장음표시 사용
111쪽
. evanescat, sequentes Omnes, posito t oci , evanescent, erit
que Asym tota u - c - - - - o ; si terminus secundus evanescat . fiet v - c ε o , atque ita porro. Si omnes termini, praeter ultimum constantem , fuerint - o. . erit u - c ε - - - o , quarum Curvarum figuras si, e- ω, jam supra omnes descripsimus.. 2o6. At, si ambae radices aequationis α. v v Φ c u - - γ - o. fuerint aequales , seu a. u u in c u - - γ u - c ', quia u-c, si hic valor in reliquis terminis substituatur. prodibit ista aequatio,
c e' - γe' - - δe in Q ε &c. - Ο : unde , prout , eXcepto P Gmo . vel non desit secundus, vel non desit tertius deficiente primo , vel non quartus deficientibus secundo & tertio, s queates oriuntur aequationes Pro Asymtotis ; u-e ' -- - ἔ
Si omnes termini praeter ultimum eonstantem desint. Verum s etiam ultimus evanesceret , foret u - c ' - , idemque Linea recta ipsa foret Curvae Portio , Curvaque adeo comple a. 2o I. Quanquam sic omnes casus, quos duo Factores aequales praebeant
112쪽
praebeant , enumerati videntur , tamen ultima aequatio alias C A adhuc induere potest sormas, unde diversae Asymiotae sequuntur. Evenit hoc, si Factor potestatis P i per u e divitabilis deprehendatur : tum enim , uti in primo termino , relin quatur u - c ac adjiciatur insuper terminus sequens qui proxime adest, hocque casu ejusmodi emergent aequationes
ti - c divisibilis deprehendatur, in eo u - c relinquatur, a que praeterea sequens proximus terminus adjungatur. Hocque casu ejusmodi orientur aequationes
113쪽
II. ubi exponens p semper minor erit quam q , & ρ mi r quam
2O8. Ponamus u-c i , atque hae aequationes Omnes
enim, facto t - eo , satisfacit. Nam , posito aequatio superior abit in
o , quod, Ob q majorem quam 2p , verum est , erit
- Η B o , quod verum est ob terminum pria A ις' mum evanescentem facto t- eo. Hoc ergo casu super , eadem Asymtota recta duae habentur Asym totae curvilineae, ideoque quatuor rami in infinitum ex currentes. Secundus casus, quoq-2 π, Praebet aequationem H -
, quae, vel est imaginaria, si A A minor quam B, quo casu nulla Asym tota extat, Vel duas praebet Asymtotas similes t --, si A A major quam 4 B.
In tertio casu, si q minor quam V, aequationis medius terminus Digitigod by Cooste
114쪽
semper manescit, posito t- eo; eritque ergo -- , . . aequatio pro una Asymiora. Formas quidem praecedentium Asymiotarum jam exposuimus , quare istas Asymtotas hac se C
Loq. Si igitur Axis in ipsa Asymtota recta υ - c sumatur.& Applicata v - c ponatur- , omnes illae Asym totae cur-
continebuntur in hac aequatione--9- , deuo-ctante k numerum integrum minorem quam n - I. Harum
autem Curvarum rami in infinitum excurrentes , seu factor eo , ita se habebunt. Si I , seu r i - - , quia tnegativum fieri nequit, Curva duos habebit ramos E X &FX in regionibus P & R in infinitum excurrentes, quod idem eveniet si fuerit k numerus quicunque impar. At, si sit nu- Cmerus par, ut 2, seu r r - - , primum dispiciendum est utrum C sit quantitas negativa an assirmativa. Priori casu aequatio realis esse nequit, ideoque Curva hinc nullum habebitramum in infinitum extensum. Posteriori casu Curia quatuor habebit ramos in infinitum excurrentes & cum Asym tota XY concurrentes, scilicet EX, F X, G T, & HY in omnibus quatuor regionibus P, Q, R , & S dispersos. Mo. Ponan ius supremum membrum aequationis P habere tres Factores aequales , atque aequatione ad Coordinatas treducta, ut sit in iste Factor triplex ipsius P, erit. P- Φ M' i ti' Φαt' 'u' lb&e.
115쪽
LIB. II. Hinc . pro diversis constitutionibus membrorum Q &R.
sequentes oriuntur arquationes.
Secunda aequatio ita se hahet αυ' t u γ t o. Ex qua v , posito t , duplicem valorem habere potes , vel finitum vel infinitum, ideoque in has duas aequationes resolvitur c u Φ γ - Ο &- ct -o , posterior est pro Parabola , uti ante Vidimus , ac propterea Curva habebit duos ramos in infinitum extensos ad Parabolam appropinquantes. Prior vero arquatio praebeat u - c o , quae eli pro Linea recta Asym tota, cujus indoles perspicietur si , praeterquam inc u - - γ u - c.' , ubique loco u scribatur c eritque ergo ,
116쪽
totam, alteram rectam indolis hic declaratae, alteram vero CAP. Parabolam conjunctim. V II I. 111. Tertia aequatio αυ' -- c M' Φ γ t O, Positoi , T a. XI. subsistere nequit, nisi sit u - oo ; ideoque terminus c u' prae Fig. 2. αυ' evanescit , proditque ista aequatio tertii ordinis α υ εγ r o , pro Asym tota , cujus haec est figura , ut in regionibus oppositis P & S duos habeat ramos A E & A F in infinitum
. Quarta aequatio autem αu' in e u - - γ υ - δ o , vel unam vel tres Asymtotas rectas inter se parallelas exhibet, nisi duae vel omnes inter se sint aequales, ad quarum indolem indagandam sit Primum v - c , radix aequationis una aliam sui similem non habens, sitque αυ' in cu' Φ γυεδ- υ-c κ fu Φgυ - - h . Ponatur ubique u c , praeterquam in hoc Factore u - c , ac prodibit hujusmodi aequatio t' u-e -l-
tota orietur formae v - c --, existente k numero minore
213. Si aequationis αυ' - cu' - γυεδ o, duae radices fuerint aequales, ita ut ea eXpresso sit - u- e γ' κ fu-Hg ; atque, statuendo v - c, nisi in quopiam membro fuerit Factor u- c, ad hujusmodi aequationem pervenietur v - c O, nbi erit Q minor
quam n - 2, & ρ minor quam ρ , quem casum ante evolviamus. Superest ergo casus , quo aequatio α u 'Φ c u' H- γ v -μδ- o, tres habet radices reales, Puta v - c ', atque hi
a fuerit divisibile per u - c, ponatur u - c , serque
117쪽
x' u - e ' - - - o. Sin autem P divisorem habeat v - e semel, Ponatur ubique, praeterquam in hoc Factore, ti c, atque orietur aequatio hujus formae u - e in U
- terminus secundum proxime sequens . qui non evanescit facto u - e. Sin P adeo per u - e ' fuerit divisibilis , Qvero non habeat Factorem u-c, orietur arquatio hujus mae cu- e - - se se R - o. Quod si autem secundus adeo Per u - e ' fuerit divisibilis , tum ordine procedendum est , donec ad terminum perveniatur non divi-sbilem per u - e '. qui si fuerit divisibilis per sv - c) , ulterius est progrediendum , donec ad terminum non diyisibilem per u - c , perVeniatur. Sin autem ille terminus per u - e ' divisibilis fuerit . procedatur ulterius donec pereeniatur ad terminum vel non divisibilem per u - e vel divi sibilem. Priori casu aequatio terminetur . posteriori ulterius pergatur donec ad terminum non divisibilem per υ - e perveniatur. Sic itaque obtinetur semper aequatio in hac forma generali contenta u - e in
118쪽
gr. Τum vero etiam fieri potest ut duae aequationes fiant imaginariae , quae ergo nullam Asym totam indicabunt. Ceterum sermas harum Asymiotarum jam explicavimus praeter ultimam aequatione cu-c contentam. Praebet autem
ista aequatio, si sit numerus impar , formam Figura trige-sma sexta designatam , cum duobus ramis EX & FU in regionibus oppositis P & S in infinitum excurrentibus. Sin autem E sit numerus par, orietur forma Figura trigesima septima repraesentata in qua sunt duo rami EX & FU ad eandem Asymiotae rectae X Y partem , seu in regionibus P & Q excurrentes.
his. Quoniam ex his facile perspicitur , quemadmodum Asym totarum serma , si quatuor pluresve Factores simplices in membro aequationis supremo fiterint aequales , investigari debeat, ulterius hic non progredior; verum hoc Caput appliacatione regularum datarum ad unum exemplum finiam. Ex EMPLUM.
Sit igitur proposita Linea curva hac aquatione expressa y'xX κ y - x -xy yy in xx ,1 - o , cujus supremum membrum γ' xx y-x unum Factorem habet solitarium , Υ-x , duos aequalis XX , O insuper tres aequales y'. Consideremus primum Factorem simplicem 'x; ex quo, Τλη. XI. posto y x, fiet y-x-- -o ; & , ob x-α , erit ' 'Υ-X o , quae est aequatio pro Asym tota rectilinea BACcuui Axe XY in initio Abscissarum faciens angulum semire tum BAT. Ad hanc Lineam transferatur tanquam ad Axem
119쪽
quae, facto i infinito, abit in t u - t 'uΦI o, unde duae nascuntur aequationes ti-- & u-' . Quare hic Factor quatuor praebet ramos in infinitum excurrentes ; primo nempe duos dD, e E ex aequatione & duos ad easdem partes sitos δ D & ε E ex aequatione u-- .1I7. Tres Factores aequales γ' reseruntur ad ipsum Axem XY, fietque t - x & y u, unde nascitur aequatio haec,
quae , posito i infinito, dat t'u' εt'u-o , seu u uti Η-I α- Ο unde , Ob uu in I O aequationem impossibilem , unica obtinetur Asyn tota recta v o , conveniens cum ipso Axe X U, cujus indoles exprimetur hac' aequatione t' is I seu u 7 ἔ ac propterea iste Factor triplex duos tantum praebet ramos γου & x X in infinitum excurrentes. Omnino ergo Curva Diuitiaco by COOule
120쪽
Curva quaesita octo ramos in infinitum extensos habebit , qui quomodo in spatio finito inter se conjungantur hujus non est loci explicare. 218. Ex hoc ergo & praecedente Capite ramorum in infinitum extensorum varietas luculenter perspicitur. Primum enim hi rami Curvarum vel ad Lineam quampiam rectam tanquam Asymtotam convergunt , uti fit in Hyperbola , vel Asym totam rectam non habent , uti Parabola. Priori casu rami Cumarum vocantur hyperbolici, posteriori parabolici. Utriusque classis inumerabiles dantur species ; ramorum enim hyperbolicorum species his exprimuntur aequationibus, inter COOrdia natas i & u, quarum illa i statuitur infinita.
Quaelibet autem aequatio harum eXpositarum, ad minimum . duos exhibet ramos in infinitum excurrentes, si exponentium ipsarum t de u non uterque fuerit numerus par ; sin autem uterque exponens fuerit numerus par, tum vel nullum ramum infinitum praebet, vel quatuor: illud scilicet evenit, si aequatio sit impossibilis , hoc vero si sit realis. Euteri Intro a. in Anal. insin. Tom. II. R