장음표시 사용
61쪽
Cum 'vires h Zontales omnes, quae o resolutiompressionum aquae in singilla partis si,mersiae elamenta oriuntur, st mutuo destritant , solae vires verticales in considerationem veniunt. Quarum dismaeones, cum sine inter se parallelae, erit quoque media earum directio verticalis amue potentia aequivalens aequabitur summae omnium viritura verticalium. amobrem potentia aequiu lens omnibus aquae pressionibus aequalis erit ponderi aquae, cuius Volumen aequis est parti corporis suinae si o. Sit autem eius diremo . seu media directio omnium promorauio aquae recta vertica is ΙΚ, quae sectioni co poris horizom li A n D cum liaperficie aquae sectae occurrat in puncto Κ, et ex puncto Κ ad axem in sectione prolubitu assumtum ducatur perpendicularis ΚΗ. Iam consideretiae ut ante elamentum partis submerse rim dS, indeque verticales ad planum sectionis ACBD ducantur, itemque applicatae Q P , i. Tum ponatur H ant AP x, PQ zz et Q Μ exprimatque haec a quatio da P --Qd y naturam caperficiei submersae ita ut sit . -κ 1--Ρ - Q ὶ Vis autem, quaeIementum Μm verticaliter statium urgetur , aequatur ponderi aquae volaminis et , cuius momentum re
pectu horizontalis ad AB normalis et per A ducta est xx Posito igitur x constante et silmio integrali i sus a F, ita ut toti onmitae perpunctum P ductae re pondeat, dabit ID Uz0 fiammam ornr m momentorum respectu horimntalis perpunctum A ad AB normaliteratae. Haecque expressio si diuidatur per volumen partis
messio, quod in s Izθ, prodidit distantia ΑΗ
62쪽
rastantis autem KII habebitur si flanina omnium m mentorum respectit axis AB diuidatur per volumen partis ibmersee DXDdi momentum autem vis elamentumrim verticaliter sursum pellentis est yzώθ. Posito nunc ν constante et sumto intergrati a x ita ut omnibus appliacacis respondeat, tum dabit Dosa semmam omnium momentoriam cis axem AB , simili vem modo quaςratur summa omnium momento D ultra A B existentium , et ab hac summa illa si ma subtrahatiir residuumque per sd zo diuitiam dabit distantiam ΗΚ. C mito autem pumis Κ innotescit media directio quaesita IR. Q. E. I.
a . Gun vis, qua elementum Μm sustin πιν-nu, proportionalis sit misinati elemeruis QR Μ , man, fistum est remm KI hoc modo timentam per centrum grauitatis voltiminis aquae submersi, quod sit in o , transire. Eodem enim calculo, quo hic usi simus, centrum grauitatis selet determinari.
us. Media ergo diro stio omnium aquae pressionum, quas corporis pars submersa patitur est linea verticalis, quae per centnam multatis partis iubmersee transit.
α6. Si ergo corpus aquae innatet, quo casii UI men aquae parti iubmersee aequale aequiponderat ipsi corpori , tum potentia omnibus pressionibus aquae aequitia . lam a vilis erit ponderi ipsius co oris.
63쪽
2 . Corpus igitur aquae innatans ab aqua tanta sursiam pellitur, quantum est corporis pondus. Huius vero vis corpus Ilusiam pellantis directio est linea verticalis pe centrum grauitatis partis submersae transiens.
28. Ex conuentcntia, quam demonstrauimus inter mediam directionem pressionum aquae et rectam verticalem per centrum grauitatis partis submersie, transeuntem, facile intelliginir, hoc punctum o esse debere centrum grauitatis corporis Ain tanquam homogenei considerati. Quare utcunqne corporis pars submersa fiterit ex heterogenea materia conflata, tamen in puncto O in iugando haec pars submerse tanquam homogenea considerari debet. Hanc ob causam Vt ambiguitatem in voce centri gravitatis evitem, in posterum istud grauitatis cent nun O , quod ex consideratione corporis homogenei quaeri debet, centri magnitudinis nomine appellabo. Centrum igitur immitudinis partisse eriae inuenietur, si pars submersa tanquam ex materia homogenea constans consideretur, eiusque centrum grauitatis definiatur. Hoc itaque centrum magnitudinis partis submersae, quoque erit centrum grauitatis aquae destio loco depulsae, vel eius aquae, quae ante quam pus immergebatur, spatium AIB occupalmi.
as. Corpus ABC , cui duae potentiae M et os in directinibus parassilis et contrariis sunt antiatae, in si
64쪽
ae libris esse non pores, ris i ιν ρο -- μν -- ρ quais, earumque iurecti es in eandem rectam incidam.
Si potentiae fuerint inaequales , manifestum est co pus in aequilibrio esse minime posse: nam etiamsi coinciderent, istior corpus in sua directione promoueret. At si linentiae fiterint aequales, neque vero ccincidant, tum eae corpus ABC Mundum plagam BAC circa se ipsium conuertent. Quare quo corpus quiesciit , necesse est ut potentiae M et Οo non Mum sint aequales, sed etiam ut earum directiinaes coincidant. Q. E. D.
Io. Corpus aquae mere infidens in ne seu aegri fibris esse nequis, tum pars somersa viamine adaequet
pondus aquae ips corpori ae age, tum Nero nis totius comporis centrum Varutatis atque cerarum numstudinis partis stamese in eaniam rectam Certicalem incidans
Sit E AIBF corpus aquae utcunque insidens et m. AIB eius pars semina. Cum iam corpus ponatur li- herum , nullas sentiet citationes ad motum, praeter sitim is grauitatis et pressiones aquae, lata eius pars submersi patitur. At vis corporis grauitatis aec uatur ponderi ipsus, eiusque directio est recta verticalis transiens per Usus centrum grauitatis. Ponatur P ponderi totius corporis , et sit G eius centrum grauitatis ; quibus positis corpus mPter grauitatem deorsum urgebitur in directione GH a vi Diuitigod by GOoste
65쪽
a vi P. Deinde omnibus aquae pressionibus aequi lat vis directe sui sit in pellens in directione OL per centrum imagnitudinis o partis submertie transeunte, quae quantitate ada icit pondus aquae spatium a parte submeth ore Patum implentis posito ergo hoc pondere Q propera pressones aquae corpus in directione o L sursum urgebitur vi corpori igitur nostro aquae hac ratione insidenti omnino duae vires P α-sent applicatae . quarum altera corpK in directione GH deorsum altera vero in diaestione OL sursum Bllicitati Per lamma ita rae pra missum corpus in aequilibrio esse nequit, nisi simul sit Q zzP et recta LI in rectam HK incidat. Fit autem P , si inuta pars aquae submergatur, quae volumine adaequet pondus aquaο ipsius corporis ponderi a uale, dein inde vero lineae LI et ΗΚ mcident, si centrum g uitatis G totius corporis et centrum magnitudinis o partis
submersis in rudem 3ςrti sali sint sta. E. D.
s I, Duo ergo reqiiiruntur ad hoc , ut corpus a Ninsidens possit esse in aequilibrio, quonam si alterumundesit, scorpus hi qu te persistere pes uit.
3 , Quoties pago rcorpus aquae infidere videmus , tum certum est, partem retuS submersam volumine aequalem esse ponderi aquae ipsius corporis ponderi aequali; Atque praeterea centrum magnitudinis partis submcinae et centrum grauitatis totius corporis in eadem rem verticali σει sita,
66쪽
DE AEuriUBR. CORPOR . AQUAE INSIDENT. I Coroll. 3.
aa. Qtrire si corpus aqtiae innatans si erit in aequilibrio , tum recta iungens centrum grauitatis totius corporis et centrum magnitudinis partis submotiae, erit normalis in sectionem aquae AB.
3 . Cum per eXperimenta constet pondus, quo datum aquae volumen grauitat, ex dato corporis cuiusvis pondere inii eniri poterit quantitas pia tis submerae ad aequilibrium producendum requisita.
as. Qtio in sequentibus plures circumlocutiones mitem , loco integramin deseriptionum terminis coniicnientibuῖ Vtar. Ita centrum grauitatis totius corporis V aborantum simpliciter centrum gnavitatis atque centrum magnitudinis partis submersee tantum centrum magnitudinis, Cum hae V cs nunquam alio sensili Occurrant. Deinde etiam sectionem , quam corpus cum suprema aquae super ficie constituit, vocabo simpliciter scistionem aquae. Simili modo verticalis centri graui uis nobis erit recti ve ticalis per centrum grauitatis totius corporis transiens, atque verticalis centri magnitudinis denotabit rectam verticalem per centrum magnitudinis partis submersae tran
a G. Qitando in sequentibus ope harum regularum eos corporum situs determinabimus, in quibus aquae insic dere
67쪽
dere possint , id ita intelligi debet, ut corpus, si in eius.
iri, ut situ definito aquae accuratissime collocetur, tum demum in hoc situ sit quieturum. At si initissum exli K situ remoueatur xcl inclinetur, utrum tum sinante sese restituat, an vero in alium situm se recipiat ἰ alia quam stio est , cum huc nondum pertinet, sed quam in seque tibiis enoda . Si autem situs , in quo corpus aquae impositum quiescere potest , ita fuerit comparatus, t, corpus, si tantillum ex eo situ declinetur, se non restituat, sed allum situm quaerat, in quo acquiestat, tum difficillimum eli efficere , ut corpus in eo sitit persis lat. Etsi enim simina sbllertia in eum situm collocetur, tamen leuissima vi xel aeris vel aquae statim ex eo deturbabitur, adeo ut difficillimum sit, hiuusmodi castis per experimenta comprobare. Veluti nullum est dubium , quin baculus lassis aquae verticaliter ita immiti queat, ut aequilibrium obtineatur; intelim tan en in hoc situ constitutus quasi sitasseante procumbet, situmque horizontalem aflaetabit, in quo acquiestat.
a . Omne corpus , quod generatur ex rogatione cuiuscunque Iigurae ACFB circa axem quempiam AB, ita aquae insidere poterit, Ct eius aris A B teneat sitim Certicalem, dummodo centrum grauitatis 1uerit possum in f axe AB
. Recta EF ad axem AB nomiali abstindatis area EBF , quae circa axem conversa generet ilidum , quod O- lumine Duilirco by Cooste
68쪽
lumine adaequet pondus aquae totius corporis ponderi aequale, poteritque hoc solidum esse pars aquae imme genda , quo corpuS in quiete permaneat, si modo alterum requisitum in hoc situ locum inueniat At huius partis submersae, quae generatur ab area EF B, centriam magnitudinis cadit in axem AB , quare cum in eundem quinque centriam grauitatis cadere ponatur, poterit corpuS ita aquae insidere , ut axis AB teneat sinim verticalem. 4. E. D.
38. Ex hac demonstatione etiam intelligitur, hoc Corpus quiκluc inversi situ, quo B sursim A vero domitam dirigitur, aquae insidere posse ; adeo ut iam duo constent situs, quibus huiusmodi corpora aquae insidae possunt. Coroll. 2. . 39. Hinc etiam sequitur globum , cuius centriam gravitatis in ipis centro est positum , quocunque situ aquae insidere posse. Recti enim quaelibet per centrum transiens axis AB locum sustinere potest.
O. Ad tanc corporum chisscm pertinent cylindri recti itemque coni recti tam integri quam truncati . Quare etiam haec corpora aquae ita innatare Paterunt, Vt mrum axes teneant situm vertitatem , si modo eorum centra grauitatis in ipsos axes inclaint.
r. Corpora haec rotunda hanc habent proprietatem , ut omnes sectiones ad axem normales sint circuli, C a et
69쪽
et demonstratio hoc nititur principio, quod axis A Bpor surgithinim sectiomam tranSticrfilium centra gratuitatis inanseat. Qilare eadem propositio aeque Valebit pro co PIribtri , qu arum sicctiones ad axem normaliter sectae sint polygona reg llaria qilaecunque , ac pm circuliS. Qilamobrem otium huit innodi corpora aquae ita innatare potentiat , ut axes situm Verticalem teneant, sit modo centrum grauitatis totius corporis in hoc ipsis axo fuerit positum.
a. Si ergo huiusmodi corpora eX materia homog nea suerint fabricata , tum utique eorum centra grauitatis in axes sium incident. Qitare hinc concludere licet, Omnia corpora homogenea, quae eiusmodi habent figuras, aquae ita insidere posse , ut eonam axes sint Verticales.
. iii. I. Corpus cylindrisim DEIΗ , cuius omnes sectioresis a. transversales bunt inter se aequales et similes, sim erecto verticali aquae insilere potes, si modo eius centrum grauitatis suerit in recta AB per omnium sectionum
Ponatur ponio F GΙΗ uanta , quanta aquae imme gi debet, e . aque re ipsa aquae concipiatur submersa. Erit ergo huius partis submersae centrum magnitudinis in recta BC situm , quippe quae transit per omnium sectionum tranSVersiilium centra grauitatis seu magnitudinis. In eadem autem recta AB situm esse ponitur centrum grauitatiS t tius Diuitigod by Corale
70쪽
tius corporis. Qilare cum recta AB ad sectionem aquae F G sit normalis, corpus in hoc situ aquae insiidere pinterit. Q. E. D. ,
l. Me non monente facile etiam intelligitur, idem corpus situ quoque inverso quo HI sursiim DE vero deorsiim Vergit, aquae insistere posse ita Vt coi Iequentor duo situs sint cogniti, quibus hviii,iΠOdi corpora aquae insidere possint.
s. Si corpus D EI H fuerit ex materia homoge- genea factum , centrum grauitatis per se in rectam A Bincidit. Quare hiiiusmodi corpora sempcr aquae situ erecto insidere poterunt, idque duplici modo
S. Ad hoc corporum genus pertinent praeter cylindros vulgares rectos Omnia prismata recta , quascunque etiam habeant bases siue regulares siue inregulares. Deinde etiam pariter huc referuntur omnia sblida quae gelacrantur, si figura quaecunque plana secundum ductum lineae rectae ad phinum figurae perpendicularis motu sibi semper parallelo moueatur. Atque de his omnibus valet Theorema propositum.
I. Corpus cylindricum ab dc , quale in praecedente Tab. m. propositime considerauimus , situ horizontali b d aquae insdere poterit, si eius centrum grauitatis G in eius sectionem C a mediam