장음표시 사용
131쪽
124 DE LINEARUM TERTII ORDINIS
132쪽
Huc pertinent NEWTONI species, 33 , s , 33, 36.
Huc pertinet NEWTONI Species, εὐ
133쪽
iis DE LINEARUM TERTII ORDINIS , ce
non existente b O. Huc pertinet NEUTONI Species , 66. SPE cIES SEXTA- DECI Μ A.
non existente b - o. Huc pertinet NEUTONI Species, 72. 138. Species autem hae plerumque tam late patent, ut sub unaquaque varietas satis notabiles contineantur ; si quidem ad formam , quam Curvae habent in spatio finito . respiciamus. Nancque ob causam NEWTONVS numerum Specierum multiplicavit , ut eas Curvas , quae in spatio finito notabiliter discrepant, a se invicem secerneret. Expediet ergo has , quas Species nominavimus , Genera appellare , atque varietates , quae sub unoquoque deprehenduntur , ad Species reserre. Imprimis autem hoc erit tenendum , si quis Lineas quarti
altiorisve ordinis simili modo subdividere voluerit ; ibi enim multo major varietas in quavis Specie sic inventa locum habebis.
134쪽
DE PRAECIPUIS LINEARUM TERTII, Oe. 127
De praecipuis Linearum tertii ordinis proprietatibus. 239. UuEMADMODuM supra Linearum secundi ordinis proprietates praecipuas ex aeqnatione generali deduximus , ita etiam Linearum tertii ordinis praecipuae proprietates ex Iqu tione generali cognosci poterunt : similique modo licebit Linearum quarti altiorisve gradus proprietates ex aequatione concludere. Quam ob rem consideremus aequationem generalissimam pro Lineis tertii ordinis, quae est V' - 'x- - ου - δx' - - εyy Φ γ ε ηο- ου- ιxΦκ o, quae exprimet naturam Lineae tertii ordinis cujusvis inter Coordinatas x & y ad quem is angulum inclinatas , & recta quacunque Pro Axe assumta. 2 o. Nisi igitur α sit - o , unicuique Abscissae x vel una respondebit Applicata realis , vel tres. Ponamus dari tres Applicatas reales ; atque manifestum est earum relationem per aequationem di finiri posse. Posita itaque α. - Ι , illiusniodierit miratio,
atque summa istarum trium Applicatarum eidem Abscissae aerespondentium , erit - - cx - ε ,' summa trium rcctangulorum ex binis applicatis scimatorum erit - γ xx - c x -s- θ ;ac denique podiuitum omnium seu paralleli pedum ex illis
Applicatae essent imaginariae , haec quidem eadem valerent, at ad Linearum figuram accommodari non possent, quia ex ea Diuit ipso by COOste
135쪽
LIB. II. neque summa neque rectangulum duarum Applicatarum ima ginalium intelligi potest. As. XII. et r. Sit igitur Linea quaecunque tertii ordinis ad Axem ms R. AZ relata ad quem sub dato angulo applicatae sint ordinatae LMN, Imn Curvam secantes in tribus punctis. Posita ergo Abscissa AP x , Applicata γ triplicem habebit valorem P L, PM, dc - PN: unde erit PL- PΜ- PN-- cx- ε.
Quare, si capiatur PO - ', punctum G it 4 erit in medio situm , ut sit L Ο - MOH-N O. Cum
igitur sit r -- - - , hoc punctum G situm erit in Linea recta OZ , quae recta propterea omnes ordinatas i mn ipsi L MN parallelas ita secabit in o , ut sit lo mO no ;quae proprietas analoga est proprietati Diametrorum , qua Lineae secundi ordinis sunt praeditae. Quod si ergo duae ordinatae parallelae & Curvam in tribus punctis secantes ita secentur in punctis Ο & O , ut binae Applicatae ad unam partem jacentes simul sumtae aequales sint tertiae ad partem alteram sitae, recta per haec puncta O & o ducta omnes reliquas Ordinatas illis parallelas similiter secabit, eritque quasi Diameter Lineae tertii ordinis. et 1. Quoniam in Lineis secundi ordinis omnes Di ametri se mutuo in eodem puncto intersecant , videamus quomodo plures hujusmodi Diametri Linearum tertii ordinis inter se sint comparatae. Concipiamus ergo ad eundum Axem A P sub' alio quovis angulo Applicatas; sitque Ahscissa -t & Applicata u; erit y - nu & X - t - mu, qui valores inaequatione generali
substituti hanc dabunt aequationem
136쪽
TERTII ORDINIS PROPRIETATIBUS.' 119
Hinc pro Linea illa recta Diametri viccm sustinente , si ejus Applicata sub codem angulo ad Absc Cam et ducta vocetur v.
2 3. Sit jam O intersectio harum duarum Diametrorum , unde ad Axem AZ primo prioribus Applicatis parallela ducatur OP , tum vero posterioribus parallela OQ , eritque AP - x , PO r, A Q t & OQ - v. Tum vero
Luteri Introduc7. in Anal. insin. Tom. II.
137쪽
24 . Pendet ergo utique intersectio Diametrorum o ab inclinatione Applicatarum ad Axem , quae litteris m & ncontinetur ; neque idcirco, si interstationem Diametrorum Centrum vocare lubeat, Uneae tertii ordinis omnes Centro Saudsint. Interim tamen casus exhiberi possitnt, quibus Dianae-trorum intersectio mutua in idem punctum fixum incidat. Fiet scilicet hoc , si termini per m n & mm affecti seorsim nihilo aequales ponantur , ac valores ipsius x inde orituri aequales statuantur. Fiet autem ex his duahua aequalitatibus x ', . , qui duo Valores ut congruant, necesse est ut sit
ergo ου hujusmodi habuerit valorem , toties omnes Diametri se mutuo in uno eodemque puncto intersecant ; ideoque hae Lineae tertii ordinis Centro gaudebunt , quod reperietur sumendo in Axe. AP -
χψ3. Haec eadem C.ntri determinatio , si quod datur, locum habet si pro primo coe .iciente α. non ponatur unitas. Si cnim Proposiva fuerit aequatio generalissima pro Lineis tertii ordinisse ε c x ε , ' ρ δα' - , - - *η0 ε θν ε ια -- α - o , hae Curvae Centro erunt praeditae, si fuerit
138쪽
TERTII OR DINIS PRO PRIETATIE . ra t
Quare, si unica Ordinata Curva in trihus punctis secans ita dividatur , ut binae Applicatae ad unam partem sitae aequ2ntur tertiae ad alteram partem jacenti, tum recta per Centrum de hoc divisionis punctum ducta, omnes alias Ordinatas illi parallelas similiter secabit.
246. Si haec ad aequationes Specierum supra enumeratarum accommodentur, patebit SpEcies primam , ecundam , tertiam, quartam & quin am Centro gaudere, si modo sit a ohocque casu Centrum in ipso Abscissarum initio est e pus tum. Species sexta & septima Centro prorsus carent, quia coel fici Ensa abesse nequit. Species Vero Octava, noua, decima, undecima , duodecima & decim tertia Centinim habent, semper in Abscissarum initio positum. In Speciebus decima-quarta.decima- quinta & decima-sexta Centrum infinite distat, ideo que onaties illae Lineae Triametri inter se erunt parallelae.147. His de summa trium cujusque Applicatae valorum notatis , contemplemur eorundem productum, quoniam de re tangulorum agregato nihil admodum notatu dignum reperitur. Erit ergo ex aequatume generali g. 239. -- PMPL. P N- - δ x' - η x x-ι x - κ : ad quam expressionem
plicandam ad hoc attendamus , quod si ponatur y-o, fiat δ χ' in v xx ε ι x ε κ o , cujus propterea aequationis radices dabunt Axis A Z & Curvae intersectiones. Quae si sinti punctis B , C , & D erit δ x' - - v x x-ι x ἡ- κ δ x
- δ. PB. PC. PD; ideoclue , sumta alia quacunque ordinata I mn priori parallela, erit PL. PM. PN: PB. PC. PD pl. ρm. pn:p BI' C. pD; quae proprietas omnino similis est illi, quam supra pro Linuis secundi ordinis ratione re tangulorum invenimus ; atque similis proprietas in Lineas quarti, quinti, & superiorum ordinum competQt. 248. Habeat nunc Linea tertii ordinis tres quoque Asym-
totas rectas FB L G D g, II C h. Quoniam ipsa Linea tertii V c ''
139쪽
TERTII ORDINIS PROPRIETATIBUS.
sed , si duo ad eandem partem vergant, tertium necessario a d CA'. rc oppositas tendet. Hanc ob rem hujusmodi Linea tertii ordi nis qualem figura repraesentat, est impossibilis , quoniam re T A B. ta secans Asym totas in punctis f, g, h , Curvam vero in Ι Ι t, m , n, Praebet partes s v, g m , hi in eandem plagam
gentes , quarum summa nihilo aequalis esse nequit. Partes enim in eandem plagam vergentes obtinent idem signum , puta H-; quae vero in contrariam plagam tendunt signum - : unde patet summam trium harum partium evanescere non posse nisi
signis diversis sint praeditae. 23 I. Hinc jam clare perspicitur ratio cur in Linca tertii ζ Α ' ordinis dari nequeant duae Asymiotae rectae speciei u rg. 40. , dum tertia Asym tota sit speciei u propterea quod illa crura hyperbolica infinities magis ad suam Asymtotam convergant , quam crus hyperbolicum speciei u - . Ponamus enim rectam si in infinitum removeri, fientque intervallain, gm, hi infinite parva. At, si rami duo nx , my ponantur speciei u - , tertius vero ramus speciei u - - , tum inter alia sn & gm infinities erunt minora quam intervallum h l, ideoque esse nequit g m -f- Φ h l. 112. In Lineis ergo superiorum ordinum , quae tot habent Asymtotas quot dimensiones , mica Asymtota speciei u --οῦ adesse nequit , dum reliquae sint specierum superi mim v - - . v -- - &C. et sed , si una adsit speciei υ--- , nucessario & altera adesse debet. Ob eandem rationem. si Asym tota speciei u --nulla adsit , fieri non potest ut una tantum speciei u - - adsit , sed ad minimum duae ad-
140쪽
csse debebunt. Crura enim hyperbolica speciei u - .u - &c., infinities magis ad suas Asymtotas convergunt, quam species u - - . Hinc igitur in enumeratione Specierum, quae in Ordine quopiam superiori continentur, casus impossibiles. facile excludi, hocque insignes calculi molestiae evitari poterunt. 233. Ponamus autem Lineam tertii ordinis a recta quapiam in duobus tantum punctis secari; atque ab omnibus aliis rectis huic parallelis vel in duobus etiam pundiis vel nusquam secabitur. Si igitur in Axe quocunque statuantur Applicatae y huic rectae parallelae , aequatio ita erit comparata
Scilicet, si Abscissa A P dicatur x , duae habebuntur Applicatae 3 , nempe P Μ & - P N; erit autem , EX natura aequationum, Ρ Μ - PN- Z- . Bisecetur Ordinata MN in puncto O , erit P O - ' φ-; hine fi ponatur PO r, erit 7 c x ε - γ x x Η- cx- - θ : unde patet omnia puncta O Ordinatas parallelas IIN hi cantia sita esse in Hyperbola , nisi fuerit γ arx ε ζx--θdivisibile per c x - ε, quo casu punctum O positum erit in
2sq. Quod si ergo γ xx Φ cx ε θ divisibile suerit per
c x -μ ε , tum Cur a praedita erit Uiametro , seu recta omnes Ordinatas parallelas MN bisecante ; quae proprietas in omnes
Lineas secundi, ordinis competit. Verum , si di xx ε ζx in θdixi sibile sit per c x Φ ε , evanescere debebit si ponatur x ; quare si fuerit γ ε ε - c ε ζ ε ccθ - o, tum Linea tertii ordinis Diametro erit praedita.