장음표시 사용
71쪽
mediam e s incidat. Et quidem eodem situ aquae infidere meerit, quo scitio media sola ALBI aquae situ Creticali innatare potes, si em centrum grauitatis in G Iuerit Dium.
Insideat enim hoc corpus aquae stu horizontali , sitque tanta eius piri iam inimet si , quanta ad aequilibrium requirinir ; manifestum est cen m magnitudinis opartis sebmersae quoque in sectionem mediam es radere debere, esseque in iplb celatro magnitudinis partis ipsius sectionis mediae siubmeriae. Nisi ergo haec centra Geto in eandem rectam verticalem incidant, conuertatur corpus eousque donec illla centra hoc requisitiam acquirant. Q ficto sit LAIB situs sectionis mediae, AB sectio aquae, G eius centrum grauit.uis, quod congruere ponimus cum totius centro grauitatis, ocentnim magilitudinis partis subme sae AIB, quod per se conuenit cum centro magnitudinis in ipib corpore ad. Quare si recta Go suerit verticalis, tam si, la sectio LI quam totum corpus luκ situ aquae insidere poterit. Q. E. D.
8. Quo autem lectionis LAIB siilius tantia pars aquae immergatur, quanta immergi debet, si est cum corpore coniunctum , ipsi huic sectioni eadem gnulitas specificia respectu aqivie tribui debet, quam habet integmm corpuS.
9. Si corpus fictit honrogeneum , tum eiuS centrum multatis non Dium in sectiomni mediam es incidet sed insuper in ipsius sectionis mediae centro grauitatis erit situm. Coroll. Dissiligoo by Cooste
72쪽
so Vt igiti ir hiiiii,modi corporum cylindricoriunsitifi, quo horizontalltcr aquae insidere possitnt, determianetur , iussiciet inquirere , in quonam situ una eius sectio aquae verticaliter insistere possit.
set. Qio igitur definiti queat situs, quo huiusmodi
corpora cylindrica aquae horigonialiter incubare possint, tantum ad figuram sectioniam transuersalium respiciendum est. Problema ergo huc redit, ut data qivicunque figura plana LAIB, eius grauitate s ifica respectu aquae et centro grauitatis G determinetur pars AIB aquae immergenda, quae quidem quantitate constat, ut recta iungens centrum grauitatis G et centrum magnitudinis omnis AIB sit in lectionem aquae A B normalis. Quamobrem ad nos nim institutum conueniet aliquot huiusm di figurarum plainanim considerare, et quibusnam sitibus aquae verticaliter innatare queant inuestigare. Praecipue autem ad corpora cylindrica leti prisinatica homogenea res lemus, et hanc ob causim pro centro grauitatis G figurae L AIB shmemus ipsela figurae cuiatnim grauitatis; ita ut nobis quaestio huc reducatur; A data figura LAIB ducendo rei Lim AB pamtem AIB datae magnitudinis abscindere, hac conditione Hrecta iungens centra totius figurae et partis abscissae perpendicularis sit ad rectum A B. Incipiamus igitur a triangulo tanquam figura simplicissima indeque ad quadrilatera progrediemur.
set. Si per trianguli ACB centrum grauisalis G ducatur recta quaremque I PQ lauri BC praddicto in currens, erit AG C si BC. CP a C P. C Q. D
73쪽
st . Pro sto triangulo homogeneo ACB, cuius ad aquam gravitas specifica st G p ad casus determinare, quibus Diuiti do by Cooste
74쪽
quibus hoc trian gum quae ita innatare potes, in latus AB maneat extra aquam stum.
Sit a Cb pars quaesita aquae immergenda , quo triangulum aquae insidere queat, sitque recta I PQ ducta per centra grauitatiS tum totius trianguli ACB tum partis submersee a C b. Quo eigo triangulum in hoc situ aquae insidere queat, oportet vi reeta Id sit in ab G pendicularis atque praeterea ut area triuiguli a C, si ad aream ACB Vt p . q. natur nunc AC aBC Izbatque simi anguli ACB E, eiusque cosinii K. Porro sit a C X, b C I, sin. API nicius cosinus Μ , item sn. B ITIn et coc N. His positis erit EN - Κη et M En - - ΚN. Cum nunc recta QPΙ transis Per centrum grauitatis trianguli ACB erit Deinde quila eadem recta per centrum grauitatis triangulia Ch transit, erit , quibus coniunctis erism X - υ ma-n b. Porro cum recta P I normaliter o currat rectae erit MX NAE , eX quibus aequationibus
75쪽
matur bc ita habebitur sinio aquae ab , atque pars aquae immergenda quaesita. Q. E. I.
s Quot igitur aequatis inuenta continet radices reses et affirmativas tot catam triangulam propositum aquae ita insidere poterit , ut harus AB extra aquam maneat, sesusque angulus C immergatur , dummodo sit xςaeaacb.
38. Si autem omnes radices Berint realas, tum earum tres tantum possint esse assimatium ob ternas tantum signorum alternationes. Radix autem negatim prinposito non inseruit. Quare non dari possunt jures tribus casus, quibus triangulum praescripto modo aquae insistere potest.
39. Praeterea neque x maius inb potest quam a neque a maius quam b. re si eueniat ut vel x excedat g vel I excedat b, tum hi quoque casus erunt in tiles.
6o. si tertium latus trianguli AB ponatur me, hocque loco cosinus Κ ang. ACB in computum introducatur, propter Κ prodibit ouoll. Disit iroo by Cooste
76쪽
DE A VILI . CORPOR. UVAE INSIDENT. α
6 I. Duae autem aequationes, in quibus instant x et, simplicissimae sunt sequentes. Prima scilicet est qu ab , atque altera erit ista I -9 4-ΚHI α '-μ- -Κ, quibus duabus aequationibus problema propositum Bluitur.
Cum aequatio inuenta habeat quatuor dimensi nes neque generaliter concepta diuisionem admittat, sta ut vix quicquam ex illa ad vitam deduci queat ; eam ad casus particulares triangulorum accommodabimus, pro quibus aequatio fit diuisibilis, atque castis, quibus natatio euenire potest, reipse assignari et repraestatari possunt.
6s. Sit triangulum propositum ACB isbsceles, ita a, ut latera AC et BC, quae angulum C seb aqua situm,
comprehendunt sint aequalia. Ponatur ergo BC AC Tri, eritima, atque aequatio inuenta abibit in hanc qu=- - I, quae diuisione resbluinu in has duas I. -μ' o et II. μ' - Ι - - Κὶς --μ o. Quinim illii aequatio datae -- avs solus autem valor affirmatiuiis habet locum , quia latera AC
et BC non vltra C producta ponuntur. Quare ex prima aequatione erit a C x avi et κα ta νε , qui e go est unus oesiis, quo triangulum isdsceles, ACB aquae insidere potest ; eritque pars sitisera a C, itidem triangulum isosteles, et sectio aquae ab parallela basi AB, a
quae AC : a C Vρ : Vp. Ex altera aequatione pro X duo obtinentur valores , quonam alter si pro X tapiatur, D a alter Diuitigod by Cooste
77쪽
, Vnde erit denotante α quemcunque numerum assismatiuum Qilamobrem quo praeter casum assignatum adhuc duo reliqui locum habeant, oportet ut in his duabus aequatioinibus Κ 2I -- g et Κ - α tam aquam β obtineant valores assimatium. Qiod si ergo euenerit, pro ditant duo reliqui castis quibus triangulum aquae insidere potest
6 . Si triangulum ACB sierit aequilatenim , erit anguliis C Go' , ideoque eius cosinus Κα . Quare quo duo posteriores casus locum inueniant oportet sit primo ut hoc est vi s Deinde necesse est quoque ut sit 1 -αὶ s.- - . -- ἰ α - α sumto pro αnumero assimatiuo quocunque. Quod autem a sit tactio amrmativa Oportet sit ας L Requiritur ergo ut sit
78쪽
DE AELITUBR. CORPOR. ALIAE INSIDE T. e Scholion.
6s. Cum alteriam requisitum , ne duo posteriorestasiis fiant impossibiles , sit , ponatur ἱ i--Κ) ' - α', et per altenim requisitum debebit octaec' I-ΚJ. Erit ergo ideoque i γ Κ Qiiocirca dato angulo ACB, nisi ratio ι contineatur intra limites et K, praeter situm primo determinatum alius non datur, quo triangulum i sceles vertice deorsiim vetiis aquae ininitare potest. Est vero semper; 1--Κὶ 'γΚ , disterentia enim est quadratum Κὶ', Urim pro quovis angulo C triangula exhiberi potant, quae tribus modis angulo C deorsiam veris aquae insidere possunt.
66. In triangulo autem aequitatem, si fuerit et , duo . casiis posteriores qnibus triangulum aquae insidere potest enant a
58. Si grauitas specifica trianguli ita fuerit comparata ut sit p : : a abibit aequatio generalis in hanc: Da a
79쪽
ss. Cum sit Ca M, erit ει α Κα simul ang. C. Qitare recti Ba erit parpendicularis in latus AC. Haec ergo perpendicularis semper potest ine sectio aquae, si fuerit p :ρ Ca: CA.
o. Ista autem innatatio locum habere non potest, nisi uterque angulus A et C sit acutus, alioquin enim recta Ca non intra triangulum caderet quod tamen est necesse.
aequatio diuidi potuisset per x - , ita ut prodiisset Hic vero casus a priore iton dissere, nisi quod punctum B in A et vicissim sit translatum. Determinatis ergo casibus, quibus triangulum homogeneum aquae verticaliter ita innatare potest , ut unicus angillus aquae immergatur , superest ut etiam in eos casus inquiramus, quibus huiusmodi triangula cum duobus angulis sub aqua submersis innatare queant; his enim in duobus modis continentur Omnes omnino casias, quitias triangulum aquae verticaliter innatare potest.
80쪽
a. Proposito triangis homogeneo C AB cssius ym Tin 'ssitas specima AE ad quam G p q , d terminare casus, pinus hoc triangulum situ vierticali aquae ita insideremes, G fias m au C A a aquam emineat.
Sit a ABb pars aquae immergenda, quae quaesitositisfaciat. Per centra grauitatis tam totius trianguli AC quam partis submerta a ABb ducatur recta I PQ, quae debebit esse normalis in stationem aquae a b. At ista recta IF Q. quoque transibit per centrum grauitatis trian, guli Cab supra aquam eminentis. Quamobrem quaestio huc reducitur ut inueniatur positio rectae ab , quae a tinis triangulo partem a AB, abscindat, quae sit ad totum vi p ad ρ; atque ut recta iungens centra grauitatis tOtius trianguli et trianguli Cis sit normalis ad sectionem aquae ab. Haec ergo posterior conditio pronus conuenit cum Praecendente problemate , prior vero in hoc distrepat quod hic area trianguli Cab se habere debeat ad aream trianguli totius C AB ut q-p ad ρ ; cum haec ratio ibi esset vi p ad ρ. Qi obrem solutio prioris problematis ad hoc accomodabitur, si tantum q-p loco p scribatur. Ponatur ergo t ante AC a, BCα b, cos. ang. ACB Κ, et Ca x atque o F , erit er-sa -κ. qex - - Καὶ qu) γ - p)'a P zzo. EX qua aequatione valor ipsius X erutus dabit res 3ndentem vesorem