Scientia navalis seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus. Pars prior posterior ... auctore Leonhardo Eulero ..

91쪽

CAPUT PRIPVM si I Q atque ἰ γ I et tertio ἰ γ I. Requiritur. itaque

ut i contineantu inter limites 1 et v.

Coroll. 6.

99. Si fuerit ρ a : ; quo rectangulum p steriore ratione aquae insidere queat, oportet Yt sit primo , sicundo ξγo et tertio Quare necesse est ut contineatur intra limites ζ et ἔ.

Coroll. 7.

xoo. Si fiterit p : ρ I : , ne posteriores ac einnatandi modi fiant inutiles necesse est ut sit atque ξ γ I nec non , O . Quare limites erunt x et rivi stipra.

Scholion.

x o I. Qiiod in his duobus casibus posterioribus limites fiat iidem , mirandum non est. Nam si EF est stetio aquae pro parte siubmersa ECDF, quoque sectio aquae edi poterit pro parte submersi EA BF ; hicque casus locum habet si grauitas bcifica rectanguli ad aquam suerit ut ς' ad ρ. Atque si in limitibus pro F datis ponaturq-p loco p, primus omnino non mutatur, secundus Vero et tertius commutant ', adeo ut semper pro Vtroque casia iidem limites prodire debeant.

Tin. VII. Abeat rectangultura in quadratum MDC et os quaeratur , quo modo eius grauitas specifica comparata esse debeat, ut quadratum plurimis diuersis modis aqvie insidere Disit iam by Gorale

92쪽

DE AEQVIMBR. GORPOR. AQUAE INSIDENT a

sidere queat. Qitia ergo est b a, set primo x v

- ἰ), qtiae posteriores expressiones , quo fiant reales et utiles, oporaet ut primo i contineatur intra limites a- wa et a J a. Deinde opus est ut sit ves

γε vel I cet. Tertio vero necesse est ut sit veΙ axei Q ἔ. Qium: casus hi fient reales si I vel intra hos

limites a--Va et vel intra hos a 3 3 et ε contin atur. Deinceps etiam h κ quadratum priore casu aquae insidere potest, ut unicus angulus sub aqua , altero vero

ut tres sub aqua existant 88 , 89J, hocque uno saltem modo, duo enim reliqui ibi expositi requinint' vi I vescontineatur intra limites et V , vel intra limites; et Iliqui ergo limites ab illis excludi intur. Qitare si h contineatur vel intra limites a se VI et V , vel intra limites a-Va et , tum quadratum tam per hanc, quam praetendentem propositionem IS diuersis modis aquae insidere poterit. Sit ergo p : ρ 1 : , erunt sedecim sistationes aquae , quibus quadratum aquae insidere potest, prout in figura sint expressae per qtiae eaedem sectiones quoque valent pro quadrato cuius grauidas specifica ad aquam est ut 3 ad 6. Nisi autem grauitas specifica intra dictas rationes contineatur , tum octo tantum modis qtiactati unaquae insidere poterit

Scholion.

Ioa. Qiae igitur hic de diuersis modis , quibus vel triangula vel parallelogramma rectangula homogenea aquae insidere possunt, tradidimus , ea quoque pertinent ad F a pricinata

93쪽

prismata homogenea , quanim sectiones sunt vel triangula vel rectangula uti sit pra monstrauimus. Tot scilicet mo dis hiliusmodi prismata, dum eorum axes manent in situ horizontali, aquae insidere poterunt, quot tum pro triangulis tum rectangulis in his propositionibus assignauimus. Hi autem utique non sunt omnes casiis, quibus prismata aquae innatare possunt, nam praeter hos pluribus quoque aliis miniis aquae insidere potentiat, dum eorum rata vel sint verticalas vel ad horizontem Oblique positi, quemad-m Hum ex allatis Scile colligere licct. His autem ulterius persequendis contra nostrum esset institutum, t immorar

mur.

Definiti

xo . planum diametrale voco planum, quo corpus m duas partes similes et aequales diuiditur ita ut omnes sectiones corporis, quae fiunt planis ad planum diametrale normalibus, ab hoc plano diametrali dividantur in duas partes similes ci aequales.

Corollarium.

xo s. Corporis igitur plano diametrali praediti cen-tnun magnitudinis incidit in ipsem planum diametrale, cum eX Vtraque eius parte corpus sit sibi simile et aequale.

Scholion.

1 OG. Corpora , quae habent planum diametrale . prae ceteris merentin , quae examini subiiciantur ; omnia enim corpora quae ad natandum in aqua adhibentur, ita sunt comparata, ut planum diametrale admittant. Sic in oma, Diuitigod by GO le

94쪽

DE AE ILIBR. CORPOR. AIDAE INSIDENT s

omnibus milibus planum Verticale per spinam transiens habebit hanc proprietatem , ut naues in duas partes similes et aeqiviles diuidat. Quod autem omnes naues hoc modo fibricentur ratio in promtu est , cum nulla sit ratio , cur ex una parte aliam habeant figuram , quam o altera. ut lamobrem ad figuram nauium aptissimam determinandam stis.ficit alteram medietatem circii planum diametrale assignas se , quippe cui altera Pars similis et aequalis constitui do

Problema. '

Io . Corpus, quod plano diametrali es praedium aquae semper ita innatare potes, Ct planum diametrale sit verticale, s modo corporis censrum grauitatis in planam diametrale cadat.

Demonstratio.

Sit corpus huiusmodi aquae ita impositum, xt planum diametrale teneat situm verticalem , erit sectio aquae normalis ad planum verticale , ideoque pars aquae sub mersi a plano diametrali in duas partes similes et aequales diuidetur. Quamobrem huius partis submersite centriim magnitudinis cadet in planum diametiale, in quod etiam centnim grauitatis totius corporis cadere ponitur. Con, quenter corpus ita inclinando , ut planum diametrale mancat verticale , essici potest , Ut recta illi genS centra grauitatis et magnitudinis fiat verticalis, quo ergo castu co Pus aquae innatabit. Q. E. D.

Scholion

95쪽

Io 8. Huitriinodi situ , quo planum diametrale est. Verticale, videmus omnis generis naiies a te insidere, nisi a vitibus alienis ex hoc situ declinentur. Atque tum in coititruendis tum onerandis nauibus in id potissimum est incumbendum , ut centrum grauitatis in planum diametrale cadat, quo naues hoc situ descripto aquae innatare queant.

Scholion 2.

xos. Exposita igitur sunt in hoc capite principia

quibus status aequilibrii corporum aquae innatantium nititur, atque simul methodus est tradita, cuius ope pro quibus .cunque corporibus propositis situs, quibus aquae insidere possitnt, determinare licet. Corpora autem hic stimus contemplati omnino libera, quae a nullis viribus externissimi λllicitata, sta a Blis viribus tum grauitatis tum pres sionum aquae in aequilibrium constituuntur; in sequentibus autem tam ad morum qinam aequilibrium corporum, quae vel non sunt libera vel a viribus externis sellicitantur determinandum pregrediemur. Nunc autem ad caput sesum dum pergimus , in quo investigabimus motum , quo corpus non in aequilibrio constitutum , sese in situm aequilibrii restituit. In hoc scilicet capite considerabimus corpora aquae ita imposita , ut vel non debita pars a ac sit immerse, vel

recta iungens centra grauitatis et magnitudinis non sit ve

ticalis , et inquiremus, quomodo ex hoc situ in stitum aequilibrii se recipiant. Cum autem corpus aquae non ita imponi queat, quin e vestigio in statum aequilibrii collocetur,eiusinodi casus hic examinandi venient, quibus corpus ab eX-tema vi ex aequilibrio est depulsinn, et cessante ea vi in statum aequilibrii reuertitur. CaDut Di iligod by Corale

96쪽

Caput Secundum

PROPOSITIO il.

Theorema.

Vt corpus quae ita insidat, ut vel non tanta eius pars aquae si immersa quanta ad aequilibrium requiritur, viri recta iuvens centra grauitatis et magnitudinis non suerit verticalis, tum corpus mstuebitur donec in satum πιθα-kbrii peruenerit.

Demonstratio.

Sit enim primo non tanta pari aquae submersa, qu inta ad aequilibrium requiritur, manifeshim est vires grauitatis et pressionum aquae fore inaequales, ideoque sese mi tuo non des mere. Qiare corpus tum mouebitur vel ascendendo vel des Tndendo, donec in aequilibrii suum perueniat. At si recta iungens centra grauitatis et magnitudinis non sit verticalis, vires grauiditis et prellionum a itiae, etiamsi fuerint aequales, tamen non directe sibi erunt Oinpositae. Cum igitur etiam hoc casu Vires, quibus corpus sellicitatur se non destruant, necesse est Ut motum gyratinrium in corpore producant, qui tam diu durabit, doaec corpus

in aequilibrium fuerit constitutum. E. D. Cinaei

97쪽

Coroll. I.

III. si igitur corpus vi extema ex situ aequilibrii metit declinatum , tum cessante hac vi molieri incipiet, donec in situm aequilibrii peruenerit.

II a. si ergo daretur corpus, quod ita esset comparatum , Ut nullum situm aequilibrii admitteret, tum hoc corpus aquae impositum perpetuo moueri deberet, atque perpetuum mobile verum repraesentaret.

Coroll. 3.

xxa. Cum igitur huiusmodi mobile perpetuum comtradictionem inuoluat , sequitur omne corpus saltem unicum habere debere situm . in quo in aeqAbrio esse queat.

11 . Quia corpus dum se restituit in aqua moueri debet, patietur quoque ab aqua resistentiam, quae eo maior erit, quo maior fuerit celeritas corporis contra aquam. Motum autem resistentia prorsus impedire non potest cum motus tardissimos non amplius afficiat.

Coroll. s.

II s. Interim tamen hoc certum est , corpus se non tam cito restituere posse , quam si aqtia nulla pro sis resistentia reluctaretur. Eo tardius igitur corpus se restiuiri, quo maior supenanda fuerit resistentia. scholion Dissiligod by Gorale

98쪽

II 6. In hoc ergo capite inquirendum nobis erit, cuiusmodi motus in corpore, quod a potentiis sese non destiuentibus sellicitatur, generetur. Ad hoc autem praestandum pliuibus opus est propositionibus ex mechanica petendis, circa inuetiam potentiarum in corpora finita. Qua de re cum vix quicquam adhuc certi sit traditum , necesse est ut principia ad hoc necessaria ex ipsis mechanicae stantibus hauriamus. In sequentibus igitur lemmatis inuestigabimus, cuiusmodi motum quaecunque potentiae corpus sollicitantes producere debeant; haecque principia, quae hic stabiliemus, non ilum in hoc capite, sed etiam in omnibus sequentibus tantae sent necessitatis, ut iis nullo modo carere queamus.

TI . Si plura suerint corpora A, B, C, D quae singula in directionibusparallelis promota perueniant in a, b, c, d tum eorum commune centrum grauitatis o in directione quoque parallela oo mouebitur , et perueniet. in o G su Ο Ο - β. At D ta denotavidus A , B , C , D masas corporum respective.

Dbmonstratio.

Producantur directiones Aa, Bb, Cc, Dd, donec rectae Zδ pro lubitu assiimiae occurant in punctis α, g, et recta ex centro grauitatis o in tu . Erit ergo ex nota centri grauitatis proprietate gex qua aeqxtitione intelligitur , punctiim ω fore vestigium centri grauitatis Eam dum corpora in A, B, C, D quam dum in a, b c sint sita , quare directio, in qua G ce Diuitiaco by Cooste

99쪽

centrum grnritatis mouetur, erit parallela directionibus co porum. Deinde vero corporibus in A, B, C, D existentibus erit o ω Translatis autem corporibus in perueniat centrum grauitatis in o, erit per eandem centri grauitatis proprietatem ota

Coroll.

Is I. Pinatuscunque ergo sit corporum numerus d monstiatio data aeque valet, ac pro casii quatuor corporum tantum. Atque eX demonstratione quoque intellia gitur, eam pariter vim suam retinere siue corpora sint in eodem plano sita siue secus.

mb. VII. x xy. Si fuerim corporibus B, C, D potentiae a, b,e, d resspective inplicatae , quarum directiones inter se sim parallelae , corporaque ab iis moueantur, tum eorum commuri centrum grauitatis o eodem mct mouebitur , ac s omnia corpora in ipse grauitatis centro o essent concentrara eorumque summa AH-B -C- D a summa mentiaruma H-b c-sed in eadem Hrectione filicitaretur.

Demonstratio.

Pmmoueantur puncto temporis d t corpora A , B , C, D a potentiis respectivis a, b, c, d per elementia Aa, Bb, Cc, Dd, erit per nota mechanicae principia Aa

, Bb U , , D. Interim

imur

100쪽

igitur per lemma praecedens perueniet centrum grauitatiso in o , ut sit Oo parallela directionibus potentiarum , atque oo At si in o concentrata esEt summa corporum A - B -C -- D , eaque in directioneoo scilicitaretur a semma potentiarum d , tum tempuscillo d t perueniret quoque in o ut esset o o Quare dum corpora singula A, B, C. D, a suis potentiis respect tuis a , b, e , d in directionibusinter se parallelis urgento, centrum grauitatis o eodem modo mouebitur ac si siumma corporum in o concentrata sellicituetur a semma potentiarum a-FbH-cd in eamdem directione. Q. E. D.

Corollarium.

I sto. Haec igitur demonstratio aeque succedit, siue corpora sint in eodem plano posita, siue secus dummodo potentiarum , quibus singula Bllicitantur, directiones sint inter se parallelae.

Ia I. Si corpora A, B, C, D fllieitentur a quibus , cmque patentiis, ab iisque moueantur, tum eorum centrum δ' grauitatis o eodem modo mouebitur u si in eo omnia corporum massae esent concentrarae , em que eviragato a plicatae essent omnes potentiae quaeque in directione parallela ei, in qua singula corpora , finitansuri

Demonstratio.

Sumantur pro lubitu tres dimitiones suste Z P, Z Q, inter 2 M ales, et quaelibet potentia, qui G a diu