장음표시 사용
101쪽
que u ε - - o , aequatio pro Asymtota curvilinea ordinis tertii. 19o. Sin autem suerit A - o , B o , & C - o, tum recurrendum est ad terminos aequationis P ΦQ-μR-FS-μSc. - o sequentes , qui praebebunt hujusmodi aequationem
tertius cum sequentibus evanescit, ut sit ti' ε ἶ-o ; sin &D- o , erit M' --- o ; &, si etiam E - o. erit u
g . - o , &c., quae aequationes Linea S cucias denotant, quae, posito t - eo , cum Curva in aequatione P - - Q Φ R Η- &e. - Ο , contenta Congruant. Is E autem aequationes, quia inest potestas impar ti' , semper sunt reales, ideoque certo ramos in infinitum excurrentes , declarant. Interim tamen pro his ii deni casibus Linea recta aequatione u O , EXPressa quoque erit Asymtota, quia est Asymtota Curvarum u' - - - - ο
st 191. Cum igitur rami Cumarum ad Atym totam rectam co vergentes tantopere discrepare queant, convenit hanc diversitatem diligentius perpendere , quod fiet, si Linea curva simplicissima definiatur , quae ad eandem Asymtotam rectam relata cum Curva proposita confundatur. Sic , etsi aequatio υ' - Φ E Ir - O , radices omnes habeat reales , tres ostendit Ahm totas rectas inter se parallelas, tamen nonduin Diui utari
102쪽
EXCURRENTIUM INVESTIGATIONE. 9s
patet utrum crura Curvae in infinitum extensa sint Hyperbo- CAP. VII.
sica , hoc est aequatione u - - expressa, an alius generis , veluti aequatione u - - , vel u &c. , expressa. Ad hoc cognoscendum sumatur sequens proximus terminus quem aequatio suggerit . nempe - , vel, si hic desit , - , vel etiam, hoc deficiente, Sumamus, ut rem generaliter absolv mus, terminum sequentem esse i-: atque ex natura aequationis
I9Σ. AEquatio haec obtinet, si radix α fuerit inaequalis re- Iiquis radicibus c & γ , hocque casu fiet g - eri r , & μ - λ , unde radix v - α suppeditabit istam Asymtotam κ
tres radices fuerint inter se inaequales singulae hujusmodi Asymtotas praebebunt. Sin autem duae radices sint aequales,
103쪽
i93. Quod si aequationis P - - Q - RH-S- - &c., supreismum membrum P quatuor habeat Factores simplices reales , si ii fuerint vel omnes inaequales inter se , vel bini aequales, vel
Etiam tres aequales , ex antecedentibus natura ramorum ia finitum excurrentium una cum Asym totis colligetur. Unicus ergo casus , quo Omnes radices sunt inter se aequales , explanatione indiget. Sit igitur P - a y -- b xy M , ut sit ΜFunctio n - dimensionum; atque, si in Functionibus nutilius dimensionis , uti supra , ponatur-- - , ut Praebeant quantitates constantes, simulque ponatur, mutato A , t -
Lineis Asymtotis sequentes inter e & u orientur aequationes. Primum scilicet, si Q non fuerit divisibile per ay - bx, habe-hitur u Φ- o, g
is . Deinde, si Q sit divisibile quidem per say-bx at non
per ay - bx ' , prodibit ti' -- f - -- ci , in qua , g g gposita i oo , Applicata v potest esse vel quantitas finita vel infinita , ergo duplex prodit Asym tota , recta scilicet u Φ- o , & Curva ti' H--- o. Quod ad rectam attinet, ad eam propius cognoscendam sumatur terminus sequens proximus a Disitirco by COOule
104쪽
ΕMURRENTIUM INVESTIGATIONE. yr
iamus, qui sit - , ac reperietur u---δ Φ- Hi α O, quae est aequatio pro Curva, cujus pars respondens Abscissae L - eo cum Curva quaesita confundetur.
lys. Sit nunc Q divisibile per ay - bx ' at non per
ay-b xy, videndum est utrum Rsit divisibile per ay-bx an secus. Priori casu prodibit u Η--- - Φ - O . posteriori vero α' ε - Φ--- - - o. Prior casus duplicem dat aequationem, prout u est Lutum aut infinitum . ideoque resolvitur in has duas aequationes Mu εἰ - ὸ o. ο u' - - - - o ; quarum illa , si radices habet ambas reales& inaequales, praebet duas rectas parallelas , sin autem radices sint imaginariae, nullum ostendit ramum in infinitum e currentem : haec vero α' - o , dat Parabolam Asym- totam. Posterior aequatio υ' Η--- - o, eu oescentem P prae . facto i m. duas continet aequationes sermae uti εα t - o, ideoque duae prodeunt Parabolae Asymiotae . s fuerit A' major quam 4 B, quae in unam coeunts A' B, at penitus imaginariae evadunt si A' minor quam B, quo casu nullus Curvae ramus in infinitum excurrens designatur.
196. Sit jam se divisibile per say- bx '; atque, prout R & S fuerint divisibilia vel non per ay - bx, obtinebuntur
Eulta Introduci. in Anal. in . Tom. IL
105쪽
ys DE RAMORVM IN INFINITUM, M.
Narum aequationum prima est pro quatuor rectis inter se parallelis , si quidem omnes radices fuerint reales & inaequales, radices autem aequales duas pluresve in unam colligent. At vero radices imaginariae penitus vel duas omnes e medio tollunt. In aequatione secunda, Oh t - , Applicata v non potest non esse infinita , eritque ergo u -- O , Asymtota Curva quarti ordinis. Ex aequatione tertia finitum valorem habere potest v --- o , praeterea vero habet hanc
v - - - o , Lineam tertii ordinis pro Asymtota. Denique aequatio quarta , oh v infinitum si t- eo , abit in ti' Η--- Ο , quae sequatio , si B est quantitas assirmativa , est impossibilis, sin negativa designat duas Parabolas ad Verticem oppositas, quae in infinitum productae cum Curva coniun
I97. Ex his igitur iam via patet, qua ulterius progredi licet , si plures Factores simplices supremi membri P inter se fuerint aequales. Quod enim ad Factores inaequales attinet, eorum quisque seorsim considerari atque Linea recta Asimi ta ex eo nata definiri potest. Sin autem duo Factores fuerint aequales, tum per ea , quae g. g. I78. O sequentibus sunt tradita , indoles Curvae definiri potest ; Similique modo pro tribus Factoribus aequalibus negotium conficient g. g. I 8s. O sequen-ges s atque casum , quo quatuor Factores sunt aequales, modo Dissitigod by GOrale
106쪽
evolvimus, ex quo simul plurium Factorum aequalitas tractari cap. n. Potest. Ceterum . hinc perspicitur quanta multiplicitas ac va- 'rietas in Lineis curvis tantum ratione ramorum in infinitam e Currentium locum habere queat; varietatem enim, quae in sp tio finito inesse potest, nondum attigimus.
De Lineis Ayymiotis. 298. I s Capite praecedente vidimus plures dari Asymi
rarum species , praeter Lineam rectam enim invenimus Plures Lineas curvas Asymtotas hac aequatione ιδ - C t expressas. Atque ipsa Linea recta suppeditavit alias Asym totas Curvilineas, cum quibus Linea curi a magis conVergat, quam cum Linea recta. Quoties autem Linea recta reperitur esse Asymtota cujuspiam Curvae, toties Linea curva eandem rectam pro Asym tota habens assignari' poterit, quae etiam sit Asym- tota Curvae propositae. Hujusmodi autem Asym tota Curvilinea multo accuratius exprimit indolem Curvae, cujus est Asyn
tota ; Ostendit enim simul ramorum numerum cum recta co Vergentium . atque plagam . utrum supra an infra, an antrorsum Tetrorsumve ad rectam appropinquent.199. Haec igitur infinita Asym totarum vafietas commodis Iurae in ordinem digeretur, si ipsum fontem , unde eas sumus adepti, sequamur. Alias scilicet Asymtotas praebent singuli membri supremi Factores inter se inaequales, alias hi ni Factores aequales , alias terni aequales , alias quaterni, & ita porro Sit itaque proposita aequatio cujusque orianis n inter Coo dinatas x & γ, quae sit Pin Q Φ Rρ SH- &c. -o , ubi
P sit membrum supremum continens omnes terminos a dimensionum , Q sit membrum secundum continens terminos n-1
107쪽
LIB. II. dimensionum , similique modo R tertium, S quartum , ge ita
TAB. X. Σoo. Sit jam ay - bx Factor smplax ipsius P , cui alius tamilis non adsit ; ac ponatur P - π - bx M, eritque MFunctio homogenea n-I dimensionum non divisibilis peray - b x. Sit nimirum A Z Axis, in quo sit Abscissa AP sex & Αpplicata PM - y. Quo Factor a y-b, succinctius exprimatur, sumatur alia recta A X pro Axe secans priorem in ipso Abscissarum initis A & faciens angulum XAZ,
supremi membri Poxor . Ex his erit vicissim γ - & x
- o, substituantur, prodebit aequatio pro Curi a eadem ad Axem A X relata , inter i de in Ut autem coemcientium multitudinem evitemus, sustineant α, c, γ , δ, &c. loca Omnium coussicientium ; ac , facta sublitutione , singulis litterae sequentes valores induento Dissiligod by Gorale
108쪽
Quia autem , ad Asymptotam inveniendam, Abscissam i infinitam statui oportet in quovis membro omnes termini prae primo evanescent. Quare, si cujusvis terminus primus adsit, sequentes negligi possunt; sin primus desit, capiatur secundus ;sin primus & secundus desint, a tertio erit incipiendum.1ox. Quia υ non dividit Funmonem Μ, ejus primus terminus deesse non potest : fiet ergo αt' v Φ cι' o, unde pro u oritur valor finItus , qui sit - e r hoc est recta Axi A X parallela ab eoque intervallo e distans erit Asymtota. Iam, ad Asymtotam curvilineam magis ad ipsam Curvam accedentem, inveniendam, ponatur ubique , praeterquam in primo termino , u - c , ac reperietur haec aequatio
porro. Si omnes, Praeter ultimum constantem , deficiant, eris
109쪽
LD . II. e - o. Prorsus autem omnes si deessent
tota aequatio divisibilis seret per u - e , ideoque ipsa recta υ - c - Ο , foret Curvae portio. 2o3. Si ponatur u-c r; seu . si Abscissae in ipsa Asymtota recta capiantur, omnes Asym totae curvilineae, quas unicus supremi membri Factor suppeditat, in hac aequatione ge- Cnerali comprehenduntur ἔ - . . denotante E numerum
quemvis integrum exponente n minorem. Quemadmodum ergo hae Asym totae curvilineae sint comparatae, si Abscissa e ponatur infinita , videamus. Sit ergo X Y Asym tota recta pro Axe sumta. & A initium Abscissarum ; ducta recta C DOrientur quatuor regiones, quas litteris P, Q , R & S designemus. Sit nunc primum ἔ - : &, quia sumptos t na. gativo, fit r quoque negativa, Curi a duos habebit ramos E X & F T in regionibus oppositis P & S ad rectam X Y co Ii,. x, Vergentes. Idem eveniet, si h fuerit numerus quicunque impar. At , si fuerit k - x, seu At, quia, sive t statuatur affirmativa sive negativa, ς Perpetuo affirmativa manet. Curva constabit duobus ramis E X & F Y in regionibus P &Q ad rectam X U convergentibus; quod idem contingit, fi fuerit numerus par quicunque, hoc tantum discrimine, quod eonvergentia eo fiat promptior, quo major sit exponens h. xo . Habeat supremum membrum P binos Factores ρο-MInter se aequales ἔ atque facta eadem, qua ante, ad alium Axem translatione, fiet Dipitigoo by Corale
110쪽
Hinc , prout primus membri Q terminus affuerit, sive minus,
gruentes. 2os. Sin autem altera aequatio a. uti cu εγ O ,re
sultet, tum videndum est an habeat duas radices reales an secus. Posteriori casu enim hac aequatione nulli prorsus rami in infinitum excurrentes denotantur. Sint ergo ambae radices re les & inaequales , altera u c, altera u d, atque Curva
duas habebit Asym totas rectas inter se parallelas. Cujusnam vero utraque sit indolis , ut ante , investigabimus; scilicet cum sit cuti in cu Φ γ v - c v - , ponatur ubique u c, Praeterquam in Factore u-e , ac prodibit e d)J