장음표시 사용
151쪽
Uahens quatuor Asym totas hyperbolicas, duas speciei u -οῦ , & duas speciei u p. Gguus XXI. Habens quatuor Asym totas hyperbolicas , omnes speciei Gguus XXII. Uabens quatuor Asymtotas hyperbolicas , tres speciei u T , & unam speciei u Ggsus XXIII. Habens quatuor Asymtotas hyperbolicas , duas speciei u --Π , & duas speciei u GEHus XXIV. Habens quatuor Asymtotas hyperbolicas , omnes speciei
16s. Sint duo Factores membri supremi inter se aequales, reliquis existentibus inaequalibus , arquatio erit hujusmodi Eulcri Introduci. in Anal. in n. Tom. II. T
152쪽
Hinc primo , ratione Factorum aequalium , Omnia oriuntur Genera , quae in casu III, & unumqUodque cum tot varietatibus occurrit , quot Factores inaequales suggerunt, hoc est quot casus secundus Icontinet Genera. Omnino ergo sexies septem hoc est quadroginta-duo Genera ex hoc casu nascuniatur. Duo autem hinc prodeunt Genera impost bilia, ncmpe si ambae Asymiotae parallelae fuerint speciei υ - - ,& retia quarum una u G, altera eXistente Vel u - - , vel υ - Quare, hic casus quadraginta Genera praebet, quae cum antecedentibus numerum Gunerum siexa ma-quatuor conficiunt , quae singula hic describere nimis foret longum. Neque etiam , quia singula haec Genera CVolvere non vacavit , firmiter assirmare licet, omnia eise realia. Qui autem secundum praecepta data hoc negotium in se suscipere voluerit numerum Generum , si opus fuerit , restringet atque emendabit.
16s. Hic casus, quo duo Factorum aequalium Paria adsunt, issa aequatione continebitur
Utrumque autem Factorum aequalium par in se spectatum varietates dat septem , unde ambo Paria praebcbunt Genera quadraginta novem. Quia vero ii simul amrmativum & negativum csse nequit , duo Genera sunt impossibilia, ideoque ex hoc casu Omnino nascuntur Genera quadragini septem, qui numerus etiam major est quam ut singula hic recenseri queant. Hactenus ergo nacti sumus Genera tantum O undecim.
153쪽
267. Si tres Factores inter se fucrint aequales , aequatio erit ejusmodi γ' x - - ayxx Φ- bx' - - cyy - - dyx Φ eo in D Φgx in o. Hic Factor x praebet Asyna totam speciei u - - , si non fuerit c - o ; at , si c - O , nec Vero O , Asym totam
dat speciei u - p. Deinde Factor γ' , nisi fuerit b-o . dat Asymtotam parabolicam speciei u' - Att ; sin autem 5 o , posito x infinito , fit γ' in ayx in dy ε ex Φ g ε ' - - o. Hic , si non sit e - o , erit γ' - ayx lex o ; unde , si nec a O , erit & y' Φ ax o & ay --e-o : simul ergo locum habet Asymtota parabolica specieitiu At, & hyperbolica hac aequatione expressa V --e x- - - - - g in Nisi ergo sit e ' in aude la g o, haec Asymtota est speciei u --; contra vero sp ciet v - -. At , si a - o , non existente e o , erit y' ε ex o : quae dat Asymtotam para holicam speciei ti' At. Sin autem sit e - o , Ela a o, fiet γ' - Ο Φg-o, quae aequatio vel unicam praebet Asym totam speciei u -- , vel tres ejusdem speciei , vel unam speciei u -τ, &unam speciei uu - --; vel unam speciei u --. Omnino ergo octo varietates occurrunt, quae , per tres ex Factore x cortas multiplicatae, dabunt Genera vigintiaquatuor. Ergo omnes casus hactenus tractati dant Genera centum triginta quinque. T a. Diuitiam by Cooste
154쪽
268. Si omnes Factores sint inter se aequales haec aequatio locum hahebit γ' - - ο'x - - ου- - - x' in cyy Φ dyx - - rex ΦD γ Φh- οὐ Hic , si non fuerit o , proditGEsus CXXXVI. Unicam habens Asym totam parabolicam speciei u' At . Sit o, non vero b o , erit γ' in byxx Φ exx o, hincque γ' -l-kt x o , & by Φ e o ; unde , pro Asym tota
- Φ gx Φ h o ; ergo, nisi sit aee-b,- - ἴυ- , Asym tota erit speciei u i contra vero speciei u - - οῦ unde prodeunt GEsus C XXXVII. Unam habens Asyna totam parabolicam speciei v A te se& unam hyperbolicam speciei u - - , &Gusus CXXXVIII. Unam habens Asym totam parabolicam speciei v'-Ait,& unam hyperbolicam speciei u - - . 269. Sit jam k-o , b o, ut sit
155쪽
e, duas praebet Asymtotas parabolicas ad eundem Axem re- CAP. latas , speciei uti At; sin a a e , hae duae Parabolae
in unam coeunt, quibus Genera CXXXIX. CXL. & CELI. constituuntur. At, si e o, ut habeatur haec aequatio
unde y vel duos habet valores dii eris , vel aequales , vel nullum reatum. Casu primo Curva , prariCr unam Asymtotam parabolicam, habebit duas Asymtotas parallelas speciei u - - .
secundo unam speciei uti - --; tertio nullam : unde iterum tria Genera constituuntur nempe CXLII. CXLIII. & CXLIV. 27o. Sit nunc etiam a o , ut sit
Hic, si non sit d - o , Curva habebit Asym totam parab licam speciei ti'- A t, & unam reclam aequatione dy H g O, contentam , speciei υ - - . Denique si & d o , Curva unam habchit Asym totam parabolicam speciei ti Atesicque omnino Linearum quarti ordinis constituta sunt Genera centum quadraginta ex ; quae autem singula plerumque plures Species notabiliter disserentes sub se complectuntur. 27 i. Ex his jam clare perspicitur quantopere Generum numerus in Lineis quinti, altiorisve ordinis , multiplicetur, ut recensio, qualem pro ordine tertio fecimus, inlli tui prorsus nequeat , nisi quis intcsrum volumen huic operi destinare velit. Quod autem ad primarias proprietates Linearum quarti altiorisve ordinis attinet , eae ex aequatione generali simili modo derivabuntur , quo supra in Lineis tertii ordinis sumtaxusi, neque idcirco earum explicationi immorabimur.
156쪽
De lavsigasione Rura Linearum Curvarum. 272. U E in his Capitibus sunt exposita , inserviunt figurae Linearum curvarum in infinitum extensarum cognoscendae.
Cujusmodi vero figuram habeat quaepiam Linea curva in spatio finita, saepe numero dissicillimum est ex aequatione cognoscere. Oportet enim ad hoc pro quavis Abscissa sinita valores Applicatae respondentes singulos ex aequatione crucre , atque reales ab imaginariis discernere : quod negotium , si aequatio sit altioris gradus , plerumque vires Analyicos cognitae superat. Quod si enim Abscis Iae valor quinque cognitus tribuatur, Applicata in aequatione incognitae vicem sustinebit. Hincque a numero dimen onum , quem Applicata obtinet, pendebit aequationis resolutio. Negotium autem hoc per reductionem aequationis ad sormam simpliciorem , dum & Axis commodissimus ,& inclinatio Coordinatarum aptis lima asIumitur , valde sublevari potest : tum etiam quia perinde est, utra Coordina- virum pro Abscissa accipiatur . lahor maxime diminuetur, si ea Coordinatarum , cujus paucissimae dimensiones in aequatione occurrunt , pro Applicata assumatur. α 3. Sic , si sguras Lincarum tertii ordinis, quae ad Speciem primam pertinunt, investigare velimus, assumemus aequationem pro hac Specie simplicisssimam, et. 8. exhibitam, &ex Coordinatis i dc u priorem t pro Applicata, alteram veroti pro Abscissa . quia e duas tantum dimensiones habet. Hujusmodi ergo aequationis formam habebimus ,
quae resoluta dat Dissiligod by
157쪽
274. Qui ergo valores ipsius x Functioni bb - ώ Φ eri in
' - nnx' valorem assirmativum induunt, iis duplzx Applicata respondet; quibus casibus vero haec Functio evanescit, ii dem unica Applicata y Abscissae x convenit, seu binae Applicatae inter se fiunt aequales. At, si Functio illa valorem negativum obtinet, tum Abscissae nulla prorsus Applicata res pondet. Sed valores istius Functionis, si fuerint aUrmativi,
in negativos abire nequcunt, nisi prius facti sint aequales, seu Functio evanuerit. Casus igitur potissimum erunt considerandi, quibus Functio bb - - δε in eo- - ax' - nnx' fit o ; quod quidem certo duobus evenit casibus : quoniam , si x certum limitem sive amrmative sive negative transgrediatur, ejus valor fit negativus. Hinc tota Curva determinato Abscissae spatio respondebit, ultra quod omnes Applicatae fiant imaginariae. 273. Ponamus expressionem bb ἡ- ώ - cxx H- ax' - nux duos tantum habere Factores reales , seu duobus tantum casibus evanescere posse ; quod eveniat, si Abscissa determinetur in punctis P & S , ubi unica tantum Applicata reperiatur. Per totum ergo spatium PS Applicatae erunt geminae & reales, extra spatium vero P S omnes Applicatae erunt imaginariae :ideoque tota Curva intra Applicatas X 8c N n jacebit. Applicata vero in initio Abscii larum A erit Asymtota Curvae, quae praeterea Curvam in puncto quopiam secabit; si enim p natur x- o , fiet V bb - - ώ - - cxx in ax' - nnx' b H- unde erit v --, hoc est, erit vel F eo ,
vet y - ..Curva ergo hoc casu ejusmodi habet formam qualem Figura so. repraesentat. 276. Ponamus expressionem bb -- Δ cxx in ax'-nnx' quatuor habere Factores simplices reales inaequales; ideoque quatuor casibus eVanescere. In totidem ergo locis P , Q, R
158쪽
I 3'. II. δἰ S Applicatae Curvam in unico puncto stringent. Cum igitur Applicatae per Axis spatium X P fuissent imaginariae . nunc per spatium P Q erunt reales : tum vero per spatium Q R erunt iterum imaginariae, ac per RS rursus realcs. Extra S vero versus T denuo fient imaginariae. Hinc Curva conflabit duabus partibus a se invicem separatis , quarum altera intra rectas Κ &. Ll, altera intra reccas um & Nn continetur. Cum vero in Abscissarum initio A Applicatae sint reatos, necesse est ut id vel in Artis intervallo P Q vel RS sit situm. Hoc ergor A. casu Curva figuram habebit, qualem Figura sI. ostendit, sci-X I V. licet constabit Ovali a reliqua Curva ad Asymtotam DE r
lata , dillante, quae vocatur UUALIS CONIUGATA.
177. Si duae radices fiant inter se aequales . vel puncta PQ , vel Q & R , vel R & S, conveniunt. Verum , si - psus eveniat , quia A intra P & Q jacet, utraque radix deberet esse κ; quod quia b deesse nequit, fieri non potest. Sin
autem puncta A & S conveniant, Ovalis conjugata fiet infinite parva, & abibit in PUNCTU Μ CONIUGATUM.At, si puncta Q&R conveniant, Ovalis cum reliqua Curva TAB. ita conjungetur ut prodeat Curva NODATA Figura set. Quod si vero tres radices congruant, seu puncta Q, R δ: Sconveniant, tum nodus in CUSPIDEM acuti faimam evanescer,
T, s. qualem Figura 3. repraesentat. Sic igitur quinque diversae va-XIX. rietates in specie prima locum habent, ex quibus NEWTONus totidem constituit Species. 1 8. Simili modo subdivisiones reliquarum Specierum aditor ono sunt fictae , quoniam omnes aequationes ita sunt comparatae, ut altera Coordinata plures duabus non habeat divisiones. Quando vero altera coordinata unicam habet dimensionem , forma Curvae facillimo cognoscetur. AEquatio enim erit hujusmodi y P, existente P Functione quapiam rationali Abscissae x; quinque ergo ipsi x valor tribuatur , Applicata quoque semper unum obtinet Valorem ; ideoque Curva continuo tractu Axena udrinque in infinitum comitabitur. Si
Functio P sit fracta , fieri potest, ut Applicata in uno pluribusve
159쪽
husve locis fiat infinita, ideoque Curvae Asymtotam exhibeat, cε Vliquod evenit ubi denominator Functionis P evanescit.
279. Ponatur ergo y - Π , atque istas Applicatas infiniatas ostendunt Omn2s radices reales aequationis Q o : qua libet enim radix Eujus aequationis, puta x , declarat, si sumatur Ablcilla x diis, sere Applicatam y infinitam , quia fit Q o. Tum vero patet , si fuerint Applicatae 3 affirmativae , dum esset x major quams, easdem , facto x minore quam f, suturas esse negativas ; ideoque Applicata erit Asymtota speciei u - - : hocque de omnibus Factoribus inaequalibus est tenondum. Sin autem denominator Q duos habuerit Fa tores aequales , puta x-f ', tum si Applicatae sint amrmativae sit nito I majore quam x , manebunt alsirmativae si ponatur x minor eritque Applicata F, facto x - , Asym- tota speciei uu --. At , si denominator Q tres habuerit Factores aequales, nempe x- ', tum Applicatae ante &post illam quae fit infinita , diversa habebunt ligna, uti casu
23o. PCsi has aeqtrationes secillime tractantur, quae in hac serma continentur γ y - ΘΔ l -- , existentibus P, Q , &R Functionibus quibuscunque integris Abscisin x. Cuique igitur Abscissae x vel geminae conveniunt Applicatae vel nulla ;duae scilicet prodeunt Applicatae, si fuerit P P major quam Q R,& nulla , si P P minor quam QR : in quolibet ergo limite, qui Applicatas reales ab imaginariiI seu nullis dirimit , erit P P - QR ; ideoque fit y---, suu haec Applicata Cu
vam in unico puncto stringet vel tanget. Ad Curvae ergo formam cognoscendam consideretur aequatio P P - QR o, cujus singulae radices reales dabunt loca , ubi Applicatae Cur vam in unico puncto stringunt. Notentur haec puncta in Aae . Euteri Introducr. in Anal. in n. Tom. II. V
160쪽
LIB. II. atque, si omnes radices fuerint inaequales, Axis partes intre 'haec puncta contentae alternatim habebunt Applicatas geminas reales, & imaginarias, sicque Curva tot constabit partibus a se invicem sejunctis, quot hujusmodi alternationes adesse deprehenduntur , unde Ovales conjugatae Originem ducunt.
281. Si aequationis E P - R o , duae radices fiant
aequales , tum illorum in Axe notatorum pundiorum duo convenient, hincque in Axe portio vel imaginarias habens Applicatas vel reales evanescet. Priori casu Curva prodibit nodata. τ ι , uti in Figura 32; posteriori Ovalis conjugata in punctum con-XIV. jugatum evanescet. Quod si autem illa aequatio tres habuerit radices aequales , Nodus fiet infinite parvus atque in Cuspidem T n. abibit, ut in Figura s3 ; si quatuor assuerint radices aequationis XIV. aequales , vel duae ovales separatae concrescent in punctum , vel in ipsa Cuspide dabitur Nodus, seu duae Cuspides ad ve
licem oppositae. Sin quinque radices aequales afluerint, nova fere fornaae non proveniunt; Cuspis enim oritur in qua non una, ut ante, sed duae ovales in punctiam coalescunt; neque etiam major radicum aequalium multitudo novum discrimen in figuris resultantibus producit. 282. Nodus seu intersectio duorum Curvae ramorum vocari etiam solet PuNCTυΜ DuPLEx, propterea quod Linea
recta Curvam in eo puncto secans; eam in duobus puntas secare censenda est. Atque, si per Nodum alius Curvae ramus transiret, tu. in hac intersectione nascetur punctum Curvae triplex ; punctum vero quadruplex orietur , si duo puncta duplicia conveniunt , ex quo genes s & natura puractorum quorumvis multis ictum perspicitur. Erit ergo etiam Ovalis evanescens , seu punctum conjugatum , punctum duplex , pariter ac Culpis ,
quae oritur a puncto conjugato cum reliqua curva conn2XO.α83. Si aequatio, qua Applicata y per Abscisi im x exprimitur , sit cultica vel alitoris gradus, ita ut y aequetur Functioni multiformi ipsius x ; tum unicuique Abscissae convenient x Cltor Applicatae , quot y in aequatione habet dimensiones , vel Carum numerus minuetur binario Vel quaternario , vel senario