장음표시 사용
91쪽
LIB. II. B' x', si vel x vel di vel utraque ponatur infinita , neque nihiIo 'neque quantitati finitae , neque etiam quantitati infinitae ecpotest esIe aequalis, cum ipsa fiat - ω', quae infinities maior . est quam eo. I 68. Quod si ergo arquationis pars summa α. y' in cy' ' x - - γέ R Σ' - - Φ nullum habeat Inctorem simplicem realem , quod quidem evenire non potest, nili n sit numerus par, tum ex meris Factoribus duplicibuS hujus formae A' γ' - χ A qq. eos x' constabit. Quare ,
si vel x vel y vel utraque ponatur infinita , ipsa illa expressio
valorem induet infinitum ' : neque igitur quantitati finitae , neque ulli quantitati infinitae oo , cujus eXponens mminor sit quam n , aequalis esse potest. Reliqua igitur aequationis membra , in quihus variabiles x & y pauciores habent dimensiones , quoniam infinita praebenC minoris exponentis quamn , illud supremum infinitum adaequare non possunt; ideoque aequatio consistere non potest , si vel x vel 3 vel utraque statuatur infinita I 69. Hinc ergo linea Curva , quae exprimitur aequatione inter Coordinatas x&y, cujus supremum membrum nullos habet Factores simplices reales , nullos habebit ramos in infinitum excurrentes , ideoque tota Curva continebitur in spatio
finito , instar Ellipsis seu Circuli Quam ob rem , si in aequatione generali fecundi Ordinis α. γ' in cxy --γxx H-δyε ε x Η- o, membrum supremum, αyy Φ cxy4-γxx, in quo
variabiles x & y duas obtinent dimensiones, non habeat Factores simplices reales , quod evenit si cc si major quam αγ , tum Curva nullum habebit ramum in infinitum excurrentem , eri que adeo Ellipsis.17o. Quo haec distinctius evolvere liceat, Omnem aequ-sionem inter Coordinatas x & y propositam , ita in membra Dissili Cooo'
92쪽
EXCURRENTIUM INVESTIGATIONE. 81
distinguamus , ut ad supremum seu primum reseramns omnes CAP. Vll. a quationis terminos, in quibus variabiles x & y eandem summam dimensionem , cujus exponens sit n , teneant. Ad secundum vero membrum refero omnes terminos , in quibus variabiles anthae n - I dimensiones constituunt. Tertium memin .
brum continebit eos terminos , in quibus ipsorum x & γnumerus dimensionum est n - a, & ita porro, donec perveniatur ad membrum ultimum , in quo nulla inest dimensio ipsarum x & y , & quod propterea sola quaatitate constante constabit. Sit autem P memhrum primum seu supremum , Qmembrum secundum, R membrum tertium , S quartum & ita
17 i. Quoniam igitur , si membrum supremum P nullum hahet Factorem simplicem realem , Linea curva , a quatione P εQ -F- R S - &c. - o indicata, nullum hahet ramum in infinitum excurrentem; ponamus jam membrum supremum P unicum habere Factorem simplicem realem, ay - b x , ita ut sit P - a1 - b x AI, existente M Functione ipsarum x &y dimensionum n - I , quae nullos habeat Factores simplices reales. Posita ergo vel x vel 3 vel utraque infinita , fiet M oo' ' ; Q vero simile poterit esse infinitum, at R , S, &c., fient infinita minorum graduum. Consequenter aequatio P -- Q - R in &c. - o poterit subsistere , si fuerit ay - b x quantitati finitae , vel nihilo , ideoque Curva in infinitum porrigetur.
72. Sit ergo π - bx - ρ, existente ρ quantitate finita , quae ita debet esse comparata ut, Curva in infinitum abeunte , fiat pMΦQΦRΦSΦ&c. o seu p- -Αt , cum Μ sit quantitas infinita superioris ordinis quam R & S &c., erunt seactiones , &c. o , ideoque ρ - Hanc ob rem fractio - dabit valorem ipsius P, si vatia Dissiligod by GOrale
93쪽
II. biles x & y fiant infinitae. Cum autem sit ay-bx p.
x - . Curva ergo in infinitum abeunte fit y
dimensionum , erit Functio nullius dimensionis , ide que si ponatur 3 - - ' , praebebit valorem constantem pro p. Vel, quia Functio ' 2 determinatur, si tantum ratio intery & x determinetur , quae est b : a, valor ipsius p obtinebitur si in expressione se, ubique b loco y & a loco x scribatur.. Invento ergo hoc modo ρ erit ρο- M p , quae aequatio in ipsa aequatione proposita P - - Q Φ RΦ S in &c. - o contine. tur , si Curva abeat in infinitum.17 . Portio itaque Curvae in infinitum extensa ipsa expri- .metur per hanc aequationem V - bx p ; quae cum sit pro Linea recta , haec Linea recta in infinitum producta tandem
cum Linea curva confundetur. Erit ergo Linea recta haec Cur vae asymtota , quoniam Linea curva in infinitum porrecta cum recta congruet, ideoque continuo propius ad eam accedet. Atque
cum aequatio proposita P Φ Q Φ R in S - - &c. - o posito xvet y - eo , abeat in aequationem ο - bx p , simul intelligitur hanc Lineam rectam utrinque in infinitum productam tandem cum Curva congruere. Quam ob rem Linea Curia duos habebit ramos in infinitum excurrentes inter se oppositos, quorum alter cum ista Linea recta antrorsum, alter cum eadem retrorsum infinite producta conveniet. 17s. Cum igitur Curia, si aequationis P -Q- -RΦS-μ&c. - Ο, membrum supremum P unicum habeat Factorem simplicem realem, praedita sit duobus ramis in infinitum extensis , atque ad eandem Lineam rectam utrinque Convergentibus, quae Linea recta ejus Asymtota vocatur ἱ nunc ponamus supre-Digiti sed by . Omlc
94쪽
EXCURRENTIUM INVESTIGATIONE. 8
mum membrum P duos habere Factores simplices reales a bx CAP. Vil.
Functio homogenea n-χ dimensionum. Duo autem casus hic perpendendi veniunt, prout isti bini Factores fuerint inter se aequales vel inaequales.
i 6. Sint hi Factores inter se inaequatus; atque manifestum est aequationem ay - bx cy - dx M in Q Φ R ἡ- S --&c. -o, duplici modo 1 ubsistere posse , pro Abscillis vel Applicatis infinitis, vel si ay-b x vel si cy - δε aequetur quantitati sui ete. Sit igitur ο - M p; &, cuin p sit quantitas finita , in infinito erit Z - - , atque ut ante fiet p
nullius dimensionis ipsarum x Sc γ ; quare, si ponatur ψχ vel, quod eodem redit , si ubique scribanir b loco di pa loco x, verus proclihil valor constantis quaesitae p. Erit ergo
- όe & , Ob Factores inaequales , be - ad non Erit - o , neque etiam M, quia nullum omnino Factorem realem simplicem complectitur , in nihilum abire potest; unde valor pro p oritur finitus , vel etiam o, quod evenit, si x et membrum Q prorsus desit, vel Factorem habeat cy-M. I 77. Ob supremi ergo membri P Factorem realem simplicem v - M, Curia, uti in priori casu , unam habebit Asym totam, cujus positio indicatur aequatione π - bae p. S mili ero modo, ob alterum Factorem cy- dx, quoque habebit Asymtotain , quam praebebit aequatio haec: cy- dx - q, existente a -
lii valores determinati d & e fuerint substituti. Quocirca Linea curva omnino duas habebit Asymtotas , ideoque quatuor ramos in infinitum extensos , qui cum illis rectis tandem congruant. Hic ipse autem casus locum supra invenit in H; Dissili od by Corale
95쪽
bis Functio nullius dimensionis ipsarum x & y. Quare, cum in infinito sit γ : at - b : a , si haec ratio - pro L seu b pro & a pro x substituatur, utraque illa Functio abibit in qua
titatem constantem,r79. Fiat ergo, facta hac substitutione, - eritque -My- - A μγ Φ νx - B, quae est arquatio pro Linea curva cum qua Linea curva aequaistione P ε Q in S in &c. o expressa, postquam in 'in finitum processerit, confundetur. Verum, quia quandiates a sunt arbitrariae sumatur μ - b&ν a, ac, immutandis Coordinatis , fiat ay - v v aa -l- b b & by - - ax-ι v a a 4-bb , eritque pro eadem illa Curva ista aequatio uti Η- . o. =-- Q, qum Patet eme pro Parabola. Curva ergo quaesita ita erit comparata , ut in infinitum proiensa cum Parabola consuadatur. Habebit ergo duos tantum
96쪽
EXCURRENTIUM . INVESTIGATIONE. 8
ramos in infinitum excurrentes, quorum Asymtota non erit CAP. VII. Linea recta, sed Parabola superiore aequatione expressa. Isso. Evenit hoc si non fuerit A -o : at si sit A - Ο quod evenit si membrum secundum Q vel desit vel divisibile fuerit per ay- bxi, tum aequatio cessat esse pro Parabola, eritque uia Φ-- o , cujus Irra casus erunt evolvendi. Primo scilicet, si B fuerit quantitas negativa , puta--Π, aequatio uu -U o , duas in se complectetur arquationes υ - 1 o & uΦf- O, quae erunt pro duabus Litaneis rectis inter se parallelis, quarum utraque erit Curvae Asym- tota , uti casu primo : atque ideo Curva quatuor habebit tamos in insitatum excurrentes qui cum istis duabus rectis confundentur. 18 I. Secundus casus est quod sit B quantitas assirmativa. puta ε H Quia vero hoc casu aequatio u u o est impossibilis , Curva nullum habebit ramum in infinitum e currentem , sed tota in spatio finito continebitur. Νon solum igitur Curva , quae hac aequatione P - - Q - -R ΦS-- o, continetur, nullum habebit ramum in infinitum extensum , si membrum supremum P nullum habeat Factorem simplicem re Iem, sed etiam idem usu venire potest, quamvis P habeat Factores . uti modo vidimus. Plures autem hujusmodi casus
182. Tertius case est quo sit etiam B o, in quem uterque praecedentium incidere potest , ex quo ambiguum est. quomodo Curva futura sit comparata. Hinc ad figuram Cu vae definiendam sequentes termini spectari debebunt. Scilicet, cum sit Ρ -- Q - - R Φ S -- &c. , atque P- a b 'M
τ- -- &c.. Ponatur ergo, ut ante, facta substitutione Z -
97쪽
ρo DE RAMORUM IN INFINIT M- , A by Φ a x , J - B ; tum vero cum S,
in &c. - o. Haec ergo aequatio eXprimit naturam curiae Lineae , cujus portio in infinitum distans , quae prodit si by Φ ax ponatur infinitum , conveniet cum Curia inaequatione ε R ε &c. - O , contenta. Quamvis enim, Curva in infinitum excurrente , ay-bx γ' valorem obtineat vel finitum vel infinitum ordinis tamen inserioris quam ' , tamen by Η- ax valorem habebit infinitum. I 83. Mutemus autem Axem , ad quem Lineam istam Asymtotam inventam reseramus , ac in eo ponamus Abscissam
184. Quod si insuper fuerit c-o, tum sumenda est ista Diqitiaco by Coc e
98쪽
aequatio uu - --- o, ubi iterum tres casus Occurrunt prout
D fuerit quantitas affrmativa , vel negativa , vel nulla. Primo casu, ob aequationem impossibilem , Curva nullum habet it ramum in infinitum excurrentem, sed tota continehitur in spatio
finito. Secundo casu , si1 - ---LI Ob uu ' quia posito tam I - - quam t - -- oo , Applicata ti duplicem obtinet valorem evanescentem , amrmativum & negativum, Curva habebit quatuor ramos ad Axem utrinque ad utramque partem convergentes. Tertio autem casu , quo D - o,
Esumenda est aequatio uti in pπ - o , cujus par est ratio . atque in s. praecedente : sicque consideratio continuari debebit, quoad sequatio P - - Q- -R-H.S in &c. , terminos ulteriores suppeditat. I 8s. Ponamus nunc membrum supremum P aequationis P Φρ- - Φ S -- &c. - Ο, tres habere Factores simplices . reales; atque mani sellum est, si isti Factores fuerint inter se inaequales, tum de unoquoque valere ea . quae supra de unico Factore reali sunt exposita ; quo ergo casu Curva habebit sex
ramos in infinitum excurrentes, ad tres Lineas rectas Mymi tas convergentes. Si bini Factores fuerint aequales, tum de tertio inaequali itiem erit tenendum ; quod ante : at de duobus aequalibus eadem praecepta sunt notanda, quae ante dedimus. Tantum ergo superest casus tertius evolVendus, quo omnes
tres Factores sunt inter se aequales. Sit igitur P - aς- M 'M. Et, quia aequatio P -- Q - - R Φ S Η- &c. -o , tubsistere non potest in infinito, nisi ay---bx ' habeat valorcm vel finiatum . vel infinitum quidem at ordinis inferioris quam eo', quo potestas infiniti, in quam membrum supremum P abit , fiat minor quam ' ; erit utique in infinito Z I 86. Ad hunc casum exponendum primum spectari oportet membrum secundum Q, utrum id Factorem habeat eundem, F - bx an secus : ubi notandum csi si omnino desit, tum
99쪽
II, in priori contineri, quia nihilum quemcunque Factorem agnoscit. Primum itaque non sit Q per ay-bx divisibile. Et, cum Q sit Fnnctio n - I dimensionum , M vero Functio n - 3 dimensionum, erit Functio nullius dimensionis , ax'-υὶ Mideoque posito , abibit in quantitatem constantem , quae sit - A, eritque ay - bx ' in A a x -- by ' - o, sequentia enim membra praebebunt terminos, qui in infinito prae A ax by ' evanescunt. I 87. Linea igitur curva, quae hac aequatione Exprimitur, ita erit comparata , ut in infinitum producta cum Linea curva aequatione P Q R S in &c., expressa congruat. Ad illam aulcm proprius cognoscendam , eam ad illum Axem reseramus, in quo sit Abscissa t--& Applicata
quae aequatio, si ponaturi oo, dabit partem Curvae quaesitae P Φ Q Φ R - - &c. - Ο , in infinito existentem. Quare, si figura Curvae u Φ-- o , cognita fuerit, simul Curvae P Η- Q - - R H- &c. - Ο , portionis infinitie figura erit cognita. In capite autem sequente has Liueas curvas Asym totas data
188. Quod si membrum feeundum Q Factorem habeatay - bx ; vel simul erit divisibile per ay - b x ' vel secus. Ponamus non esse divisibile per ay - bx ', ac sumatur ista
---οῦ, praebeat istam quantitatem constantem Α, critque
100쪽
EXCURRENTIUM INVESTIGATIONE. 93
B ax - - by , prout R fuerit per ay-bae divisibile vel mi CAP. VII.
nus. ἔ verum erit quantitas constans C. Hinc , ista aequatione ad alium Axem relata, inter Coordinatas i & u , ut ante
- 2 - - D in - - o. Quia autem tantum casus huc spe tat cum t - oo , termini ultimi evanescunt. Eritque ergo priori casu M' Φ -- - - - O, quae duplicem praebet Asymtotam nempe & v - o, & MN Φ-- O , alteram rectam , alteram Parabolam. Posteriori casu quoque , existentet - ω , vel u habebit valorem finitum , eritque , ob finita
prae infinitis evanescentia , F Φ o , ideoque u
pro Linea recta. Praeterea Vero u valorem infinitum habere pote it sicque ,. avenescente termino tertio , fiet u - - - Ο , Pro Parabola. Quare utroque casu duplex prodit Asym tota , altera recta altera Parabola se ex quo hos casus a se distingui non opus est.
x89. Sit Q etiam per ay- uex ' divisibile, atque prout R per ay - bx fuerit divisibile vel secus, iisdem , quibus
ante , operationibus institutis , prodibunt inter i & υ hae aequationes e vel u -f-- τ ε - O, Vel M H g g Γ e s- o. Prior casus est pro tribus Lineis rectis inter se parali sis , si quidem omnes aequationis u' -l- -- -- - - - radices fuerint reales, vel pro unica recta Asym rota , si duae radices fuerint imaginariae. Hinc vero varietares nascuntur
Prout trium istarum Asymiotarum inter se paralmarum vel Disiti by Corale