장음표시 사용
121쪽
D4 DE LINEARUM TER TII ORDINIS
CAPUT IX. De Linearum tertii ordinis subdivisone in species.
2I9. ATu RA atque numerus ramorum in infinitum extensorum merito essentiale discrimen in Lineis curvis constituere censetur , atque ex hoc fonte commodissime desumitur ratio
subdivisionis Linearum cujusque ordinis in suas species diversas. Hinc enim quoque oritur eadem Linearum secundi ordinis divisio in suus species , quam ipsa rei natura supra suppeditaverat. Sit enim proposita aequatio generalis pro Linuis secundi ordinis
cuius supremum membrum αyy -cyx--γxx, potissimum spectetur, utrum habeat Factores simplices reales an secus. Quod si enim careat Factoribus, nascitur prima species Ellipsis dicta , sin autem Factores sint reales, videndum est utrum sint inaequales , an aequales illo casu oritur Hyperbola, hoc ero Parabola. 22o. Cassi ergo , quo membri supremi Factores sunt reales& tuaequales, Curia duas habebit Asym totas rectas ; ad quarum naturam investigandam sit α. y y Φ c y π γ x x
Consideretur primum Factor a y-bx , qui in infinito dat - - , fiet itaque
122쪽
unde aequatio a y- bx H--- o , definit positio- ς δ' nem unius Asymiotae rectae ; similique modo aequatio haec cy - dx H- '---o , ostendet Asym totam alteram. I. Ad naturam cujusque Asymiotae scrutandam , aequationem ad alium Axem transseramus ponendo F r
Hinc , posito in reliquis membris v l. T, ν
hyperbolica generis v - τ . Simili vero modo Asymtota altera ex Factore cy - dx oriunda definietur , unde Curva habebit duo ramorum in infinitum extensorum paria , utrum
que aequatione u - - - eXpressum.
χχχ. Sint jam ambo Factores aequales , seu α yy Φ cxy Φγxx ay - bx ' ; atque, facta eadem ad alium Axem
infinito , erit uti in s h 'ρὶ - o , quae aequatio ostendit
123쪽
116 DE LINEARUU TERTII ORDINIS
I IB. II. duos ramos parabolicos speciei uti A t, quippe Curva ipsa erit Parabola , ipsaque sua Asym tota. Sin autem esset δ b - εa- o , tum aequatio foret gguu -- - Φ o , pro duahus rectis inter se parallelis, qui est casus , quo aeqCario secundi ordinis tota in duos Factores simplices est resolubilis. Sic igitur species Linearum secundi ordinis invenissemus,
etiam si nondum erutae fuissent. 223. Eodem igitur modo aggrediamur Lineas tertii ordinis, quarum aequatio generalis est
Supremum igitur membrum cxy' in cy'x--γyx' --δx', quia est imparium dimensionum , vel unum habet Factorem simplicem realem , vel omnes tres Factores simplices erunt reales. Sequentes igitur casus sunt evolvendi.
Si unicus extet Factor simplex realis. II. Si omnes tres sint reales, & inter se inaequales. i II. Si duo Factores fuerint aequales. IV. Si omnes tres Factores fuerint aequales. Quoniam vero in quovis casu ad unicum Factorem calculum accommodasse suffcit ; sit iste Factor, sive solus adsit sive cum aliis sui aequalibus inaequalibusve, a y - b x, atqueas hunc positio Axis ita immutetur, ut hactenus secimus ; quo
facto , oriatur haec aequatio, qua vice superioris utamur cum aeque late pateat . . Ituq-ctuu - - γυ - - δα - - ε tu ut Φ θ υ - ι - o , ubi membrum supremum αttv Φ c t u ιι Φ γ ti', unum certe habet Factorem M.
124쪽
224. Habeat ergo membrum supremum unicum Factorem realem υ , quod evenit si c c sit minor quam ψ α γ : atque, Posito e infinito , erit αυ- -δ o, quae est arquatis, pro Asymtota recta. Praebeat haec aequatio valorem v - c έ eritque, Mi v - Ο Φ qcce H-εe Φ GH-γc' Η-cee Φ θ c ει - o , quae est arquatio pro natura Asymiotae. Hinc , prout c cc Φε e Φ η vel non fuerit - ω, vel sit - o , duplex Asymiotae indoles prodit; nempe vel u - c - - , vel u - C - - ἔunde duae primae Linearum tertii ordinis species formantur, quae ita se habebunt.
PRIMA Species unicam habet Asymtotam rectam speciei A
SEc UNDA Species unicam habet Asymtotam rectam spe ciet v - T. 'Casus II. 221. Sint membri supremi tres Factores simplices reales &inter se inaequales ; quod evenit si in aequatione
fuerit cc major quam ψαγ. Hoc igitur casu de unoquoque Factore eadem sunt tenenda, quae modo de unico Factore sunt exposita. Unusquisque scilicet suppeditat hinos ramos hype bolicos vel spectet v - , vel speciei u - , unde
125쪽
t 13 DE LINEARUM TERTII ORDINIS
II. in hoc casu quatuor diversae species Linearum tertii ordinis - continentur , tribus A*mtotis rectis ad se invicem utcunque inclinatis praeditae, quae species sunt. 3- ATLRTIA Species tres habet Asymtotas speciei u q. QuARTA Species duas habet Asymtotas speciei v et
& unam speciei u - -.e V te Quinta Species unam habet Asmtotam speciei u - - .' duas species v - - . -
Sexta Species tres habet Asym totas speciei u - --226. Videamus autem an hae omnes species sint possibiles et quem in sinem sumamus hanc aequationem latissime patentem.
cujus supremum membrum tres habet Factores realeS; quan- qua in enim terminus xx est omissiis , tamen aequatio non minus late patet. Ex praecedentibus autem intelligitur, Factorem y pr here Asymtotam formae v - - , si non fuerit η - O. Quare videamus cujusmodi Asymtotam praeheat Factor αy-ta. Ad hoc ponamus y - α υ Φc t , dcx - αι- cu; sique , brevitatis ergo , α Φ ζ' - I, quod semper assumere licet . atque aequatio transformabitur in hanc formam.
126쪽
primum fit u --- e , qui valor si loco u in se- δ' cundo membro continente e substituatur , ostendet ex hoc Factore u seu αγ- cx Asym totam oriri formae v - nisi fuerit.
αι e, '. 22 . Hinc patet fieri utique posse ut neque u neque utraque . formula modo inventa evanescat, ex quo species tertia utique erit possibilis. Quod ad speciem quartam attinet, PO natur π o , quo una Asymtota formae v - - prodeat; tum autem ambae reliquae expressiones in unam coalescunt, ideoque hinae roti quae Asymiotae erunt formae v - - , nisi
ta est possibilis. At, si praeter η - o, una ex hinis reliquis expressionibus reddatur o , simul altera evanescit ; quam ob rem fieri non potest, ut duae Asym totae fiant formae υ --, quin simul tertia eandem sermam induat; ex quo species quinta est impossibilis. Sexta autem ob hoc ipsum erit possibilis, quia oritur, si η - o , & θ - Hi ergo duo casus quinque tantum praebuerunt species Linearum tertii ordinis, quod ea , quam quintam posuimus, Praetermitti debet, &
QuiNTA Species tres habet Asymtotas speciei u - - .
127쪽
CA sus III. 228. Habeat membrum supremum duos Factores M aeqv les ; quod evenit, si in aequatione casus praecedentis primus terminus α. tr u evanescat. AEquatio ergo generalis ad hunc casum pertinens erit hujusmodi , ect uu - cu -υε ε uis Μ- ct in ηu - θ - o , habet ergo membrum supremum duos Factores u aequales, ac tertium αυ- reliquis inaequalem. Iste tertius Factor producet Asymtotam vel formae v - - , Vel sermae v - , Prout fuerit haec expressio ε - - α cδ-γ -- α' vel non o , Vel - Ο.229. Quod ad duos Factores aequales attinet, primum casus occurrit , si γ non fuerit o ; tum enim, facto I oo , fiet α uia 4- γ t - o , quae est aequatio pro Asymtota parabolica speciei u u A t. Hinc ista duae nascentur species nova Linearum tertii ordinis , nempe,
SEXTA Species habet unam Asymtotam speciei u - α& unam Asym totam speciei via At.
SEPTIMA Species habet unam Asymtotam speciei u indi& unam parabolicam speciei u u - A t. 23o. Sit jam γ - o ἔ atque Factor tertius α. t - c u dabit Asym totam formae v - - , si laesit
sin putem haec aequalitas non habeat locum , Asymtota erit sormae v --. Habebimus ergo hanc aequationem
128쪽
Asym tota ; quare eX hoc casu duae oriuntur species.
OcTAvA Species habet unicam Asymtotam speciei NON A Species habet unicam Asymtotam speciei 23 I. Sint aequationis α. uti in δ u in o , ambae radices reales & inaequales , nempe δ δ major quam 4 α ζ; atque hinc duae prodibunt Asym totae rectae inter se parallelae, utraque formaeia - - . qui casus denuo duas suppeditat Species.
DECIMA. Species habet unam Asym totam speciei u A & duas inter se parallulas spcciei v - T.
UNDECIMA Species habet unam Asymtotam speciei u -- Ω duas inter se parallelas speciei u - -.232. Sint aequationis α ς - o , ambae radices inter se aequales , seu -- seu αuu ε δ ιι -
α v - c ', fietque αt u - c γ' - cc' - ε cc - nc- θ, unde oritur Asymtota recta una speciei uu - -. Hinc ergo duae nascuntur Species novae.
DUODEC IΜA Species habet unam Asymtotam speciei Euteri Introduct. in Anal. insin. Tom. II. Q
129쪽
Li' u - & unam speciei v v 13 DE cIMA TERTIA Species habet unam Asym totam speciei u - - & unam speciei v v CAsus I U. 233. Quod si membri supremi omnes tres Factores fuerint aequales, aequatio habebit hujusmodi formam , α. v -- o , Ilic primum spectandus in terminus c it, qui si non desit , Curva habebit Asym totam parabolicam speciei υ - A it, sicque una oritur Species.
DECI Μ AQUARTA Species habet unicam Asymtotam parabolicam speciei ti' - Att.23 . Desit jam terminus c te, eritqne α. υ' γ t u δ υ υ -l- ει Η- ia Η- ου - ο ἔunde , posito i infinito , fiet α. u' - - γ tu ε ε t - o , nisi sint γ & ε - o. Non igitur sit γ - o, atque in hac aequatione duae continentur aequationes α Πυργt O ,&γυ ε ε o; prior est pro Asymtota parabolica speciei υ υ - At; posterior vero, si ponatur c, dabit aequationem hanc
eritque ergo pro Asymtota hyperbolica speciei u - - ,
D E C I Μ A QU I N TA Species unam habet Asym totam parabolicam speciei u u - A t, unam rectam speciei v Diuitiaco by Corale
130쪽
SUB DIVIS IONE IN SPECIES. I 13
, atque Axis parabolae parallelus est alteri Asym totae rectae. 233. Sit etiam γ - o, ut sit haec aequatio ιι u' - δ ut q-εt-μζu-μπ O, ubi ε evanescere non potest , nisi simul Linea cesset esse Curva. Facto autem l infinito , necessario u debet esse infinita, unde fit α. u' in ει o, quae praebet speciem ultimam. 16.DE cIMA s Ex TA SpeCies unam hahet Asymtotam para holicam speciei u' - A Lx36. Omnes ergo Lineas tertii ordinis reduximus ad sed ' ciem Species , in quibus propterea omnes illae SpeciesImtuaginta duae, in quas NE UT ONUS Lineas tertii ordinis divisit, con tinentur. Quod vero inter hanc nostram divisionem ac Newtonianam tantum intercedat discrimen mirum non est ; hic enim tantum ex ramorum in infinitum excurrentium .dole Specierum diversitatem desumsimus , cum NEWTON Us quoque ad statum Curvarum in spatio finito spectasset, atque ex hujus varietate diversas Species constituisset. Quanquam autem haec divisionis ratio arbitraria videtur , tamen NE UT ONUS suam tandem rationem sequens multo plures Species producere potuisset, cum equidem mea methodo utens neque Plures neque pauciores Species eruere queam ..237. Quo igitur natura & complexus cujusque Speciei me. lius perspiciatur , aequationem generalem pro qualibet Specie exhibebo, idque in simplicissima forma , quae salva universitate locum habere potest. Pro unaquaque vero simul Species