Scientia navalis seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus. Pars prior posterior ... auctore Leonhardo Eulero ..

411쪽

DE MOTU PROGRES. COR. AEM INNAE

dire is non congruat cum directione motus, tum motum non staim retardari sed etiam a semita rectilinea deflecti; quae quidem pertinent ad Blum centri grauitatis motum progressuum , quem hic imprimis consideramus. Etiamsi autem motus non fieret in linea recti, tamen cursus man re potest directiis, si scilicet perpetuo axis longitudinalis aprora ad puppem ductus maneat directioni motus parali lus ; per curium enim directum intelligimus e usmodi navium motum , cuius directio directe a puppi ad proram remit, et in quo eadem naui, pars anterior resistentiae aquae opponitur. Quando igitur eiusmodi vires adessent,

quae nauem circa axem verticalem conuerterent, etiamsi illiae motum progressuum non assicerent, tamen cur iam

directum turbarent, et curium obliqtinim producerent. Qirare cum in casu proposito, nullae istius modi vires adsint. etiam motus non Qtum in linea recta fieri inuentus est, sed etiam cursiis transit directus. Primum igitur conssit imiis ciniis directos simulque rectilineos eramini subiicere, tam in aqua quiescenti quam fluuio, et id clico eiusmodi castis proponere oportet , quibus tam cuniis directus quam motus rectilineu, conis actur ; quibus casibus euolutis dacilius erit ad cursius obliquos motusque curvilineos ex minandos progredi. Corpora autem ipsa aquae innatantia, prout stat vel libera seu sibi relicta , vel non libera seu termino cuipiam veluti anchorae alligata primariam huius capitis diuisiisonem suppeditabimi. Deinde vero sit ivisiones lumentur a potentiis quibus corpora sollicitantur, de quibus si inierint, primo enim in quaque tiactatione ut hic sucimus nullas potentias

412쪽

sellicitantes consideramus, dispiciendum est, non solum quan tae sint et qivinanam directionem teneant sed etiam ciuomodo pro Varia corporum celeritate et di Actique immutentur. Si. im naues a Fento propelliIntur, XiS Ienti sit eo minor quo celerius n.iues progrediuntur , qtvando qui . dem in eam plagam in quam Fentus icndit, Inouenitu in reliquis autem casibus 0bliquitatis qnti natio est habenda.i Deinde etiam xclorum directio, a qici directio xisi venti pendet, imprimi, est wntemphinda, quippe quae lienael fixa candem rei pectu nauis tenent positionem, utcunque EuS cursus immutetur. Remorum autem ratio aliter est comparata, cum eandem vim exerceant atque in indem directione respectu .nviis, quantumuis tam celeritaS quam minus directis . mutetur.

Ad . hanc igitur potentiarum i distinctioncm pr o attendi oportebit, qinando in earum cSctus inquiremus; id quod etiam nunc non nisi generatim se re licet, cum ipsi es kctus tam a Aento quam Icri S oinvadi nondum sint ρο-hitus perspecti ; sed in sequentj demum. Ehro accurato euol ventur . . Qiam rem 1 issiciet Almsentum ita generaliter pertractasse , Ut citis usus ad sinuentem librum satis

pateat. Tab. XXXII. fg I.

413쪽

Representetita corpiis per sectioncm nori Zontalem AEBF per cciatrum grailitatis G 'suctam; et ponatur cor pus a filiuio iam propulitim esse in' hunc situm , cum intitio verses cuir cius centriam grauit iis in C, xbi corpus nullam adhuc tribuit celeritatem. planiscitum igitur est ex conditionibus praescriptis corpus cursum directum atqt recti lincum esse accepturum , cum nulla adsit vis . qinie vel motum rectilineum deflectat, Vel corpus circa aXem verticalem conuertat, t inde cursius obliquus oriri posses Cum itaque corporis in C cclcritas nulla siuisset, 'ponatur eius celeritas acquisita curri in ' G penaenerit debita altit dini v spatium xero a centro grauitatis percussim C G sit 'S. Porro fluuii celeritas debita sit altitudini Dum ergo eorpus Xersiitur in G ubi eius celeritas est V o fim ius in corpuS aget excessii sitiae cclaritatis, . qua est v, supra celeritatem corporis iv υ , hoc est celeritate Vb-VUhacque celeritate candisn vim in corpus eXeret , ac si cor pus eadem - celeritate in aqua quiescente Ioeundum firmctionem Λ B moueretur. natur autem figura plana quae hoc casu eandem resistentiam patemur si eadem ces ritate directe conita et tuam impingeret. . Ex, his ergo Φ-quitur fore vim corpus sectuHuin cfrectioncm GL propcllentem aequalem ponderi aquae, cuius 1 olumen sit

Positis igitur massa seu pondere corporis: 'I: et volumine partis ubmers16 Ita V erit vis corpus in G prii pelleii et ' ; ab 'h ac ire vi 'it 1' otiis cn poris accelerabituT, ut di in per . spatii clemcnti mi tali

progreditur, 'st seu , cuim

414쪽

integrale est G, integratione ita inmtuta ut fiat vino posito s O. Tempus autem quo corpus spatium CG a Qsoluit est taci . .

Coroll. I.

. Ex data igitur celeritate νο musto facilius siritium s assignatur, quo percurso corpus illam celerit tem acqῆisiuit, quam vicissim ex dato spatio s celeritas νω. Hancque obrem temphis non per spatium sed mIpsam celeritatem determinare licuit.

Coroll. 2.

I s. Intelligitur autem ex formulis inuentis corpus nunquam tantam celeritatem acquirere posse, quanta est c laritas fluuii; nam si ponatur Ozαι, sit spauum s itemque tempus quo si v b, infinitum.

Coroll. 3.

6. Sin autem semel merit Omb, id quod acebdere potest, si corpori a vi terna tanta celaritas tribu tire, tum ob dor o, corpus progrediendo neque augmentum celeritatis capiet, n' ducrementum, ideoque tum motu miserta promouebitur.

. Si Iogarissimus qui in aequatione, mri relatio Inter spatium s et celeritatem V υ continetur in seriem

etc. ex qua expressione patet celeritatem per datum sipatium Diuitigoo by Cooste

415쪽

tiram fi acquisitam eo fore maiorem Wio maius suerit circa

Coroll. s.

8. Qito igitur corpus quam celerrime a fluuio abripiatur , eam eius partem , quae impillitim aquae excipit, quae est corporis pars postica, ita oportet esse comparatam , Ut ea si directe in aquam occurreret maiumam Pateretur resistentiam. Maxima igitur erit acceleratio si pars postica fiterit phina ad cursiim fluuii normalis.

Coroll. 6.

π9. Hi dissicile est ad datum spatium percursim celeritatem corporis assignare, ita facilius post datum quod vis temporis intentalium celeritas corporis definiri potest. Posito enim tempore ab initio motus praeteriapis mi , erit unde vicissim fit νυ

Coroll.

8o. Si quantitates b, et V exprimuntur in partibus millesimis pedis Rhenani, tempus t , quo data celeritas ν υ acquiritur , innotescet in minutis secundis Per

hanc aequationem t

Coroll. 8.

81. Vicissim vero si tempus detur in minutis secundis , atque quantitates j et V partibus millesimis pedis Rhenani exprimantur , ista aequatio V MAApraebebit celeritati acquisitae altitudinem debitam v in particulis millesimis eiusdem pedis. A a a Scholion

416쪽

Iga. Posiimus hic in initio C corpus nullam habitisse celeritatem , eique omnem motum quem acquirit, a motu aquae imprimi: sed pari modo problema tractinpotest, si corpori ab initio datus motus tribuatur, cuius directio cadat in eandem rectam CL, in qua tum diu ctio fiuminis, tum positio axis corporis AB suae sitae. Si, autem quaestis hoc modo extendatur, casius nonni

si inter se prorsus diuersi a se inuicem probe sent discemendi; quorum primus est, si corpus dis' in C aquae immittitur, iam habeat motum in directione simu CL sed minorem quam ipse habet fluuius , qui casus ex ipse solutione allata facile restauetur nam quoniam ce itas vii maior est , corpus accelerabitur, atque si celeritas alis debita sit altitudini λ, aequationis dimentialis integratio fiet

tempus, quo spatium s sitauit , seu celeritatem ν υ acquirit, reperietur mnia huc redeunt ut hic motus tanquam pari motus a qui te prosecti considerari queat. Initium enim motus cerulendum est Bisse supra punctiam C interiasio s Olam Tita hoc sicilicet puncto corpus ex quiete motum in singulis spatii CL punctis easdem habebit celeritates , quas in ipsio casu oblato, quo corpus data cel ritate V h ex puncto ipso C egredint r. Deinde si celeritas corporis initialis in C directioni fluminis directe fiterit

contraria, tum corpus primum contra cursum fluminis as.cendet donec eius motus penitus sit extinctus, indeque Diuili do by Corale

417쪽

quasi ex quiete a fluuio deorsuti abripietur. Euolutio a tem huius casus sequitur ex praecedente ponendo ML gatiuum, si quidem in C celeritatem habeat V k unde fiet Ex hac aequatione Obtinebitur interuallum , per quod corpus xltra C contra fluuii cursem progredietur si ponatur u o; tum vero fit

ex qua valor ipsius - s desideratum spatium praebebit. Tettius denique castis ab his maxime discrepat, quo corpus initio in C motum habet velociorem secundum fluuii directionem sed maiorem. Tum enim motus corporis non blum in flumine retardabitur , sed etiam altera corporis sibperficies versus A in aqua constituta actionem aquae sentiet,

posterior vero pars in B, quae hactenus ista vim ab aqua est passa, erit libera. in et igitur corpus hoc in casu resistentiam quae sit aequivalens resistentiae , quam superficies plana st eadem celeritate in aquam impingens sentiret. Quare si celeritas initialis in C ponatur in V het in G zz V o , erit resistentia Tta , Vndest j atque integrando U

-- a s: ex qua intelli tur corpus demum infinito spatio percuri ipsam fluuii celeritatem adipisci.

Scholion 2.

33. Quanquam haec omnia ex calculo recte instituto consequantur, tamen si ad rem ipsam spectemus, correctione indigent. Missa enim ea circumstantia, cuius ante mentionem fecimus, qua aqua aliam exercet resisten- A a a a tiam

418쪽

a a CAPUT SEPTIMUM

tiam praeter eam quae quadratis celeritatiun est proportionalis , in hoc motu stiper fluuiis ad aerem quoque respici oportet, qui parti corporum ex aqua eminenti nonnullam resistentiam opponit , quae quamuis stre octingenties minor sit quam resistentia aquae ceteris paribus , tamen eum tus a Qta aqua oriundos nonniihil turbat. Ita resistentia aeris in causa est, cur corpora a fluuio abrepta nunquam tam prope ad celeritatem fluuii accreant, quam calculus superior indicat, neque etiam Ob hanc ipsam causam cor poris motus si fuerit aequalis motui fluminis, conseruabitur, sed retardabitur. Deinde si corpus in fluuio maiore destendat celeritate , quam ipse fluuius habet, tum Ob aeris resistentiam non solum tandem ipsit in fluuii celeritatem acquiret, sed etiam minorem , quoad resistentia acris aequalis fiat impulsui aquae. Ad hunc offectum quodammodo aestimandum ponamus panem corporis in aere versentem eandem ab aere pati resistentiam , quam perpeteretur superficies plana M cadem celcritate contra aeremmota. Si ergo celeritas corporis, qua in aerem impingit debita sit altitudini v , erit resistentia aequalis ponderi molis aereae cuius volumen est Bhυ, seu ponderi molis aquae, cuius Volumen est Huius vis igitur si ratio habeatur in selutione problematis , prodibit d υ

v T , Intelligitur vltimam celeritatem

quam corpus acquiret non fore V, sed minorem, fiet scisiicet 1 νὼ - 1νω P circiter, seu Viv Qtiam obrem si portio stiperficiei corporis eXtna aquam emi nentis sit η vicibus maior, quam ea , quae sub aqtia Ver satur νDiuili do by Corale

419쪽

setur, erit proxime M G, indeque celeritas ultima Volsincque etiam immutationes in reliquis casibus ab aere ori nidae colligi poterunt. Sed in his omnibus aerem quietum positimus, aliter enim res se habebit, si aer Vento agitetur, qui motus pariter non dissiciliter in

calculum inducetur. . a

Problema.

8 . si eorpus AB in aqua quies. ente non moueatur cursu dire II in direomne BAL sed etiam stomaeum Banc directionem propellatur a qui quacunque consante, hoc es tuli, quae corpus motum aeque accelerat ac quiescens ; δε- ire malum huius corporis.

Solutio.

Potentiam corpus ad motum sellicitantem hic prumum ponimus abBlutam seu talcm , quae dato tempusculo eandem producit accelerationem quacunque celeritate moveatur ; ciusmodi scilicet potentiam mercent vires remonim , quibus siquidem remiges perpetuo eandem vim adhibeant, naues semper aequaliter propelli solent. Sit itaque potenti a ista corpiis in directione AL propellens p, denotante p pondus illi Vi aequale : atque resistentia , quam portio antica EAF in aqua patitur, tanta sit quantam pateretur stiperficies F si eadem celeritate directe contra aquam impingeret. Ponamus nunc corporis centriam gravitatis iam spatium CG s consecisse atque in puncto CA a a a minum Diuitigod by Corale

420쪽

CAPUT SEPTIMUM

motum inchoasse , in G vero celeritatem habere debitam altitudini O ; unde resistentia, quam in G sentiet erit sto ; stii si corporis massa seu pondus dicatur Μ et v, lumen partis submersiae zz V , erit vis resistentiae: ponderi Ex his igitur dum corpus elementum is o pe currit fiet seu A--π ατ quaeducta in fit integrabilis, atque aequatio integrata eritu inte ratione ita instituta ut evanescat V posito s o. Quocirca habebitur ista aequatio set erim νὶ ex qua celeritas corporis in sing lis spitii de ribendi CGL punctis innotescit. Tempus vero qio spatium CG s a centro grauitatis G percurritur in testet ex integrali ipsius a quod reperitur Q. E. I.

Coroll. I.

8s. Corpus ergo continuo accelerabitur crescente enim ἔ crestit O ; atque spatio iam infinito emenis acquiret celeritatem , cuius altitudo debita erit m-; stuceleritas maxima, quam acquirere potest erit m