장음표시 사용
201쪽
Is ctione aquae, tum ex huius modi sinionibus transuersali. bus stabilitatem definiri oporteat, docebo.
b. XIX. s a. Si sectis aquae sueris curua quae que A MBΜΛ diametro AB praedita, pars vero sit mrrsa ternu-netur tum infra spina horizotuali EF Iub axe AB msita , tum ad latera parabolis canicis Μ .ertices in ri et axes horizomaos ad AB M ages habentibus ; imaevire sabiat tem carporis talem aequilibra sirum in aqua renentis, ros ecta aris AB.
Consideretiir sectio partis submeriae quaecunque MQΜ verticalis et ad diametrum AB normalis voceturque abstita AP x; ΜΡ ΜΡ F; et profunditas constans R. a. PQ AE c. Iam seorsim contemplemur stationem Μwi , in qua curua ΜQ. et ΜQ. sent parabolae Appo, Ionianae vertices in Μ et axem Mn communem habentes. Cum nunc fit PHIII et PQ c, erit parameter utriusque parabolae 3. Qiam si dicatur ΜX t et X. Y u, erit u' ly et area MXY t u νς , unde area tota Meri posito ima fiet ἔ cI. Centrum gna litatis a tem e areae M M reperietur sumendo int gnate j I di idque diuidendo per itidi; est vero II uudi metquod diuisium per sedi dat ita utpγsito t sutumn sit Po c. Cum igitur omnium,. 2.2 'mium eiinmodi Μ n centrem grauitatis in eandem a diametro AB distantiam cadat, totius Hrtis silmersae
202쪽
centrum magnitudinis sitiam erit in o ut sit Io - : e. Multiplicetur porro sectionis Μ Μ area per dx , atque integrale e caesma: ἰ c. ΜΑΜ dabit soliditatem AE MM , quamobrem si area totius sectionis aquae AMBΜ ponatur E ; erit Bliditas partis submersae ἔ E c. Ponatur nunc pondus totius corporis ' Μ , sitque eius centrum grauitatis G in recta verticali IH per cenm mmagnitudinis o ducta , erit stabilitas huius aequilibrii situs respectu aris AB M sI Est enim propositione as huc induita et , atque V ἰEe. Posito ergo IGzαι , erit stabilitas quaesita αΜ BQ. E. I.
a 4. Hinc etiam distantia rectae verticalis III a pumcto A inuenietur sumendo in rate ipsius ἔ, idque
diuidendo per s*cs dx , ita ut futurum sit AlmCoroll. 2.s s. Fκ hac iginar formula perspicuum est rectrinHI per ipsi centrum grauitatis sectionis aquae I esse transituram , ita Vt hoc cassi tria centra grauitatis scilicet totius corporis, partis submersae, et sectionis aquae in eadem recla verticali sint sita.
a 6. Data ergo pro huiusmodi corporibus Φctione aquae , ex qua tam eius area E quam Ist' dx innotukat,
stabilitas situs aequilibrii ficile definiri poterit. V et Co
203쪽
a T. Qitia ergo in tali corpore centrem multatis
kct oni, a quae I xerticaliter imminet centro grauitatis G t tius corporis G , inter Oscillaiadum cent m grauitatis neque ascendct neque descendet, et hamobrem motus oscillatorius erit maxime tranquillus.
a 8. Satis igitur idonea est haec Brma parabolica,
ae sectionibus nauium transueristibus tribuatur, clam pereas id commodi acquiratur, ut et centrum magnitudinis partis submersae in eandem rectam verticalem incidat, et centrum grauitatis sectionis aquae. Hinc enim euenit, uti sepra vidimus, xt dipn Oscillationes a naue peraguntur, modo sint minimae, centrim grauitatis in quiete permaneat , quod plurimum iuuat ad istum motum maxime tranquillum essiciendum. Non QIum autem figura parabolica ad hunc estuc im producendum est accommodata , sed praeterea omnes . parabolae cuiusque ordinis idem praestant, innumerabilesque aliae cuniae, quae ita simic paratae ut areae Cariim 'QV proportionales sint ipsis ordinatis ΜΡ ,1 sectionis aquae ; siquidem spina corporis aquae innatantis est horimntalis. At si tota spina non est linea recta, sed vel tota oema, vel tantum ad proram puppimque sursim erecta, tum peculiaribus opus e t cumis ad idem commodum obtinendum. Qiamobrem primo parabolas iuperio m graduum pro casii, quo tota spina est recti horretontalis, ei luam , ac deinde curuas idoneas ad spinas non rectas inuestigmo. reo Dissiligod by Corale
204쪽
3 9. Si sectio aquae suerit curua quaremque AMBIITab. XIX. praedita diametro AB sub qua in plano Certi si Mylat Dina recta horizontalis EF, ad quam terminetur pars cumporis aquae immersa para lis cuiusuis ordivis M , Certi res in Μ habentibus , axesque horizontales se : determinare sabilitatem respectu aris AB.
Positis ut ante ΛΡ x ; ΡΜ I et AE NATO; R. a. consideretur sectio transiuersilis Μ Μ scossim, in qua sumta abscissa ΜΚ sit t et applicata XY u , naturat' svero huius parabolae exprimatur hac aequatione u existente ρ parametro. Q ita autem tm MP- , sit u FO c erit e 1 atque Areaam N pn-i ' ς ciem MXY erit totius si ctionis ΜΟΜ prodibit areamini. Deinde huius sectionis centrum gnulitatis litum crit In ξ t lit EO posito post integrationem l I. At est sudi-ν,4 ,
re cum sit a Iudi EAE; erit PQ
205쪽
tur omnium sectionum traiisuersiilium centra grauitatis in eandem rectam horigontalem cadant, partis sebmersae ce trum magnitudinis sitim erit in Ο, ut sit IoCapacitas autem partis submersio erit in artam AMBMA ; si ergo stiperficies sectionis aquae dicatur.E , erit volumen partis submersee m . Sit denique totius corporis contrum grauitatis situm in G , ut
si I G B; atque pondus totius corporis zz Μ , erit G Ο B - , atque in propositione generali sa93ὶ fiet dae a1 dx , ob a', et VI inc igitur orietur stabilitas huius aequilibrii situs respectuaris . E. I.
ago. Cum quaevis sectio transuersalis M proeportionalis sit ordinatae sectionis aquae ΜΗ, peripicuum est centrum grauitatis sectionis aquae I et centrum magnitudinis partis submersae o in eandem rectam verticalem III incidere.
38x. Dato igitur in eiusmodi corpore centro gravitatis I sectionis aquae , simul locus centri magnitudiniso innotescit; atque in rectam verticalem IOH etiam ce inun grauitatis totius corporis G positum sit necesse est.
a 8 a. Si fiat netrix, sectiones transuersales fient triangula, ac sineae M reme. Hoc igitur case erit volum Diuiti eo by Corale
206쪽
lumen partis submerse atque stabilitas prodibit
a 83. Sin autem sit n x , attamen η γ O , curvarum Μ tangentes in Μ erunt verticales, atque pars submersa figuram halebit gibbam seu conueram. At sin γ x figura fiet concam.
a 8 . Si stabilitas respectu cuiuscunque alius axis horizontalis per I transeuntis desideretur in si mula, nil erit mutandum, nisi expressio ablax, quae ad illum axem accommodari debebit. Cetera enim omnia non pendenta positione axis assumti AB.
18s. Eadem proprietas, quam habent tum conticae parabolae tum omnes reliquae cuiusque Ordinis, com . petit in innumerabile3 alias curitas, quae id circo eodem successe sinionibus transuersalibus 'Q. tribui poterunt. Omnes enim curuae eodem modo satissiciunt, quae ita si intcomparatae, Ut earum areae Muri quae aequalibus a stissis respondent, ipsis ordinatis Μ Μ sint proportionales, quippe ex quo fit, ut partis silbmersae centrum magnitudinis o verticaliter infici centrum grauitatis I sectionis aquae cadat. Pro his igitur curuis aequatio inter u et tita debet esse com irata, ut primo fiat u o , facti, i o, atque Ut deinde fiat u c posito Tertio
207쪽
vero area sudi , si ponatur i , talem tamam induere debebit Haec alitem re litisita seqtienti modo impetrabuntur : In genere sit T linictio quaecunque nullius dimensionis ipsu um t I , seu senetio quaecunque ipsius quae evanestat facto i o. Haec ergo functio T posito t abibit in numerum constantem, qui sitn, quo facto exhbebit illa aequatio uta -- curium quaesito latisfacientem. Namque facto t O , erit u o , atque posito t fit v e. Denique erit sudi At dabit functionem ipsius 3 , quac ideo abibit innumerum constantem puta m facto i unde area ketionis transuersalis ΜQM orietur Praeterea ro etiam interuallum Po , quo centrum grauitatis o sectionis transuersialis cuiusuis sub horiZontem cadit erit comstans : Cum enim sit Po posito post integrationemi ; erit suudi UT di P . Sed , d bit functionem ipsius - , quae secto t abibit in numerum constantem, qui sit Κ, ita ut sit suu di expressio diuisa per dabit ΡΟ - cui expressioni consequenter a trale quoque est interuallum M.
a 86. Sit sessio aquae curua quaecunque AMBMApraedi a diametro AB , sis qua in plano Certicali pars submersa terminetaer ad spinam EI F Ctcunque curvilineam ,
208쪽
inuenire Aginam id eam pro semonibus transuersalibus , τι nurum magnitudinis partis suismersae o Certi liter infrareturum grauitatis sed is aquae I cadas.
Positis AP x ; ΡΜ ΡΜzza , et PQ zzzz ; dabitur ob sectionem aquae datam a per X ; et ob figuram spinae ΕΗF pariter datam etiam a per α Quaesito a tem commodissime satisfiet, si surgulis sectionibus transversalibus 'QM eiusmodi figura tribuatur , ut earum areae fiant proportionales ordinatis se seu ipsis a. Ad hoc efficiendum diaeta in sectione transueris applicata quacunque X Y , sit MX t et XY a, atque assuma-Πiatur ad naturam curvae MQ exprimendam indefinita ista
209쪽
Yffabitrio assumere licet. In quantitate autem A eligenda, ad hoc praecipue attendi oportebit, ut applicata v continuo crescat, ab M ad Q progrediendo, atque xt inter punctari et Q cuma sit ubique convexa , seu Vt continuo decrescat, prius autem assequemur si 2 ab Μ xsque
ad affirmativum valorem retineat atque adeo in
etiamsi et fiat minimum. At si aliae circumlhintiae non admittant, ut singulis sectionibus transucrAlibus eiusmodi figura inducatur, tum quanto ex Vna parte puncti Isectiones transuor sales iusto vel maiores vel minores fite. rint , tanto quoque vel maiores vel minores eX altera pa te fieri debebunt, ut nihilominus centrum magnitudini
partis sitbmersae in rectam IH incidat. Q. E. I.
8 . Si numeronim n , m , et E ponatur Π minimus,m medius et maximus, ex numero π cognoscetur ρο- sitio tangentis se stionum transuersalium in M. Nam sin-I fitcrii x tum tangens erit horimntalis, sin n-Σ1 Verticalis , at si n a nam angulus erit obliquus
210쪽
Videamus an lalua hac conditione teritit, terminus C pos. sit evanestere ; hinc autem fit . Debebit e go esse
. .. ...... . i. ih ii, ita est ς' η'' ' '' '
ad o iseque decrescat , tum non poterit esse ubique sin n - I) et mn c. et hancobrem hi, casibus trinomiti Buctione ipsius t ad u designandum uti oportebit.
. . . . . . . . . . ...., .st eiusmodi 'S '''
se casius, quibus et tam diuerBnim capax sit Valorum , t area lection:im transuersalium ipsi a Bli omnino non proportionalis reddi queat; siluidem figurae non admo. dum dissimiles desiderentur earum , quae in nauibiis adhiberi solent Nam vel xbi altitudo et maior existit, ibi transversalis nimium coarctata esse deberet, vel ubi Σ vehementer fit diminuta , ibi area sectionis tanta esse deberet, ut limitibus praescriptis contineri non posset. Eiusmodi igitur casibus eam mede am affere coniicniret, cuius in solutione mentionem suci , xt sectiones tranSuersales , quae per regulam nimis des, es prodirent, vel augeantur Vel X a minu-