB ad illum normalis tior centrum gravitatis I sectionis aquae transeuntis.

187쪽

Positis pondere corporis ' Μ ; volumine partis se mersae m V ; et distintia inter centra grauitatis corporis

et magnitudinis partis submersee m Go ; st C D m A , et DE: DF ; erit CX xὶ: XY 3ὶ A: B , unde sita iamobrem habebitur 1 posito x CD TI A. Pro tota ergo sectione aquae erit j . - - α') dx ' I, unde fiet stabilitas respectit axis C D i Μ s G O Consideretur nunc aris AB , in quo est AI BI *B; et CI ἔA; eritque V ,

ortum ex area ACB ergo eadem formula ex toto triangulo ACB orta erit Nunc ex altera parte consideretur area tota IDFH, quae est re .ctangulum, existente IH D B, et DI FH zzz A ; prodibitque ex ea D XIIDI'. A quo valore sebinthi debet is qui oritur ex triangulo BFH qui est , et relinquetur Valor ipsius II dx pro u perio ID BFIT F. Trapetio ergo ABFE res videbit valor ipsius D' dx . Qiuocirca respectu axis AB erit totalis valor ipsius y dxm HV---- Ex quo erit stabilitas huius aequilibrii situs

sax. Stabilitas igitur respectit axis CD maior eris, quam stabilitas respectu aris AB si fuerit A. B'γ S , hoe S a est

188쪽

area vero bb; seu bb 'm. natur pondus huius prismatis mΜ ; eiusque grauitas specifica ad aquam vip ad ρ. atque tota altitudo ΜT WL c. Cum nunc CEF sit sectio aquae, erit atque Lo volumen vero partis submersae V Totius porro prismatis centrum grauitatis sit in G, existente LG li;

erit Gozz5 - Ex his igitur fiet stabilitas huius aequi. librii situs res, diu cuiusque aris,' r - δε---J

Coroll. I.

as . Si prisma ex materia uniformi fuerit conse .ctum , erit θ ἰc atque stabilitas huius aequilibrii situs

338. Qio ergo iste situs aequilibrii sit stabilis oportet It sit c Q δst se; eodem redit

Hinc igitur innotescit, quam longa pare a priSmate triangulari indefinitae longitudinis debeat abscindi, ut situ er isto aquae innatare queat.

Coroll.

339. Si ex eadem materia prisma quadrangulare conficiatur, cuius bases sint quadrata 'bb, langitudo e rum s minor esse debet qiram deis, erecto aquae innatare possint. Longiora igitur in hunc finem licebit accipere prismata triangularia, quam quadrata. S a Ex -

189쪽

CAPUT TYRTIVM

Exemplum I.

a o. sit corpus aquae innatans pyramis triangularis MNAE , citius basis MNΡ hori Zontaliter extra a*vim emineat. natur hasis 'NP quae sit triangulum aequitaterum, latus qodlibet Iria ; basisque eiusdem M ita ut si Pyramidis porro altitudo wL sit eiu que pondus Μ se habeat ad pondus aequalis voluminis aquae vi p ad g ; sitque CFE stetio aquae quae pariter erit triangulum aequilaterum , cuius area sit m E. Iam erit

lumen autem partis submerae V erit m Sit denique L G B; erit stabilitas huius aequilibrii situs, quem

Pyramis proposita tenet Μ le Vl - b V i)Coroll. I.

a X. Si pyramis ex materia uniformi constet, erith ἱ c. Hoc igitin casii habebitur stabilitas istius aequb

s a. Si pyramis insuper abeat in tetraedron seu pyramidem regularem, ait c aYἰ stabilitas igitur tetratari Disitig Corale

190쪽

tratari angulo deorsum verὶ aquae insidentis erit

a a. Qio em huiusmodi tetraedron in aqua talem situm aequilibrii struare queat, necesse est ut sit Vseu l γ Eius igitur grauitas specifica maior esse debet quam 5 Ia , posita aquae grauitate specifica Ita Io oo.

a . Euolui hactenus eiusmodi sectiones aquae quae sinit figurae rectilineae, atque tres casius tractati sufficere . possunt ad nostrum institutum. Progrediar itaque ad figuras curvilineas, ex iisque praecipuas, quac facillime experimentis comprobari queant, faciam sectiones aquae, ut de plurimis corporibus inde iudicari queat, quemnam situm aquae imposita sint habitura, et quanta stabilitate in quoque aequilibrii situ persistini.

Problema.

a s. Si corporis aquae in aeq&ilibrio infidentis secti Tin. mimaquae Iuerit circulus ACBD , determinare sabilitatem respectu cuiuscunque axis CD , quia Gique flabilitas es dem , sin ise aequilibrii satus gaudebit.

Solutio.

natur radius circuli CI a; et ducta in quadrante CIA quacunque applicata XY Ocetur IX X et