Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

141쪽

TERTII ORDINIS PROPRIETATIBUS. r Is ii. 0 h. iiii, kEheralissime omnes casus dQtς mi λδ ς ς

poterius, quibus Lineae tertii ordinis Diametris sunt praeuitae. Sit enim proposita aequatio generalis Q ' in δ' - γyxx Φ δx' ε επ ε ζ1 x - ουπι ΦθειxΦ κ o, cujus Applicatae γ , quia triplicem valorem vel unicum habent, Diametri proprietatem recipere nequeunt. Ducantur ergo sub alio quocunque angulo ad eundem Axem aliae Applicataeu, ita ut st y- nti, & x - t-mti, ac fiat substitutio

Primum ergo, quo hae novae Applicatae ad Diametrum recipiendam aptae reddantur, necesse eis ut duplicem tantum valorem induere possint, eritque idcirco. α n - c mn ' - γ m'n - δm' - o. .

Plinc ergo fiet

rebit in Specie prima nullam prorsus Diametrum locum habere

142쪽

136 DE PRAECIPIIS LINEARUM

II, posse. In Specie autem secunda ordinatae Axi, in quo Ahiacis Iae x capiuntur parallelae Diametro , hi secabuntur. Species tertia nullam prorsus Diametrum admittit. Species quarta semper unam habet Diametrum ordinatas uni Asym totae parallelas bisecantem. Quinta vero Species tres habebit Diametros, quae ordinatus singulis Asymtotis parallelas bisecabunt. Species sexta nullan ' prorsus habere potest Diametrum. Septima unam Diametrum semper habet pro Ordinatis Asyna totae ex Factore x - m 1 ortae parallelis. Ochava unam Diametrum babet pro Ordinatis Axi parallelis. Nona Species duas habet Diametros ; alteram pro Ordinatis Axi. parallelis, alteram pro Ordinatis alteri Asym totae parallelis. Decima uti octava, & undecima uti nona est comparata. Duodecima ratione Diametrorum par est octavae, & decim tertia nonae. Decim quarta unam habet Diametrum pro ordinatis Axi paralle is. Species decima - quinta & sexta omnino ordinatas , quae in duobus punctis Curiam secent, non admittunt; ideoque

Di ametro gaudere nequeunt. Haec aut m DiamCtrorum Pro prietates a NEUTO NO probe sunt notatae , quam Oh causam earum commemorationem hic data opera attulisse juvabit.

3. Quanquam in aequationibus , quas supra pro singulis Decii hus Lincarum tertii ordinis dedimus, Coordinatas x & yinter se normalos posuimus, tamen Speciei natura non mutatur, etiamsi cae quomodocunque ad se invicem sint inclinatae. Quot enim aequatio, positis Coordinatis orthogonali-hus, praebet crura in infinitum extensa, totidem quoque Praebebit eadein aequatio, si Applicatae ad Axem utcunque inclinentur. Neque vero etiam natura crurum in infinitum excurrentium mutatur , mutata Coordinatarum inclinatione ; quae euim crura sunt parabolica, eadem manebunt parabolica, &quae sunt hyperbolica eandem naturam retinebunt. Quin etiam Species crurunt tam parabolicorum quam hyperbolicorum non alterabitur. Quare omnis Curva , quam aequatio pro prima

Specie exhibita praebet , sive Coordinatae statuantur rectangulae sit e obliquansulae, semper ad eandem Speciem primam eritia referenda ,

143쪽

TERTII ORDINIS PROPRIETATIBUS. 137

reserenda, similique modo reliquarum Specierum omnium CA ratio esse comParata. εχ 39. Admi illa ergo Coordinatarum obliquitate quacunque, aequationes stipra datae non restringentur, si loco v ponatur ν u, & t - u loco x , CXis Entu si M. H- 3 ν I. Sumto

autem angulo obliquitatis pro lubitu , aequationes supra data simpliciores reddi poterunt. Hinc pro singulis Speciebus sc-quentes simplicissimae aequationes inter Coordinatas obliquangulas t & u formabuntur.

Euteri Introducr. in Anal. insin. Tom. II. s

144쪽

LIB. II.

DE PRAECIPUIS LINEARUM

145쪽

CAP. X.

TERTII ORDINIS PROPRIETATIBUS. I 39

CAPUT XI.

quae autem, variatis tum Coordinatarum inclinatione, tum Axis positione , tum Abscillarum initio , multis modis pro diversis casibus ad ' simpliciorem formam reduci potest. Quo igitur, secundum methodum traditam , omnes Species vel potius Genera Linearum , quae in hoc ordine continentur en murentur , ad membrum iu premum rulpici oportet , unde sequentes casas nascuntur diversi.

146쪽

LIB. II. III. Si duo Factortis tantum sunt reales & aequales. in IV. Si omnes quatuor Factores sunt reales & i quales.

Si duo Factores inter se sunt aequales, reliquis binis intorse existentibus inaequalibus. VI. Si praeter duos Factores aequales etiam reliqui duo sint inter se aequales.

v I I. Si tres Faetores simplices fuerint inter se aequales. VIII. Si omnes quatuor Factores inter se aequales fuerint. CASUS. I.

161. Si omnes Factores membri supremi fuerint imaginarii, Curva ramis in infinitum excurrentibus omnino erit delii tuta ;quoniam igitur eN diversiuate ramorum infinitorum discrimen Generum petimus , iste casus unicum praehebit Genus. Erit

GAN Us I. Curvarum ramis in infinitum extensis omnino carentium , quarum natura hac aequatione simplicissima eXprimetur

Existente ρ ρ minore quam qq. Quoniam enim in supremo membro turmiis γ' & x' nec2llario adsunt, Coordinatis x &y quantitate data sive augendis sive minuendis , enici potest, ut termini y' & x' ex secundo membro CXcedant.

147쪽

Q ARTI ORDINIS. CASUS II.

CAP. XI.

262. Si duo Factores membri supremi tantum sint reales &inaequales, per obliquitatem Coordinatarum & Axis mutatio- nem , cstici potest ut alter sit 3 alter vero x, arquatio ergo ita se habebityx yy-2 myx - - nn x x - -ay'x - - b yx' - - cyy in dyx Φ

existente m m minore quam n n.

Quia enim in supremo membro termini γ' x & y x' necessario adsunt , in secundo membro termini γ' & x' omitti postulat. Habebit ergo Curva duas Asym totas rectas , alteram aequatione y O , alteram aequatione x O , CXpressam. Prioris ergo indoles exponetur hac aequatione nnyx' in ex x -gx h o ; posterioris hac α γ' - y fy ε h. - o. Hinc se mahitur. GENus II.

Duabus Asym totis rectis, utraque indolis u V- , praediatum , si neque c neque e sit quantitas evanescens. Gguus III. Duas habet Asym totas rectas, alteram indolis u - , alteram indolis v - - , & eXprimitur aequationeyx 1 - 2 x Φ nnxae Φ ο' x Φ bxx ε γε db x 'Fo -μ γε-o, exit ente neque c O, n que ς - O. GENU s IV. Duas habet Asym totas rectas , alteram indolis u alteram v - - - , di continetur hac aequatione

148쪽

l 1 DE LINEIS

CASUS III.

149쪽

QUARTI ORDINIS.

prodit . . Gavus I X. Nullum habens ramum in infinitum extensum. Si fuerit b - o , & aa major quam Mne , neque sit g o , Prodit GENUS X. Duas habens Asymtotas inter se parallelas speciei u- - . Si fuerit & b - o, & g - o, & aa major quam Anne proditGENus XI. Duas habens Asymtotas inter se parallelas speciei u --. Si fuerit b - o, dc aa ane, nec vero g O, Prodit GANus XII. Asym totam habens hyperbolicam speciei uu - -. Si fuerit b - o, g o, & aa rine, atquz h qua titas negativa, proditGENus XIII. Asymtotam habens hyperbolicam speciei in v '. At, si b - o , g o , aa - qnne, & h quantitas assi maliva , prodit Disiligod by GO le

150쪽

LIB. II.

DE LINEIS

Ggsus XIV. Nullos prorsus habens ramos in infinitum extensos.

26 . Sint membri supremi omnes quatuor Factores simplices reales & in ualm , atque aequatio hujusmodi formam hahebit

GENus XVI. Habens quatuor Asym totas hyperbolicas , tres speciei u & unam speciei ti GEsus XVII. Habens quatuor Asymtotas hyperbolicas, tres speciei u

GENus XVIII. Habens quatuor Asym totas hyperbolicas, duas speciei ti: - , & duas speciei u: