장음표시 사용
171쪽
LINEARUM CURVARUM. isssuperabit ; namquc si P, Q , R , dc S csscnt constantes, quod
Linearum tertii ordinis natura exigit , tum aequatio tres haberet Factores formae οι x- si Φc sy- q), ideoque s rCt pro tribus rectis. In Cumas ergo quarto ordine simpliciores punctum triplex non cadit; ne que Lineae quinti ordinis plus uno puncto triplici habere possimi, alioquin enim daretur recta Lineam quinti ordinis in sex punctis secans. Nihil autem impedit quo minus Linea sexti ordinis duo habeat puncta triplicia. 3ΟΣ. Si aequatio in hac forma contineatur: P κ-p ' ε
punctum quadruplex. Linea ergo curva simplicissima , quarpuncto quadruplici gaudeat, ad Linearum ordinem quintum Pertinebit. Duo vero puncta quadruplicia non cadunt nisi in Lineas aut octavi aut altioris gradus. Simili modo aequationes generales exhiberi possimi pro Lineis , quae in II habeant punctum quintuplex, vel pro lubitu multiplex. 3o3. Quod , si autem M suerit vel punctum duplex vel triplex vel utcunque multiplex , tum vel totidem Curvae rami se mutuo in puncto M secabunt sive tangent ἔ vel, si numerus ramorum se intersecantium sit minor, tum unum plurave puncta conjugata in eodem puncto M concrescent: qui Curvae status cognoscetur ex iis, quae ante sunt tradita. Scilicet , in
tum enim prodibunt ejusmodi aequationes, ex quibus constia tutio Curvae & ramorum se in A1 intersecantium Tangentes definiri poterunt.
172쪽
De curvatura tinearum curvarum.
3o ψ. Ou E M A n M o D u Μ in superiori Capite lineas rectas
indagaVimus, quae in quovis puncto Lineae curvae ipsius directionem indicabant , ita hic Lineas curvas simpliciores investigabimus , quae in quovis loco cum Curva propositatam exacte congruant, ut saltem per minimum spatium quasi confundantur. Sic enim cognita indole Curvae simplicioris , smul Curvae propositae natura inde colligetur. Simili methodo scilicet hic utemur, qua supra ad naturam ramorum in infinitum extensorum scrutandam sumus usi ; primo videlicet inve rigando Lineam rectam , quae Curi am tangat, deinde vero Lineam curiam simpliciorem, qυae cum Curva proposita multo magis conveniat, eamque non solum tangat, sed quasi osculetur. Vocari autem cjusmodi Linearum curvarum arct mmupcomactus solet OsCULATIO.3os. Sit igitur proposita aequatio quaecunque inter Coordinatas orthogonales x & y , atque ad naturam minimae Curvae portionis II m circa punctum As versantis indagandam , cum
g m - Π ἔ eritque x - ρ -- t, & y-q Φ u; quibus valoribus in aequatione substitutis , perveniatur ad hanc aequationemo ine A t - - B u - - Ct - - Di u H- E ti H- Ft' - - G t u &c. , quae exprimet naturam Curvae ejusdem ad Axem MR relatae. Quoniam autem has novas Coordinatas i dc u minimas statuimus, se silentes icrmini quasi infinities erunt minores quam antecedentes; ideoque prae his sine errore rejici poterunt.
173쪽
rejectis sequentibus terminis omnibus, aequatio o At in Buostendet Lineam rectam Μια quae Curvam in puncto M tanget , hocque loco cum Curva communem habet directionem. Erit ergo AIq : ρα B : - A . unde , ob cognitas quantitates A de B , positio Tangentis Mia innotescit , quae cum Curvam in puncto tantum M contingat , videamus quantum Curva Μm porro a recta Mιι saltem per minimum spatium aberret. In hunc finem assumamus normalem MN pro Axe , in quem ex ni Applicata orthogonalis mr ducatur, ac vocetur
erit r quantitas infinities minor , quam e & u , ac Propterea erit quoque r quantitas infinities minor quam s ; nam s per t& u , at r per ipsarum e dc u quadrata vel potestates superiores determinatur.3o7. Naturam ergo Curvae Mm multo propius cognoscemus , si terminos quoque Ct' - - Diu ε Eu in computuni ducamus , atque sequentes tantum negligamus ; sicque habe himus inter i dc u sanc aequationem --At - Bia' CrDtu H- Eu' , in qua si loco i dc u valores superiores substi
174쪽
seu Paramcter est: --: unde qualis est curvatura hujus Parabolae in vertice talis erit Curvae propositae curvatura in puncto M. Cum autem nullius Cumae curvatura distinctius cognoscatur quam Circuli, quoniam ipsius curvatura ubique est eadem , eoque major existit , quo minor fuerit radius ; commodius erit curvaturam Curvarum definire per Circulum aequalis curvatum , qui Circulus osculator vocari solet. Hanc ob rem oportebit Circulum definire cujus curvatura conveniat cum curvatura propositae Paraholae in ipsius
Vertice , quo tum Circulum istum in locum Parabolae osculantis substituere liceat. 3o9. Ad hoc essiciendum , contemplemur curvaturam Ct culi tanquam incognitam , eamque modo eXposito Per cur Mturam Parabolae exprimamus, sic enim vicissim pro Parabola Osculante Circulus osculator substitui poterit. Sit igitur Curva Mm proposita Circulus radio a descriptus, cujus natura exprimetur aequatione re zax-xx. Sumta ergo AP - ,& PM q erit, qq 2π- p. Iam ponatur x p - t& y q --u, atque orietur haec aequatio ςq Η- Σῆα - - uu - 2υ - - Σat - π - Vt - ti, quta , Db qq - 2GP FP, r
BBC -- AA-B B - - ψaa. Unde Circulum , cujus radius a , in quovis puncto osculatur Parabolae vertex , cujus natura exprimitur aequatione s s Σar ; ideoque vicissim quam Curvam Osculatur Vertex Parabolae s s - br, eandem
osculabitur Circulus, cuius radius est b. 3Io. Cum igitur supra invenerimus Curvam Mm osculari Parabolam cujus aequatio sit ss- ' r ,
175쪽
manifestuiri est ejusdem Curvae curvaturam in s convenire cum curvatura Circuli, cujus radius sit i SD Haec ergo expressio dat radium Circuli osculatoris, atque iste radius quoque vocari solet Raditis Uetili; saepe etiam radius curvedinis seu cum tura appellatur. Ex aequatione ergo intere & u , quam ex aequatione inter x & y proposita elicuimus, statim definiri potest radius osculi Curvae in puncto M, seu radius Circuli osculantis Curvam in M. In aequatione enim inter i & v rejiciantur termini . in quibus t Sc u plures dua-hus dimentiones obtinent , atque ex aequatione , quae erit hu
1nvenietur radius Osculi - TIUS ABDFII Cy3II. Quoniam vero signum radicate V A' - Β' ambiuguitatem tigni involvit , incertum cst utrum ista expressio sit
assirmativa an negativa, scilicet utrum coacavitas Curvae punctum N respiciat, an convexitas. 'Ad hoc dubium tollendum quaeri debet utrum Curvae punctum m intra Tangentem M versus Axem A N sit positum, an vero extra Tangentem cadat. Priori casu Curva versus N erit conca a , atque Centrum Circuli osculantis in recte M N portionem versus Axem protensam incidet; posteriori casu ero in portionem recta NM ultra II productam. Omnis ergo dubitatio evanescet si inquiratur, utrum ρ m sit minor quam q ια , an major; priori enim casu Curva versus N erit concava , polleriori vero
3i2. Est vero ρ ια - - , & q m u , quare viden dum est utrum sit Ἀ- , major rninorve quam M. Quia igitur in sin est Lineola quam minima , Ponatur , mμ erit-
176쪽
que u --; unde , iacta substitutione , fit o
ubi, ob in prae t minimum , termini t w & w' evanescunt.
fuerit quantitas assrmativa , quod evenit si L , seu fuerit quantitas affirmativa, tum Curva erit concava versus N; sin autem, β ' C fiterii quantitas negativa, Curvae convexitas punctum N respiciet. 313. Quo haec clariora reddantur, diversi casus qui occumrere polIunt, seorsim sunt evolvendi. Sit igitur primum Mino , quo casu ipsa Applicata PM erit Tangens Curvae Mm, &radius osculi erit - - Utrum autem Curva sit concava
versus R, uti Figura praesentat, an conVexa , ex aequationeo - A t 4- Cit - - Diu - - Euia intelligitur. Cum enim sitI1q t Sc qin υ, ob t ins nities minus quam v, terminire dc t u prae M u evmulcent, eritque A t Ev v o ; ex qua aequatione intelligitur, si coefficientes A dc E habeant contraria signa , seu si π- Rurit quantitas negativa , tum Curiam fore concavam versus R. At, si cociscientes A &E habeant paria signa , & fuerit quantitas assirmativa , tum Curva ad alteram Tangentis partem erit sta ; Ahscissa enim AIq statui debet negativa quo Applicata qui respondini realis. 3r . Sit nunc Tangens Afμ inclinata ad Avem A P seu ipsi parallelam , ita ut angulus R M μ sit acutus , & normalis MN Axem in N ultra P secet: quo casu Abscissis e respondebria Applicatae v assirmativae iunde cocciciuntes A &I
177쪽
signa habebunt disparia, & fractio erit negativa. De hoc casu jam ante vidimus Curvam fore concavam versus N, si fuerit GLβ quantitas affirmativa ; Vel, cum --
sit quantitas negativa . u fuerit -- quantitas negativa. Sin autem fuCrit ---i-- quantitas negat Va , leu--- - quantitas assirmativa , tum
3I3. Sit nunc A o, quo casu recta MR Axi parallela simul erit Curvae Tangens , & ti infinities minor quam e punde erit o - Bu ε Cit. Quare , si B & C habeant aequalia signa , seu si BC fuerit quantitas affirmativa, tum ti habere debet valorem negativum ; ideoque Curva erit concava versus punctum P , in quod N incidit , quod ipsunt regula superior,
facto A o, Ostendit; radius osculi vero erit - Haec autem eadem regula , quae supra est data, valet, si Tangens MT ultra P cum Axe concurrat; tum enim pariter Curva versus N erit vel concava vel convexa, prout haec expressio. , suerit vel assrmativa vel negativa , eri que radius osculi ut ante A -αβ' V A' ε Λ Σ 'E ABD B:C'
178쪽
iduoque quantitas assirmativa , qua indicatur Curvam, tiricis N esse. conca am.
radius osculi - - Si in normalem MN productam ex Centro A ducatur perpendiculum AO, erit, ob AN triangula MNP & PINO similia , AIO -
undo III - , hincque radius osculi 'in; - , quae expressio ad utrumque Axem A D dc A C aeque est
318.4 Invento autem pro quoVis Curvae Ioco radio osculi , natura Curvae satis clare perspicitur. Si enim portio Curva in partes plurimas quam minimas di Vidatur, unaquaeque particula haberi potest pro Arculo Circuli, cujus radius erit ipso radius osculi in eo loco. Hinc vero etiam descriptio Curva per plurima puncta multo accurazius absolvetur. Postquam Dissiuaso by GOoste
179쪽
enim plura notata fuerint puncta , per quae Curva transeat, si pro his singulis punctis primo quaerantur Tangentes, binoque porro normales , atque tum radii Osculi , portiunculis Curvae intra puncta inventa fitae ope circini poterunt describi. Hocque modo eo accuratius vera Curvae figura exprim tur , quo propiora fuerint puncta primum notata. 3Iy. Quoniam igitur portiuncula Curvae ad II cum A culo Circuli radio osculi descripti congruit, non solum elemcutum ΛΙ m, sed etiam praecedens Mn eadem curvatura erit praeditum. Cum enim natura minimae Curvae portionis II in exprimatur hujusmodi aequatione , s s - α r inter COO dinatas A1r r&rm s, unicuique Abscisis minimae Μr r, ex aequatione duplex respondebit Applicata s altera aIfirmativa , altera negativa : ideoque Curia versus naeque ac versus m continuabitur. Ubicunque ergo radius osculi,
qui est , finitam habet magnitudinem, ibi curvatura utrinque saltem per minimum spatiolum erit uniformis. Neque ergo liis casibus Curva ex M subito, formata Cuspide ,
festum Est , si fuerit A'E- A B D in B C o , tum radium osculi fieri infinite magnum , ideoque Circulum osculantem in Liacam rectam abire. Ubi ergo hoc evenit, ilii Linea curva cur atura destituitur, atque duo Curvae clementa quasi ia
180쪽
LIB. II. direct m erunt sta. Quo igitur his casibus natura Curvae penitius perspiciatur , substitutio t --& u
est instituenda. Cum autem prae termino primo rv A'ΦB' omnes termini sequentes , qui r coutinent, evanescant, his terminis rojectis , atque substitutione per totam aequationem Dicta , obtinebitur ejusmodi aequatio
32 I. Ex hac aequatione jam statim colligitur, ut supra , radius Oseuli - Y ; sin autem sit α o , quo casu radius osculi fit infinitus , ad Curvae naturam exactius cognoscendam , sumi debet terminus sequens cs', ita ut sit ru A' - . LV - c s' nisi enim sit c o , termini sequentes γ s ,δ s' dic. , omnes prae hoc evanescunt. Curvam ergo hoc casu in II osculabitur Curva hac aequatione r- Α' Β' - c s' expressa , ex qua simul figura Cum ae circa punctumr i ii. Ire cognoscetur. Cum igitur Abscissae r negative sumtae D XVI. gativus valor Applicatae s respondeat , Curva circa M sig Fig. 61. ram habehit anguineam m M μ, ideoque in m habebit punimi in flexus contrarii. 322. Quod, si praeter α. etiam fiat c o, tum natura Curvae circa Al cxprimetur hac aequatione r A' Η- Β' T 1 8. γS' , CX qua cuzi Unicuique Abscissae r duplex Applicata s VI. respondeat, altura assirmativa , altera negativa , neque Abscissa Fig. 6λ. r utrinque sumi queat, utraque Curvae portio M m dc M i ad eandem Tangentis partem erit posita. At si , oh , c,& γ evanescentes . natura Curvae circa A I cxprimatur aequa