장음표시 사용
71쪽
tota enim P RAYETER cst Ordinata in D , seu D G his sumta , quae etiam latus rectum nuncupatur. Est ergo Semiaxis conjugatus media proportionalis inter Semiparametrum L G& Semiaxem transversum A C. Termini porro Axis transversi. ubi is a Curva intersecatur , vocantur UERTICES , ut A . atque hanc habent proprietatem ut iis in locis tangens curvae sit ad Axem principalem A C normalis. I 3o. Ponatur semiparameter DG e ; & distantia Foci a Vertice AD d, erit C D - α - d - V ma - bb &D G ---c, unde fit bb ac, & a-d V -ac rergo ac χὐ-ώ, & a & b d v π-- Ex datis ergo distantia Foci a Vertice A D - d & semilatere recto D G - e, Sectio conica determinatur. Posito nunc
72쪽
DE LINEAR. SECUNDI ORD. SUB. IN GEN. 6sCAPUT VI.
De Linearum secundi ordinis subdivisione in genera.
131. ΡROPRIETATEs, quas in Capite praecedente elicuimus,
in omnes Lineas , quae ad ordinem secundum pertinent . aeque competunt ἔ neque enim ullius varietatis , qua istae Lineae aliae ab aliis distinguuntur , fecimus mentionem. Quanquam autem omnes Lineae secundi ordinis his expostis proprieta ibus communiter gaudent, tamen eae inter se ratione
figurae plurimum differunt; quamobrem Linea; in soc ordine contentas distribui convenit in genera , quo facilius diversae figurae, quae in hoc ordine occurrunt, distingui, atque proprietates , quae tantHm in singula genera competunt, evolvi queant. I 32. AEquationem autem generalem pro Lineis secundi ordinis, mutando tantum Axem & Abscissarum' initium , eo reduximus, ut omnes Lineae secundi ordinis contineantur in hac aequatione yy - α - - cx γ x x, in qua x & y denotant Coordinatas orthogonales. Cum igitur pro qualibet Abscissex Applicata y duplicem induat valorem , alterum amrmativum alterum negativum, iste Axis, in quo Abscis Iae x capiuntur, Curvam secabit in duas partes similes & aequales; eritque adeo iste Axis Di ameter Curvae orthogonalis , atque omnis Linea secundi ordinis habebit Diametrum orthogonalem , super qua , tanquam Axe, Abscissas hic assiimo. I 33. Tres igitur ingrediuntur in hanc aequationem quantitates constantes α, c, & γ quae , cum infinitis modis inter se variari possint, innumerabiles varietates in Lineis curvis orientur , quae autem vel magis vel minus a se invicem ratione figurae discrepabunt. Primum enim eadem figura infinities ex
proposita aequatione II - α Φ cx Φ γ xx resultat; variatonumpe Abscissarum initio in Axe , quod fit dum Abscissa x Euteri Introduci. in Anal. in n. Tom. II. I
73쪽
ες DE LINEARUM SECUNDUM ORDINIS
II. data quantitate vel augetur vel minuitur. Deinde cadUm quo que figura , sub diversa magnitudine in aequatione continetur, ita ut infinitae Lineae curvae prodeant , quae tantum ratii nequantitatis a se invicem disserant, uti Circuli diversis Badiis
descripti. Ex quibus manifestum est, non omnem litterarum ec, c, & γ variationem diversas Linearum secundi ordinis species vel genera producere. I 3 . Maximum autem discrimen in Lincis curvis quae inaequatione yy - α - cx ε continentur, suggerit natura coefficientis γ , prout is vel assirmativum habuerit valorcm vel negativum. Si enim γ habeat valorem affirmativum , posita Absellia x infinita , quo casu terminus γ xx infinitios major e det quam xeliqui α- -c x, ac propterea cXpressio α. - cx - - γ xx affirmativum Obtinet valorcm , Applicata y pariter duplicem
habebit valorem infinite magnum , alterum anirmativum alte rum negativum , quod idem Evenit si ponatur α -- co , quo
casu nihilominus expressio α. Φ cx Φ γ xx induet valorem
infinite magnum asirmativum. Planc ob tem , existente γ quantitate assirmativa , Curva quatuor habebit ramos in infinitum excurrentes, hinos Abscissae x - Φ eo & binos Abscissae x -- cio respondentes. Hae igitur curvae quatuor ramis in infinitum excurrentibus praeditae unum Linearum secundi ordinis genus constituere censentur , atque nomine HYPERBOLARUM appellantur. I 3s. Sin autem coefficiens γ negativum habuerit valorem ,
c x Φ γ x x negativum valorem tenebit, ideoque Applicata yimaginaria fiet. Neque igitur usquam in his Curiis Ahscissa neque Applicata poterit esse infinita , ideoque nulla dabitur Curvae portio in infinitum excurrens , sed tota Curia in spatio
finito ac determinato continebitur. Haec igitur Linearum secundi ordinis species nomen ELLIPssIUΜ obtinuit , quarum propterea natura continetur in hac aequatione
ii γ fuerit quantitas negati a.
i 36. Cum igitur valor ipsius P, prout is fuerit vel affirma-Disiti rod by GO lu
74쪽
tivus vel negativus, tam diversam Linearum secundi ordinis indolem producat, ut hinc merito duo diversa genera constutuantur et si ponatur γ - o , qui valor inter assirmativos &negativos medium tenet locum, Curva quoque hinc resultans mediam quandam speciem inter Hyperbolas atque Ellipses conia tituet , quae PARABOLA vocatur , cuius ergo natura haceXPrimetur aequatione yy - α. - - c x. Hic perinde est sive cfuerit quantitas assirmativa sive negativa, quoniam indoles Curvae non mutatur stina Abscissa x negativa. Sit igitur cquantitas assirmativa, atque manifestum est , crescente Abscillax in infinitum , Applicatam 1 quoque infinitam fore tam amrmati m quam negativam , ex quo Parabola duos habebit ramos in infinitum excurrentes , plures autem duobus hahere Non poterit, quia posito x - oo , Applicatae y valor fit imaginarius. I 37. Habemus ergo tres Linearum secundi ordinis species, Ellipsin , Parabolam , & Hyperbolam , quae a se invicem tantopere discrepant , ut eas inter se confundere omniao non liceat. Discrimen enim essentiale in numero ramorum in infinitum excurrentium consistit; Ellipsis enim nullam portionem habet in infinitum abeuntem , sed tota in spatio finito includi tur. Parabola vero duos habet ramos in infinitum excurrentes :& Hyperbola quatuor. Quare , cum in Capite praecedente proprietates Sectionum conicarum in genere simus contemplati, nunc quibus proprietatibus quaeque species sit praedita , vi
I38. Incipiamus ab Ellipsi, cujus aequatio est haec yy -- γ xx, sumtis Abscissis in Diametro orthogonali. Quoniam vero initium Abscissarum ab arbitrio nostro pendet, si id removeamus intervallo orietur aequatio hujus formae yy σι - γ xx, in qua Abscissae a Centro figurae capiuntur. Sit igitur C Centrum de AB Diameter orthogonalis, atque
75쪽
68 DE LINEARUM SECUNDI ORDINIS
' v - transgrediatur Applicata y fiet imaginaria ; quod indicio in totam Curiam intra istos limites contineri. Erit ergo CA C B - έ - : tum tacto x - o , fiet C D - C E V α.
Ponatur ergo Semidiameter seu Semiaxis principalis C A C B - a , & Semiaxis conjugatus C D - C E b , critα - bb & γ- - Unde pro Ellipsi ista orietur aequatio
139. Quando isti Semiaxes conjugati a Sc b fiunt inter se aequales, tum Ellipsis abibit in Circulum ob yy aa- - , seu yy in xx - a a ; erit enim C AI v x x in y y a, ideoque omnia Curvae puncta s1 aequaliter a Centro C erunt remota , quae est proprietas Circuli. Sin autem Semiaxes a& b inter se fuerint inaequales , tum Curva erit oblonga , nempe erit vel AB major quam DE vel DE major quam AB. Quia vero Axes conjugati A B & DE inter se commutari possunt, atque perinde est in utro Abscissas capiamus, ponamus AB esse Axem majorem , seu a majorem quam b ; atque in hoc Axe existent Foci Ellipsis F & G sumendo C F - C G - aa-bb , Semiparameter vero, seu Semilatus rectum Ellipsis erit , quae exprimit magnitucliuem Applicatae in aherutro Foco F vel G erectae. I o. Ad Curvae punctum It ducantur ex utroque Foco rectae FAM & G M, eritque, uti supra vidimus, FRI AC - a & G M - a Φ--: unde fit F M G A1 - 1 a. Quare , si ad quodvis Curvae punctum Μ ex ambobus Focis ducantur rectae FM & GII, earum summa semper aequabitur Axi majori Disi tiroo by COO IC
76쪽
AB - χα ς ex quo cum insignis Focorum proprietas perspicitur , tum modus facilis Ellipsin mechanice deicribendi colligitur. I I. In puncto Μ ducatur tangens mi , quae Axibus o currat in punctis T & t ς eritque , ut supra demonstravimus, CP CA - CA : CT; unde CT - - : similique m do , permutatis Coordinatis , Ct Erit ergo TP ---x, aa-bb ,δ: M-a. Fiet itaque I P - μμ φη - evet , & TM
GMe, ideoque angulus FΜT angulo Gnst. Ambae ergo rectae ex Focis ad punctum Curvae quodvis M ductae aequaliter inclinantur ad tangentem Curvae in illo puncto Μ, quae est maxime principalis Factorum proprietas. I 3. Cum sit GT: GΜ-a : x, ob CT erit M
77쪽
est , ergo TS Wir , ideoque TM: P FT: TS ; unde intelligitur tria gula TMP & TFS esse similia , ideoque rectam FS ad tangentem ex Foco F esse normalem. Erit vero S V-- quod ex his expressionibus eruere licet. I φ Quod si ergo ex alterutro Foco Fin tangentem ducatur
perpendiculum FS, & ad punctum S ex Centro C recta CS iungatur , erit haec in perpetuo semiaxi majori AF - α aequalis. Erit vero ob TM: y - TF: FS, FS
CD': ' ; perpendiculum vero ex altero Foco in tangentem
78쪽
bb & CX-V CQ'- bb : ex dato ergo Axe minori, in perpendiculo C Q reperitur punctum X unde normalis educta per Focum F transibit. I s. His Focorum proprietatibus expositis , consideremugduas quasvis Diametros conjugatas. Erit autem C M Semidi meter , cujus conjugata reperietur si tangenti Tu ex Centro parallela ducatur CR. Ponatur C M p, CK-q, & an gulus JICΚ-CΜ s, erit primo ρρ -qq aia Φ bb& secundo pq. sn. s - ab , uti supra vidimus. At vero erit
FIM G M, eodemque modopp FK. GR. Deinde , cum sit CQ- ῆ , erit
79쪽
rationem aequalitatis accedunt, quam a & b , unde inter omnes Diametros conjugatas , illae quae sunt orthogonales maxime a se invicem discrepant. Dabuntur ergo duae Diametri conjugatae inter se aequales, ad quas inveniendas sit q p , critque 2pp aa Φ bb , & p - q v - , & sn. s unde fit sin. - s
80쪽
aequatio pro Ellipsi inter Coordinatas orthogonales x & y, Abscissis x in Axe principali AB a Vertice A computatis , quae obtinetur ex datis dillantia Foci a Vertice A F- d &Similatere recto se e ; ubi notandum est semper esse debere ad majorem quam c, quia est A C - a - - , & CD I 8. Quod si ergo fuerit 2d - e erit yy - 2 ex, quam δε aequationem supra vidimus esse pro Parabola : aequatio enim supe- HoIior yy - α Φ- c x ad hanc formam reducitur , initio Abscissarum intervallo - - mutato. Sit igitur MA N Parabola. cujus natura inter Abscissam AP x, & Applicatam Pu hac aequatione exprimatur yy - 2 cx. Erit ergo diliantia Focia Uertice A F- d--L e , & Semiparameter FH c. atque ubique P Μ' - χ FH. A P : unde , posita Abscissa A Pinfinita , simul Applicatae P M & P N in infinitum excrescunt; ideoque Curva ad utramque Axis A P partem in infinitum extenditur Posita autem Abscissa x negativa Applicata fit imaginaria , hincque Axi ultra A versus T nulla Curvae portio
I 9. Cum aequatio pro Ellipsi abeat in Parabolam , facto 2d - e, manifestum est Parabolam nil aliud esse praeter Elli
so . cujus Semiaxis a infinitus ἔ quam ob rem Proprietates omnes, quas pro Ellipsi invenimus, ad Parabolam transferentur, posto Axe a infinito. Primum autem , cum stA P - - e erit FP - x-- e, hinc ducta ex Foco Fad Curvae punctum M recta F Merit, F M' - xx - cx Φ