장음표시 사용
81쪽
a. Qiuod igitur aequatio initenta continebit radices reales et assi attinis pro x quae sunt ipso a minores et quibus respondent valores ipsius a minores quam b, tot modis triangulum propositum aquae ita insidere poterit, ut anguli A et B sub aqua versentur.
l. Sin autem aequationis propositae omnes radices sint reales, eamm tres tantum esse possint assirmatiuae. Quare fieri non potest , ut triangulum pluribuS quam tribus modis aquae ita innatare quot, ut illis angulus Cextra aquam emineat.
s. Si tertium latus AB ponatur c, hocque Ioco cosnus Κ anguli ACB introducatur, tum sequens Orietur aequatio E-- qis a b o.
6. Si fiterit ρ : ρ I : a , haec aminatio congruit, cum aequatione superioris propositionis. Quare hoc casse eadem recta a b poterit esse sectio aquae tam si angulus C fuerit solus extra aquam , quam si fuerit aquae submersus.
82쪽
im o, quae per dilusionem abit in has dura aequationes I. πη- ρ p at o et II. μ - 1--Κ qa Hsq-pini P. Harum aequationum prior dat XI et , cui quoqueressemdet a 'hoc ergo casu triangulum extra aqinam eminens erit quoque istaceles, et sectio aquae ab parallela basi AB. Altera aequatio has duas pro x datirantitates x αἰ I Κ)a aY ἱ 1--Κὶ - , quibus resipective respondet' I si--M Fἱ rPraeter primum ergo situm inuentum alius non dari potest, ub
si sit V αὶ x Κὶ', at etiamsi fuerit hoc si
him non sumit ad rediatem posterium casuum; insuper enim requiritur ut tam x quam ν sint ipDa minores, id quod locum habebit si fuerit γK. Quamobrem , quo cassis post riores fiant reales, oportet ut ratio i inter hos limites
g. Ex his igitur duabus propositionibus omnes c lus definiti possunt, quibus datum triangulum homogeneum aquie situ verticali ininuare potest. Poripicitur autem Gnaul numerum casuum satis magnum esse posse, prout plures radices aequationum inuentarum sunt reales et qua sito satisfacientes. Omnes autem radices si fuerint utiles, tum triangulam I 8 diuersis modis aquae innatare poterit, tres enim sunt casus, quibus singuli anguli aquae imme guntur , totidemque quibus singuli extra aquam eminent. Vix autem euenire potest, ut omnes octodecim casus mant reales quia si grauitas specifica trianguli ad aquam pro E mu
83쪽
ulto anyilo r iiisitam habet proprietatem , eadem pro reliquis angulis non amplius satiSiacere potest. Ita triangulum aequi latenim , si quidem eius grauitas specificii ad aquam contineatur inter nationes I 6 et 9 : 16, quo casiuplurimas admittit radices satisfacientes, Ia tantum diuersis modis aquae insidere potest.
s. Si ex trianguli ABC reviro gravitatis G inimaui AB perpendicularis G ducatur, era lauris A B sev
Ex angulo C per centrum grauitatis G ad latus Assis catur recta C D, erit o nota centri grauitatis natura AD BD, atque GDzzz CD. Demittatur C ad AB perpendiculum C Ρ, erit AP - '' di hincque D Ρα Y-A Ρ Cum autem CP sit parallela ipsi G Q erit Ρ D Ρ unde fiet PQ ης ' Α ς' Qitumobrem erit A AP - - Pq Q. E. D.
8o. Ipsum ergo perpendiculum G centro gravitatis trianguli G in latus A B demissum erit tertia pars
perpendicularis C P , ita ut sit G Q ἔ C P. Coroll. 2.
3I. Si angulus A C B fuerit rectus, erit A NII AC'-BC', hoc ergo case fiet
84쪽
ga. Si a patra gramin rectanguis ABDC rectans. v EF abscindatur triangulum EDF, atque ex centro graui-tatis G rectauidi totius AD in rectam EF perpendi dum G Η demittatur , inuenire punctum Η.
EX centro grauitatis G rectanguli in latus BD demittatur perpendicularis G I secans rectam E F in K erit DI α BD, et EI ED-ὲ BD, itemqtie GI IAB. Iam ob triangula EIΚ , EDF similia; erit IK DF - , aritio El EF- in. Dei de habebitur GΚαὲ AB-ΚI α ; A B-DF-- - - atque propter triangula G ΗΚ et E DF similia ista aualogia EF: DF GKiΚΗ, ex qua sequitur Quocirca reperietur E H E F
85쪽
hac ergo analogia reperitur ipsa centri grauitatis G a recta
Fab. V. 8s. Pro suo parasib grammo rectanguis μονυν '' ABDC, eaevi grauitas speciflca sis ad aquam Gp q, is mire casus, pisus hoc para gran-- rectavia quae sta insidere potes, Ct fris mylus D immergatur.
Sit EF sectio aquae quaesita , et EDF portio aquae immergenda , erit D E. D F : A B. BDm p : atque
recta jungens centra grauitatis totius rectanguli, et partis E DF normalis esse debet in sectionem aquae EF. re normales in centro grauitatis rectanguli, et centro grauitatis trianguli EDF in idem rectae EF punctum incidere debebunt. Qitare per 8a. et 8x erit ZHlas Πρ-ηE Positis nunc AB CD a, AC BD- b , DF x et D E I , erit qIx a pab is s---- 3ηX a I a X', quae si loco eius valor fissistituatur abit in hanc a qqx'- aqqax --σpqab'x-8p'a'b zzzo. Ex qua aequatione inueni etur valor ipsius x, ex eoque valor ipsius I. Q. E. LCoroll. I.
86. Aequatio haec ad summiim tres habere potest radices assimatiuas reales, linum autem ea tantum qua a sito Disit iroo by GOoste
86쪽
sito setis ciunt, quae pro x valores dant ipso a minores, et quibus simul valores ipsius y restoident ipB l minores.
8 . Cum triangulum EDF dimidium rectanguli excedere nequeat, perspicuum est rationem ρ ad p minorem dupla esse non posse, ita ut esse debeat vel avelI , a.
88. Si rectangulum abeat in quadratum Ut sit in a, habebitur ista aequatio a q' x' - a qqax --6 pqa x- 8ppa' o, quae Oissione redivitur in has duas
inmm amitationum illa dat x zz a V , cui respondera VI, quo ergo case x re a sent aequari , et aquae EF fit parallela diagonali BC. Ex altera aequatione eruitur duplex valor ipsius a 'U--aν ι cui quoque iste duplex valor ipsius I respondet, stilicet ginarii oportet si Ne igitur hi valores fiant ima-
Quare si i contineatur inter hos limi- , . et tres c siis dantur , quibus: quadratum aquae ita insidere potest, ut Elin angulus D aquae immergatur.
89. Eadem tautio parumper immutata etiam huic problemati satissiciet, quo quaeruntur casus, quibus P E a nasse. Diuitiam by Gorale
87쪽
rallelogrammum lectimulum aquae ita insidere queat, ut tres anguli B A , C sub aquam mergantur , lulusque angulus D emineat. Hoc enim casu pariter ut ante positio rotae E F inueniri debet, in quam recta iungens centra grauitatis remnguli AD et triai anili EDF sit not- malis. Ηος tantum distin istud problema a praecedente, quod hic area ABE FC ad totum rectangulum rationem habere debeat p ad ρ. Cum ergo hoc casis ratio areae trianguli EDF ad rectangulum totum esse debeat ut q-pad q, sesutio praecedens ad hunc castim accommodabitur ponendo q -p loco p. Manentibus igitur ceteris denomia nationibus utante, erit aqqx'-- aqqax'--6ίρ ὶ qab'X-8 sq-py a 'b' 'o , ex qua valori ipsi is x inuento respondet valor ipsius I Si rectangulum abeat in quadratum eadem valebunt, quae in exemplo sunt invinita, si modo loco p ponatur q-p. Ita quadratum tribus diuersis modis aquae ita poterit innatare, ut solus angulus D extra aquam emineat, si i cmuneatur intra hos limites et
τα H. m. Dato trapeaM AB DC, in gis latera AC et v K BD sint inter se parasti , αμ ad bam CD normasta, enire punct- Ε , in m recta GH per centrum grauitatis trapeam G ducta in laetus AR mmiater incirit.
Producantur tum latus AB tum basis CD, donee concurrant in I ri ex viri quo trianguli Ac I et B DI
88쪽
centris grailitatis concipiantur perpendicula in AI demissa. Iam ex stilicis constat fore momentum trapezii respectu puncti I aequale disserentiae momentorum triangulorum. Momentum autem figurae resipectu I obtinetur , si area multiplicetur in distantiam puncti, in quo perpendiculum ex eius centro gratiitatis in AI demissium in AI incidit, a puncto I. Ita momentum imperii erit A B D C. IH , atque per 81. erit momentum trianguli A C I et LASI MI DAS ) atque momentum trianguli BDI Quamobrem habebitur ista aequati O A C. - δε )' a' ) qua punctum H determinabitur. Ponantur ergo AB a, AC ε BD Oet CD V, eritque AI H; BI CI atque D I TA . Ex his prodibit A Cra; ACI m et BDI d. Iam ponatur 'x'.
erit III 'PJ-x, qui biti valoribus substitutis obtinebitur tandem Q. E. I. .
fr. Simili modo ipsum perpendiculum GH ope
momentorum poterit determinari, prodibit autem calciato ad finem perducto
89쪽
sa. Determini e casus , quibus parallelogrammum rectangulum ABDC homogenemn , cinius Drauctas specificaad apuam su G p q , a ad sta styidere potest, τι duo an i C et D sub aqua, resipia Cero A a B extra
Sit EF sectio aqine, quae quaestioni satisaciat, in portet primo ut sit AC : q. Deinde requiritur Vt recta iungens centra grauitatis totius rectringuli et portionis ECDF in EF sit normalis, id quod eueniet, si perpendicula ex utriusque trapezii ECDF et E ABF centris grauitatis in EF demissa coincidant. Perlamma igitur praemissum obtinebitur ista aequatio
90쪽
9 . Primus ergo casias, quo semper Io-Tab. VLciam habet, dummodo fuerit rectangulum grauitate speci fice leuius quam aqua stii pse Tum autem sectio Mquae erit EF parallela lateribus AB et CD.
Coroll. 2.9s. Haec igitur Bla Blutio quatuor exhibet casias, quibus rectangulum homogeneum aquae innatare potest.. libet enim latus per eam in alia situm horizon talam prout CD tenere poterit.
96. Duo autem reliqui castis non semper locum , habere possunt. Qito enim existere queant requiritur, Ut primo sint reales, deinde ut stat assismatici et tertio Vt, minor quam limis b.
9 . Hi Iem pro x et a intienti valores, quo sint reales requiritur ut sit hoc est ut sit ἔ Deinde quo snt affirmatici necesse est ut sit q' seu ς Tertio vero quo sint latere b minores oportet ut sit - ab
93. Si fuerit rectangulum duplo huius quam aqua, ut sit i ἰ; quo posteriores cassis fiant reales oportet