Scientia navalis seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus. Pars prior posterior ... auctore Leonhardo Eulero ..

191쪽

CAPUT TERTIUM

poris pondus sit miri , et volumen partis aquae submersee V, atque G Ο denotet interuallum inter centra grauitatis et magnitudinis, erit stabilitas respectia cuiusuis aras

alis. Qita diameter se habet ad peripheriam ut et ad 'r, exprimet 'ra' aream circuli. Si ergo area circuli ponatur hb, eriti H atque stabilitas ita exprimetur ut sit mri Go- -).

Coroll. 2.

a I. Si stetio aquae est quadratum areae αν, tum stabilit inuenta est M GO--ει , et si sectio aquae est triangulum aequilaterum , cuius area itidem est b rem stabilitas erat zz Mi G Ο -- α . Vnde intelligitur stabilitatem circuli esse minimam , trianguli vero maximam.

Coroll. 3.

3 8. Colligere ergo hinc licet, si sectio aquae fuerit polygonum regulare , stibilitatem prodituram esse eo mu

192쪽

norem , quo plura latera polygonum contineat; ceteris stilicet paribus.

Coroll. q.

a s. Ad maximam igitur corpori aquae innatantistabilitatem respectu omnium axium conciliandam, conueniet corpori eiusmodi dare figuram , ut sectio aquae fiat triangulum aequilaterum.

Exemplum I.

aso. Sit corpus aquae innatans cylindrus restis 1 Tin. XVIRΜNRS, in aqua erectus, cuius sectiones hortet tales sint circuli MN , CD , et RS , aequales, quorum radiussit III a. Pondus autem huius cylindri sit Μ, quod se M. at ad pondus aequalis Voluminis aquae Vt p ad ρ: Quare posita totius cylindri altitudine w L c erit altitudo partis aquae submersae I L I , atque volumen partis iubmersae V ' ; cuius centrum magnitudinis cadet ino vi sit L Ο '. Sit autem centmm grauitatis totius corporis in G, mittente LG di His ig tur substitutisinu nietur stabilitas cylindri in isto ere aequilibrii situ

as x. Cylindrus igitur in tali stu firmiter pectu mit si fiterit Hoc est si fiat LI: ἰCI ICI: OH, tumque punctum G insta punctum H cadat. T Gonn

193쪽

as a. si cylindrus ex materia viasermi constet, erit; hoc igitur cassi erit stabilitas Μ vQuo igitur hic situs sit stabilis, necesse est ut sit e c

Coroll. 3.

ssa. Si totus cylindrus fuerit datus, ex grauitatu specifica cognoscetur an situ erecto natare queat. Natabit

enim si fuerit i vel maius quam vel minus quam

Coroll. 4.

as . Perspicitur ergo si fuerit e M a V a. tum cylindrum semper situ erecto esse nataturum, quaecunqu fuerit ratio grauitatum specificanam.

Exemplum I.

Tab. XVIII. ass. Sit mrpus conus rectus ΜLN vertice deorsem Μ' a' versis aquae innatans, cuius basis radius WΜzzWNma; et altitudo wL c. Sit eius grauitas specifica ad aquam vi p ad ρ: erit sectionis aquae Co radius IC aYt; et I Lzz cvi. Atque cum basis ΜN area sit II 'ra , erit area sectionis aquae ; Vnde volumen partis submersae V erit ; atque Lo αἱ cvt. Posito nunc LG B , erit stabilitas huius situs aequilibrii GDissiligoo by Corale

194쪽

ass. Si ergo conus ex materia homogenea constet, erit B ἰe; hoc ergo cassi stabilitas erit

as . Quo eigo iste situs a uilibrii sit stabilis noeesse est ut sit Quod nisi fuerit, conus alium

quaeret situm, quo aquae innatet.

PROPOSITIO a

Problema.

ass. Sit corporis pars aquae submes C ΜLΜD m. Iulidum rotundum, geritum a uersione Amrae L Μ C eis aram verticalem LΙ, inque sectio aquae sit circulus CD Ira sis ema solidi rarundi sectio horizontagis. Determinare tutus corporis aquae insidentis Iabia tem.

Solutio.

Sit sectionis aquae semidiameter IC '; atque longitudo axis I L me; in quo positum sit tum centnim grauitatis totius corporis G, tum centrum magnitudinis partis submersee o. Positis nunc pondere corporis Met volumine partis si etiae V, erit stabilitas zz Μ ίGo- - Σοὶ, denotante et peripheriam circuli, cuius diam ter est m a. At tam volumen V quam punctum o ex natura curua CHL determinari oportet: Ad quod pra standi im vocetur abscisse LΡ x, respontansque applicaea PM et habebitur volumen suidi ex conuersione T a Partis Diuitiam by Cooste

195쪽

partis ΜLΡ orti m π1 dx, in quo intergasi si pon tur a. 'c , quo casu I a, prodibit totum partis submersae volumen V. Integrali ergo extensio per totam figuram LM C erit V π1 dx. Simili vero modo reperietur positio centri magnitudinis o putis sicimerie erit scilicet utroque integrali usque ad sectionem aquae extenB. Si ergo ponatur LGTTh, quipPe quod intcnaallum non a natura cumae Cm , sed ab indole totius corporis pendet, erit stabilitas istius situs ae

Coroll. I.

ass. Ad stibilitatem em' huiusmodi corporum imveniendam , duplex integratio est instituenda ; integrari enim debent hae duae sermulae differentiales et st x

Coroll. 2.

56o. Quoties igitur hae duae tamulae algebraicam admittunt integrationem , toties stabilitas algebraice e primi poterit. Ad quadraturas cumarum autem erit confugiendum , si vel alterutra vel Vtraque integrari nequeat.

Scholion.

36 I. Ex aequatione autem , quae habebitur inter x et I , qua cumae LMC natara exprimimr colligetur, utrum mmulae aedae et a 'aedae sint algebraice integrabiles , an a quadraturis pendeant. Hic autem conueniet omnes aequationes algebraicas inter x et I indicari, quae utramque, fi m Diuiligod by CO Ie

196쪽

DE STABILIT. QUA CORP. AGAE INSIDENT. et o

mulam reddant algebraice integrabilem , quo generatim intelligatur, quaeinam curuae algebraicae pro curua generatrice LMC assumtae producant stabilitatem algebraice expres sem. Ad hoc igiti u inuestigandum assumo duas quaScunque quantitates algebraicas Ρ et quarum vel altera alterius sit functio algebraica , vel ambae stinctiones algebraicae tertiae cuiusdam variabilis puta a ; et sicio 1 ad x zzzPax dx cd Ex his igitur erit, unde reperitur X Ly atque I apadu --dde squi sint generales valores algebraici pro x et y, qui primo praebebunt aequationem inter x et I algebraicam , et deinde stabilitatem producent algebraice eXpressam , quippe quae erit m M Sed stabilitatem in s lutione problematis generaliter inuentam expediet exemplis nonnullis illinare.

Exemplum I.

6a. Sit corporis pars aquae immeria CLD portio sphaerae , cuius radius sit erit ι - e zzzν ίM- ), hincque bata νε-. Cum igitur LΜC sit arcus circuli radii b, erit 3'zzzabx- , ideoque D' dx zzz b XX - έ x . Facto ergo x c ; erit III dx bcc-ὲctata

Deinde habebitur 133 x dx . F ἱ x' α - ἱδ posito x e . substituto autem loco b valore per a et cdefinito erit fas x dx His igitnr integraliabus inuentis prodibit stabilitas quaesita: M ' π

197쪽

ea proportionaliis interuallo, quo celitrum graui uis Ginsta centrum sphaerae cadit. Eiusmodi igitur corpus fio miter suum situm tenebit, si centrum grauitatis infra spha rae, cuius pars sebmersa est portio, centrum cadat.

Coroll. 2.

56 . Sin autem centrum grauitatis G in ipsim sphaerae centrum cadat, tum situs aequilibrii erit indisserens, id φ i accidit in globis ex materia unis armiconfectis; qui aqxvie insidentes omnes situs habebunt a quilibrii proprietate gaudentes, nullum autem neque bilem , neque instabilem sed omnes indisserentes.

Exemplum a.

56s. Sit curua LM parabola cuiuscunque ordinis, scilicet Erit ergo 'it' 'r , atque , ta

Cum autem sit a x ; erit V dx

integrale ad sectionem aquae CD usque pertingat. Simili autem modo erit Da x dx Ex quibus integralibus obtinebitur stabilitas quaesita Μ

198쪽

Coroll. I.

a s s. Stabilitas igitur haec, si in sermula eliminetur actusque loco introducatur b hoc modo exprimi potest, utut -- 'I c .m ., α - b J. EX qua sermula datis st et fi , radius sectionis aquae sponte deae

minatur

s H Μani tam autem est ex istis expressionibus stabilitatem eo Bre maiorem , quo minor fuerit fractio P. Si enim m esset zz O , tum stabilitas prodiret infinite ma gna , nec hic autem casus nec alii finitimi in rerum natura locum inuenitrat.

Coroll. 3.

568. Si maneat altitudo b eiusdem quantitatis, stabilitas fiet infinita siue sit c o siue ς - , minima ergo erit stab litas si fuerit M EG siue Iucasia ergo parabolae conicae, quo m a , n I stabilistas ent minima si sit c zzza e .

199쪽

p TERTIVM Propositio 3 s. Problema.

ab. XVIII. Si revoris aquae infidelitis in aequilibris I aio aquae fuerit ellimis ACBD , daterminare satilitatem huius aequilibrii situs respectu vitriusque axis maioris CDet minoris AB.

' Solutio.

Ponatur semiaxis maior CIIIa; semiaxis minor ΙΑ. b; erit posita abscissa IX x, et applicata XY , inter x et I haec acquatio 3 V a'-x'). Hinc igitur fiet D GIT :. Idx P - x'st, quod integrale posito x a, et denottantae r peripheriam circuli cuius di meter est zz I , abibit in quod proinde quater sem- tum dabit pro tota sectione aquae s , --z indae Em. Si nunc pondus corporis sit ' Μ , volumen partis submersee V, atquc G o indicet intemallum inter centra grauitatis et magnitudinis, erit stabilitas corporis respectuinis CD Μ GΟ- π l. Commutatis autem inter se semiaxibus a et b prodibit stabilitas respectu axis m,

a o. stabilitas igitur, qua corpus inclinationi circa axem maiorem restistit, minor est quam stabilitas respectu axis minoris. Qitare si situs fuerit stabilis respectu axis maioris, eo stabilior erit respostu aris minoris.

200쪽

DE STABILIT QUA COR . AU AE INSIDENT Isa Coroll. 2.

a I. Tota ellipsis area est r ab ', si ergo ponatur area cllipsis Ita E, erit stabilitas resipectu aris maioris C

a a. Superfluum Ere arbitror hanc propositionem exemplis illustrare , cum stiperiora excmpla pro circulo data huc ficillime possint accomodari, at lue inlitper panim commodi tam ad expcrimenta instituenda , quam ad pleniorem intelligentiam sequentium derivari queat. Qinmobrem missis his, quibus sectio aquae praecipue spectatur, ad varias figuras ipsius partis submersae considerandas progrediar , ubi per calculum sum inquisituriis tum in imum

partis sebmersae volumen , tum citiam in eius centrum magnitudinis, quippe quae res praeter sectionem aquae imprimis ad stabilitatem cognostendam inseruilini. Eiusmodi autem conBrmationes partis submersae prae aliis sum comtemplaturus , quae quandam habeant silmilitudinem cum nauibus reliquisque vasis, qinae ad motum super aqua adhiberi solent, quo inde non contemnenda comuuini adnaitigationem QEde. inustandam consequanti ir. Figuram igitur partis stibmersae infra icrminatam ponam linea recta horigontali, quae in nauibus spina dici conlii cuit, ct ad quam omnes sectiones transuersales verticaliter factae sniuntur. His autem sectionibus transuorsalibuS , quae sunt verticales ct ad spinam normales figura partis aquae submersae determinatur. Quamobrem quomodo tum in sev ctione