장음표시 사용
161쪽
&c. Perpetuo ergo hinae applicatae smul imaginariae esse in- c A p. CiPiunt, atque prius quam imaginariae evadunt, inter se fiunt X Laequales. Hinc ex transitione ab imaginariis ad reales plures nascuntur Varietates, quae autem cum his, quas modo explicavimus ; vel conveniunt vel ex iis ipsis sunt compositae. Quod si autem pro plurimis Abscillis tam amrmativis quam negati-xis quaerantur omnes Applicatae valores , tum per haec puncta inventa Curva facile delineabitur, ejusque figura cognoscetur. 28 . Illustremus haec exemplo , quod , quamvis ortum sit eX arquatione altioris gradus , tamen Applicata F per solas radices quadratas exprimatur. Sit nimirum
ex qua aequatione cuivis Abscissae octuplex Applicata respondet. Perspicuum autem est, si Abscissa x sfaritatur negativa. tum Applicatam fore imaginariam ; quod idem evenit si Ahiacissa x sumatur major quam 6 : ex quo tota Curva intra limites
x o . & x - 6 continebitur. Ponantur ergo pro x succeia sive valores , Os
162쪽
LIB. II. duplici plexu AFB Eeagbe DA. & a1 bEC AGBCD α' constans, duas hahens Cuspides in A & a , & puncta duplicia
seu ramorum intersectiones quatuor in D, E, C & c.
De Absectionibus Linearum Cumanum. 28s. QuΕΜΑΟΜonu M supra ramorum .in infinitum eXre forum indolem ita descripsimus , ut Lineam rectam, Vel Curvam simpliciorem , assignaverimus , quae cum illa Curva in infinito confunderetur ; ita in hoc Capite constituimus quamvis Curvae portionem in spatio finito existentem examini subjicere , atque rectam vel Curvam fmpliciorem investigare , quae cum illa Curvae portione saltem per minimum spatium congruar. Ac primo quidem patet omnem Lineam rectam , quae Cur- am tangit , in eo loco ubi tangit , cum tractu Lineae CurVae congruere , seu cum Linea curva duo ad minimum puncta communia habere. Tum vero etiam aliae Lineae curvae exhiberi posIunt , quae cum data Curvae portione accuratius congruant , eamque quasi osculentur. His autem cognitis , status Lincae curvae in quovis loco, ejusque assectiones clarissime erunt perspectae. TA' NR 186. Sit igitur proposita aequatio quaecunque inter Coo
i di natas x & y pro Curva quapiam. Tribuatur Abscissae xvalor quispiam AP p , & quaerantur. 'alores Applicatae Fhuic Absc:IIae respondentes, qui si plures fuerint, sumatur prolubitu unus P M q , eritque sti punctum in Curva, seu punctum Der quod Curva transibit. Tum vero , si in aequatione inter x & y proposita , loco x scribatur ρ , & ρ loco y , Omnes aequationis termini se mutuo tollent, ita ut nihil remaneat. Jam , ad naturam illius Curvae porticuis , quae per
163쪽
Axi AP parallela, quae nunc pro Axe accipiatur, & vocetur Chic nova Abscissa Mq t, Applicata qm υ. Quia igi- ηtur punctum m pariter in Curva est positum , si m ρ usque ad priorem Axem in P producatur , atque Ap - ρ in t in locum ipsius x, & p m - ρ ρ v in locum ipsius y substituatur, aequatio pariter identica prodire debet. 187. Facta autem hac substitutione in aequatione inter x &y propoli ta, omnes termini, in quibus neque t nec u inest, se mutuo sponte destruent, illique teri lini, qui novas Coo dinatas i & u continent, soli supererunt. Hinc ergo ejusmodi prodibit aequatio
ubi A, B, C , D , &c. sunt quantitates constantes ex conia tantibus primae aequationis & ipsis p & q , quas nunc pro conia tantibus habemus, compositae. Ista igitur nova aequatione natura ejusdem Curvae exprimitur , verum ad Axem M q refertur , & in quo ipsum Curvae punctum M pro initio Ahiacissarum assumtur.
288. Ac primo quidem patet , si ponatur Μ q - t - o ,
tum quoque sere q m u o , quia punctum m in M incidit. Deinde , quia tantum minimam Curvae portionem ci ca M versantem indagare volumus , hoc impetrabimus, si pro t valorcs quam minimos assumamus, quo casu quoque q m - u valorem habebit mihimum ; naturam enim Arcussim quasi evanescentis tantum desideranius. Quod si vero pro i & u sumantur valores quam minimi , termini it, tu,& u u multo adhuc erunt minores , atque sequentes t ' , tu, tuu , 'u', &c., multo quoque erunt minores quam illi, & ita Porro : quam ob causam, cum termini minimi prae aliis quasi infinite majoribus omitti queant, remanebit ista aequatio G
At Bu, quae est aequatio pro Linea recta Μ μ per punc- tum M transeunte , atque indicat hanc rectam , si punctuin m ad M proaime accedat , cum Curva congruere.
164쪽
II. 289. Erit ergo haec recta Mia Tangens Curvae in loco M. ideoque hinc ad quodvis punctum Curvae M Tangen ια AIT duci potest. Si licet , cum ex aequatione Al --Bu - Ο.sit; - - οῦ, erit qμ:- MP: PT : B. Ergo , cum sit P Μαα q, fiet P T --: vocari autem haec Axis portio P T solet Sua et Asso s. Ex his ergo haec deducitur.
Pro invenienda Subtangente. In aequatione pro Curva , postquam Abscis Iae x - ρ inventa fuerit satisfacere Applicata y q, ponatur x - ρ ε ι, &y u ; eX terminis autem , qui per substitutionem oriuntur . ii tantum retineantur , in quibus t & u unicam dime sonam tenent, reliquis omnibus neglectis. Sicque ad duos tantum terminos At -i- Bu o pervenietur r unde, cognitis A
eritque qq- - 2. qu -FUM 2aρ ἡ Σat: unde, per regulam , hi tantum termini 2qu-Σat retineantur , qui dant at-qu O,' - -- - - r, erit ergo Subtangens P T- - 2 p.
165쪽
XII LSit Cuma Ellipsis Cenim A descripta, cujus aquaιio est yy - aa - xx , seu aa yy Φ bb xx aabb. Sumta ergo AP p, &, posita PM q, erit a aqq- bbp p aabb. Iam ponatur x p -- t & y - q - - u ; & ἔquoniam ii tantum termini retineri debent , in quibus e & uunicam habent dimcnsionem , reliqui statim omitti poliunt; fie que aeaaqu ε 2MPt - O , unde - - --- . Erit ergo Subtangens PT- ρ - ---2μ' T iquae expressio , cum sit regativa, indicat punctum T in partem contrariam cadere. Ceterum haec expressio egregie convenit cum determinatione Tangentium Ellipsis supra tradita Ex ΕΜ PLUM III. Sitproposita Linea tertii ordinis Speciei septimae ΠX - aXX in
etyo. Cognita ergo hoc modo Tangento Curvae, simul cognoscitur directio, quam Curva sequitur in puncto M. Linea enim Curva aptissime considerari potest tamquam via, quam describit punctum continuo Promotum cum Variata continuo Digiti rod by Corale '
166쪽
It n. II. motus d rectione. Ideoque punctum , quod Curvam M μι' motu suo describit in M promti, ebitur secundum directionem Tangentis Mμ; quam directionem si conservaret, describeret rectam Μια : a t e vestigio directionem motus inflectit, si qui aedem Lineam curvam describit : unde ad tractum Lineae curva cognoscendum in singulis punctis positionem Tangentis definire oportet , id quod facile fit methodo hic tradita, neque enim ulla ostenditur dissicultas . dummodo aequatio Pro Curva propolita fuerit rationalis atque a fractionibus libera. Ad talem autem formam aequationes omnes semper reduci possitnt. Sin autem aequatio fuerit vul irrationalis vel fractionibus implicata , neque eam ad formam rationalem & integram rediiscere vacaverit, tum eadem qui dem methodus , at cum modera tione quadam, adhiberi potest , quar ipsa moderatio Calo Iuni disserentialem produxit; quam ob rem methodum inveniendi Tangentes , si aequatio pro Curva proposita non fuerit rationalis & integra , in calculum disserentialom reservabimus. 29 I. Hinc orgo innotescit inclinatio Tangentis μιι ad
Axem AP, seu cjus parallelam M . Cum enim sit ε μ :M ' - - Α : B, si Coordinatae fuerint Orthogonales ideoque angulus Mq ita rectus , crit Tange is anguli quire;
sin autem Coordinatae fuerint ol,liquangulae tum ex angulo A ML dato & ratione laterum AIq ,q per Trigonomotriam reperietur angulus q M a. Patet autem , si in aequatione re sillante At - - Bu - o , fuerit A O , tum angulum g μμ evanescere, ideoque Tangentem μια fore Axi AP parallelam. Sin autem fuerit Γ-o; tum Tangens Μ μ Applicatis
PM erit parallela . seu ipsa Applicata P M Curvam in puncto
291. Inventa Tangente M T, si ad eam in puncto contactus M ducatur normalia Μ N, erit haec ad ipsam Curvam fmul normalis; cujus propterea positio quovis casu facile reperitur. Commodissime autem exprimitur, si Coordinatae A P & PM fuerint orthogonales, tum enim erunt triangula Mque &MPssimilia ;
167쪽
ς : PN; unde fit P N - Vocari autem haec Axis portio PN, inter Applicatam & Normalem MN intercepta, solet Sunsost ΜAUis. Haec igitur Subnormalis , si Coordinatae fuerint Orthogonales , ex inventa Subtangente P Tfacillime de Rnitur ; erit enim PT: PIs PM : PN, seu
P N --Praeterea vero, si an irius A PM fuerit remtus, erit ipsa tangens ΜΓ- v PT ' in P M' & ipsa no
2 3. Quoniam vidimus, si in aequatione A t - - B u - o , fuerit vel A -o vel B o, tum Tangentem fore vel Axi vel Λpplicatis parallelam ; superest casus, quo uterque essicietis A & B simul sit - o, considerandus. Hoc ergo cum ovenit, in aequatione supra s. 286. inventa, sequentcstermini, in quibus t & u duas obtinent dimensiones, non amplius pin his A t in B u qui ipsi evanescunt, negligi poterunt. Hanc ob rem consideranda veniet haec aequatio o
C it - - Diu --Ε tiu , neglectis sequentibus terminis; quippe qui pru his , si e & ti stituantur infinite parva , evanescunt. Ex hac igitur aequatione , uti ex generali, manifestum est, si ponatur I o, fore & u o , ideoque M esse punctum in Curva , quod quidem Hypothesi est consentaneum. Cum igitur haec aequatio o - Cit - Diu - - Eti usatum Curvae prope pune tam M declaret; manifestum est , si fuerit D D minor quam CE, tum aequationem fore imagin riam , nisi fini t & u - o. Hoc igitur casu punctum M quidem ad Curvam pertinebit , verum erit sejun mim a reliqua Curva ; eritque ideo Ovalis conjugata in punctum evanescens, cujusmodi casum in Capite praecedente notavimus. Hic igitur ne idea quidum Τangentis locum habet ; quia, si Ta Euteri Introducti in Anal. in n. Tom. II. XC A P. XIII.
168쪽
LIB. II. gens est recta duo puncta proxima cum Curva habens communia , punctum a recta tangi hoc modo non potest. Hoc itaque pacto punctum conjugatum , si quod datur in Curva quapiam , agnoscetur atque a reliquis Curvae punctis disce
T. η' 29s. Quod si autem fuerit.DD major quam CE, F, is aeqnatio o C it in D tu in E u ti resolubilis erit in duas
aequationes hujus sorrnae α. t Φ c u o , quarum utraque in Curvae naturam aeque competit. Cum igitur utraque positi
nem Tangentis seu directionem Curvae in puncto Μ exhibeat , necesse est ut duo Cumae rami se in puncto M decuta sent , ihique punctum duplex constituant. Sumta scilicet Mq t, sint ρ μ de ρ ν ambo valores ipsius ti, quos illa
aequatio praebet, atque rectae M ita & Μν erunt ambae Tai gentes Curvae in puncto M. In M ergo erit interlcctio duo rum Curvae ramorum, quorum alter secundum M ita , de alter secundum M, dirigitur. Cum igitur punctum conjugatum pariter pro puncto duplici sit habendum , haec aequatio Ctt --Dt υ - - E u u- o , semper punctum duplex indicabit , quemadmodum aequatio At - - Ηώ - o, quotieS locum habet, punctum Curvae tantum simplex declarat. 296. Sin autem suerit DD C E , tum ambae istae Tangentes M sa dc Mν coincident, & angulus M Mν evanescet; ex quo intelligitur duos Curvae ramos in s non 1 Iuni concurrere , sed etiam eandem directionem habere, ideoque se invicem tangere; quo casu punctum M nihilominus erit duplex , quia recta per hoc punctum ducta Curvam hoc loco in duobus punctis secare est censenda. Quando ergo in aequa. tione , quam 3 286. obtinuimus, ambo coefficientes primi A de B evanescunt, tum concludenda est Curva in M pun tum duplex habere, cujus tres dantur Species diversis ; vel Ovalis in punctum evanescens seu punctum conjugatum , Vel duorum Curvae ramorum intersectio mutua seu nodus, vel duorum Curvae ramorum contactus , quas diversas puncti duplicis
169쪽
297. Si praeter coessicientes A &B , etiam hi tres C, D,
S E omnes evanescant, tum sequentes sumi debebunt termini , in quibus t & u tres obtinent dimensiones , eritque Fi' ΦGrtu - - H tuu - - Iu' - o. Quae aequatio si unicum habeat Factorem simplicem realem , hic Ostendet unum Curvae ramum
per punctum JI transeuntem ejusque simul directionem seu Tangentem ; bini vero reliqui Factores imaginarii in ipso pun
to M Ovalem evanescentem , arguent. Sin autem Omnes
radices illius aequationis fuerint reales, hinc cognoscetur tres Curvae ramos se in eodem pia iacto M vel decussare vel tui gere , prout illae radices fuerint vel inaequales vel aequales. Quicquid horum evenerit, Curva in s semper habebit punctum triplex , atque recta per u ducta Curvam simul in triatius punctis secare putanda est.293. Quod si praeter omnes cocilicientes praecedentes etiam hi quatuor F, G , H, & Ievanescant; tum ad naturam puncti Curvae M cognoscendam , contemplari oportebit terminos aequationis sequentes, in quibus t dc u quatuor habeant diamensiones : unde punctum M quadruplex erit judicandum.
In eo enim vel duae ovales conjugatae coalescunt ; quod ev nit si aequationis quarti gradus Oinnes radices fuerint imaginariae. Uel in M intersectio seu contactus duorum Cum vae ramorum cum puncto conjugato ; quod evenit si duae radices fuerint reales, duae reliquae vero imaginariae. At in I 1 denique erit intersectio quatuor Curvae ramorum, si Cmnes radices aequationis suerint reales ; intersectio autem vel dum rum vel trium vel omnium quatuor abibit in contactum , si duae tres vel omnes quatuor radices fiant aequales. Simili autem modo in judicio crit progrediendum , si etiam his terminis , ubi e & u quatuor obtinent dimensiones , evanescentibus, procedendum erit ad terminos quinque ulteriorumve
299. His perpensis, facile erit aequationem generalem pro omnibus Curvis invenire , quae non solum per punctum M transeant, sed etiam in M habeant punctum vel simplex vcl
170쪽
L1B. II. duplex , vel triplex vel totuplex , prout quis voluerit. Post 'tis enim A P - p , P M- ρ , ac denotantibus P, Q, RS , &c. Functiones quascunque Coordinatarum x &y , manifestum est hanc aequationem P x - pὶ Φψ y - q o, exprimere Curvam per punctum M transeuntem ; si cnim ponatur x A P - ρ , fiet y P M - q ; dummodo neque P per γ - q, nec Q per x - p fuerit divisibile , vel dummodo ni Factores x-ρ &y- q, a quibus transitus Curvae per punctum M pendet , ex aequatione per divisionem non eliminentur. Perspicuum autem est Omnes Cumas, quae qui
dem per punctum M transeant, in ista aequatione P x-ρ - Q γ-q o , contineri ; erit vero M punctum simplex , si haec aequatio non suc it ejus formae , qualcm pro punctis multiplicibus mox exhibebimus. 3oo. Si vi debeat esse punctum duplex , aequatio pro Curvae in hac forma generali continebitur P x - p ' - - x-p I-q - - o, dummodo haec forma per divisionem non pereat. perspicitur hinc in Lineas secundi omdiuis punctum duplex cadere non posse, quo enim illa aequatio secundi tantum sit , necesse est ut P, 0, & R sint quantitates constantes ; tum autem aequatio non erit pro Linea
curva, sed pro duabus rectis. Sin autem P, Q, R sint Functionea primi ordinis , ut ec x H- cy Φ γ , tum Lineae habebuntur tertii ordinis in As punctum duplex habentes. At vero Linea tertii ordinis , nisi ex tribus rectis constet, plus uno puncto duplici habere nequit. Ponamus enim dari duo puncta duplicia, atque per ea Lineam rectam duci; haec Linea recta Curvam in quatuor punctis secarer, quod naturae Linearum tertii ordinis adversatur. Linea quarti ordinis duo tantum habebit puncta duplicia ; Linea quinti ordinis plura tribus habere non poterit, & ita porro. so1. Sit si punctum Curvae triplex , atque natura Lineae curvae hac CXprimetur aequatione P x-p ' Φ Q x - p '
aequatio igitur si Lineam curvam desiniat, tertium ordinem Disit iroo by GOrale