Scientia navalis seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus. Pars prior posterior ... auctore Leonhardo Eulero ..

351쪽

CAPUT SENTIO Coroll. S.

6s . Si longitudo AC a suerit tam magna r spectit basis BD, , p et r prae o evanescant erit resestentiae vis horizontalis DV r. A tang. resistem alae Fero vis Ferticalis erit a D 'D

Gues. At si longitudo AC a evanescat ut tota figura abeat in Blam hasem BD, tum resilientia horigos talis fiet D'r'is Atang. avspris et osudr, prout per se patet ; at ressistentia Verticia evanestet.

Coroll. s.

636. Soliditas totius huius conoecunei reperitur exf. 6I . quippe quae est as ri s Zyo et dae lae cum I in priore integratione si conitam, abit in

- α I Diar Iim sudr, denotatque suis aream cBD. Vnde tota Qliditas asu dr, quae quidem strante

patet.

Coroll. 5.

6s . Superficies autem huius cono-cunei in aqtiam incurrentis est ex g. 616. a s j θ υ ί- 2ν- a --r )ὶ. Vnde bis integrari debet haec formula disserentialis V sx' - - ρ' say -- ry)J, altera vice X altera r ponendo cons s. Si autem primo r ponatur constans, erit integrale V sx - p a-r )) - --- --. Posito Igitur ama, , erit Diqiti eo by Corale

352쪽

erit stiperficies cono-cunei quaesita

Coroll. 7.

6s8. Inuentio ergo seperficienim conmemmi cuius cunque pcndet a triarissimis seu quadratura hyperbolae , atque inseper ab aliis quadraturis, nisi formulae illae disserentiales integrationem admittant.

Scholion.

Quamuis huiusmodi figurae, quas hie cono- cinaei nomine appellamus , non ita pridem considerari co perint, eas tamen hic tanquam secundam corporum spiciem proserre Vistim est, quoniam magnam habent affinitatem ciun corporibus conicis, quae nobis primam speciem constituerimi. Quanquam enim , si simplicitatem contaictionis spectemus, corpora cylindrica et prasimatica primo loco collocari merennir, tamen eas hic prorsus nequidem attingemus, tam resistentia , quam patiuntur, ex praecedentibus, quae de figuris planis sunt prolata, facillime innotestat, ibique iam indicata sit. Nam si omnes sectiones horiwntales sent inter se similes et aequaleS, resistentia obtinetatur ex resistentia unicae sectionis, eam ducendo in altitudinem figurae. At si omnes sectiones plano diametrali parallelae fiterint inter se aequales et mmiles, tum pariter resistentia habebitur resistentiam unicae sectionis hanc per latitudinem multiplictando, quemadmodum attendenti sponte patebit. Hic autem vocabulum cono- nei in latiore sensu accipimus, quam Wallisius, curuam

353쪽

hsius circulum tantum assumserit. Generatim autem omnium. horum conincuneonam . natura cognoscetur ex aequutionc canonica. inuenta. da α - in qua cum

sit ' fiinctio quaecunque ipsius r et r fiet ξ lanctio quaecunque ipsarum x. et I nullius dimensionis. Quare pro

conincuneis erit det zz - , cum d. aequabitur Σ lanctioni, nullius dimensionis ipsanimat et I. Vnde ex quaque: Oblata aequatione. pro , quapiam seperficie e perspici. poteriti virum, figura a sit com cuneus anistam. Similiter natura: Corporum' conicorum i innotestat . aequatione: canonica a supra i inuenta

po , , quae cum: sit u Ita P abit in hane ioniam ι vero , Ob 3 r esto p funedo ν quaecunque nublius dimensionis ipsarum x. et I , erit a productorax in functionemn nullius dimensionis , ipsarum lx et I. Quin igitur aequatur functioni nullius , dimensionis . ipsenim x

et a toties, aequatior erit proi superficie conica. Omnis ergo 'aequatio, inter . x et I et . et , in qua hae tres varia' biles ubique eundem, dimensionum, numenim constituunt, naturam; exprimet coni. cuiuiuam ' At omnis aequatio tu ter x,I et et ita comparata ut tantum binae variabiles X etI bique eundem dimensionum numeriam adimpleant, super ciem. cono. cunei cui dam , CXhibebit...

Exemplum Ic.

66o. Abeat basis. Bin con cunei i in i triangulum' hblceles, , quo casu corpus, Amb mixtum. erit. CX. pyra' mi de

354쪽

tmide et cuneo. Sit semi-latiuido huius basis CB b , et altitudo CD c , erit u c - γ, atque p Cum igitur resistentiae , quam hoc corpus celeritate altu. tudini υ debita secundiun directionem CA promotum pa-i titur, . is retrourgens in .directione AC inuenta sit

A tang. ; tali addita iconstante, ut prodeat nihil posito .r TO. Fiat nunc , atque in ta resistentia quam figura in diremone AC .sentiet, erit m

'A Atang. a. Deinde Nis resistentiae quae sursum urget

, expressio, commodius texhiberi non potest , quamobrem siti clat resistentiam , qua motus retardatur, quippe ad quam imussim attendemus, determinata per quantitates finitas.

. 66x. Si longitudo ACIT a fiterit vehementer m gna prae θ ο ξ resistentia commodius ex formula disserentiali eruetur quae abibit in hanc stur Atang. cuius integrale posito .r b est A tang. θ ; qum .est ausistenta retardans. Qq α c Dissiligoo by Corale

355쪽

66 Si igitur detur area basis BD b, quae est be, et longitudo A C suerit perquam magna, resistentia eo erit minor, quo minor fuerit tactio a , hoc est quo acutior fiterit angulus BDb. Maxima vero erit resistentia, si capianir ratio b c infinita magna , quo tamen casu I sistentia erit finita ob Atang. I.

Coroll. 3.

66a. Per seriem etiam commode resistentia expimi potest generaliter pro quavis ingitudine s. Cum enim ab a b sit Atang.

stetit a valde paruum.

quae Iehementer conuersit si

Si autem series desideretur, quae Vehementer convergat, si sit a quantitas valde magna , reperietur resistentia motum retardans tm Atare.

356쪽

Coroll. S.

663. Soliditas vero huius corporis repentur m mmperficies autem eius basi et sectione aquae inceptis erit

- Cuius integrale posito m, etficto r Iz2b, reperitur m I

adeo ut in natio huius sormulae restet.

Coroll. 6.

666. Casus quo m a seu b c aliquanto fit simplicior , prodit enim superficies I V saa' - ροὶ -- a

rit ergo superficies quaesita T Vsaa -- )-- αἱ

Coroll. 7.

66 . Si insit per sit e a ; ita ut sit A C - CBm CD erit superficies a--Va)- '; cuius expressionis valor proximus est a'. α, s Gis G, scii sit perficies se habet ad basem proxime vi 2 ἱ ad 1.

Exemplum 2.

663. Sit nunc corpus nostrum Wallisii conmt neus, seu basis BD abeat in semicirculum, cuius semi- Q q a diam

357쪽

a Io

tamen hinc plenaria bintegratio non multum . iuuatur. Dein de si arcus cuius . tangens est in seriem reBluatur, integratio quidem . singulorum terminorum induetorum facilior . euaderet, std constans infinita esset addenda , quo prodeat nihil posito rmo. . Hoc incommoridum quodammodo .euitatur si loco illius arcus , substituatur aequivalem I - A tang. , sed quomodocunque aesculus instituatur; nihil , .culus Operae sinet pretium ..d riuatur, quapropter . conO- cunein relinquamus, ad aliam corporem speclcm plurimum iam Peru tam , corpo a Icilicet rotundorum progressuri.

Problema.

et ' ς--uae ex a .abus partibus aequalibus et similibus A. B , ACb consam, atque omnes sectiones Certicales STs ad planum diametrale AC D normeses semicirculi seu . quod . eodem redit, sit corpus ABDb genitum . uersin curvae ACB circa axem AC;

358쪽

lisque corpus'm asin in aqua directe in ectione CAL ; drireminare ' resissemiami quam pallatur.

ει constructione huius corporis intelligitur non Blum' planum diametrale A T D sed . omnes , sectiones per mem AC transeuntes Bre cumas similes et aequales semi sectioni , aquae ASBC. Cum ' igitur curua ASB data ponatur vocatis A Ρma et ' PS s , . dabitur aequatio inter x et s, stu's erit functio quaedam 'ipsitus x, ita ut si ponatur dsta dx sutiam sit p. pariter fimmo ipsius x. - Sumtis reliquis a ambabus coordinatis , PII et

quoniam 3 sectio SQTs est semicii ulus centro Ρ descriptus

cuius radius est: PS PT s , erit et V et a aequati narum' superficiei . huius corporis ' exprimitur. Haec er- 'go' aequatio ' si comparetur z cum ' canonica supra assiimta

zzz P dx et Q α - - namus iam sectionem: BDb omnium, sibi: pardelarum esse amplissimari, a existente. A C stu latitudinemv B b esse maximam Pac tota i superficies, ABDb resistentiam patietur ;, sitque celeritas qua hoc corpus in aqua progreditur secundum directionem, A L debita' altitudini v. . His praemissis CX propa resistentia sequenti modo definietur : cum sit; erit Fim din

359쪽

ficto poni debet I ri s. Hoc autem modo reperietur denotante 'r peripheriam cireuli,

cuius diameter est 1 ; et s. Sta α , atque

Nunc positis x et p et s variabilibus habebitur resistentiae vis horizontalis , qua coepus in directione AC repellitur in quo integrali, cum ita fuerit acceptum, ut manestat posito x o, fieri debet arma. Deinde vis resistentiae, qua corpus sursim urgebitur est haecque vis transibit per punctum

Coroll. I.

6 o. Si sectio aquae ABb in B habuerit tangentem ad Bb normalem seu mi A C parallelam , tum omnia plana sit perficiem tangentia in punctis H se, ala BD, ad hanc ipstin sectionem erunt normalia.

Coroll. 2.

6 x. Simili modo quem angulum tangens sectionis aquae in S constituit cum axe PA, eundem angulum plana tangentia omnia in singulis punctis sectionis ST seum axe ΡA constituent: ex quo singula elementa λctionis STs eandem patientur resistentiam, quam patitur aequale elementum in S situm.

360쪽

στ a. Ad Bliditatem totius huius corporis cognostendam ex s. II primum integrandum est differentiale - γ m. , cuius integrale posito a Is post integrationem est Unde tota seliditas fit m posito post integrationem X a

6 3. Deinde cum superficies ABDb in genere sit -ν I-Ρ'-- ὶ , crit superficies stili di nostri rotundi as nses dae V r Hup), in quo integrali ita acccpto ut evanescat γ sito . o, fieri debet

Coroll. s.

στ . si integrum Qlidum rotundum , quod generatur dum figura ACB circa axem AC penitus conuertitur in aqua secundi im directionem axis CA L moueatur, tum resistentiam motui directe contrariam patietur duplo maio-Tem , eaque ideo erit m 2 π

6 s. Huiusmodi corpora rotunda stre sola ab iis, qui resistentiam calculo inuestigarunt, si int considerata, longe alio autem modo in eonim resistantiam inquisiverunt, huic corporum speciei proprio. Deriuaueriint enim resistentiam ex ea consideratione, quam corolllario secundo indicauimus, quae Νia quamquam est multo facilior, quam via quam hic stimus sectili, tamen cluoniam ad alias m Portim species non patet, mella Ho generali uti maluimus. Hinc autem generatim innotescit natura omnium corporum rωR r tum