장음표시 사용
181쪽
iterum puncto flexus contrarii destituetur, uti Figura 62. At que generaliter, si exponens ipsius s fuerit numerus impar , Curva in m habebit punctum flexus contrarii; sin autem eX- ponens ipsius s fuerit numerus par, Curva carebit puncto sexus contrarii, uti Figura 62.323. Raec igitur sunt Cumarum phaenomena , si punctum M fuerit simplex, seu si in aequatione
non uterque coe ciens A & B simul evanescat. Quod si autem fuerit & A - o , & B o, Curvaque habuerit duos pluresve ramos se in punisto M intersecantes , uniuscujusque rami curvatura & indoles in D investigabitur seorsim , ut ante. Sit enim pro Tangente cujusvis rami in t in n v o, & quaeratur aequatio pro hoc ramo inter Coordinatas r & s, quarum illa r in normali MN capiatur, ut sit r infinities minor quam s. Poni ergo debebit i - & u --rra o V m εο ὶ V m in )que facto & neglectis terminis ob infinitam parvitatem prae reliquis evanescentibus , prodibit , si Μ fuerit punctum duplex , hujusmodi aequatio r s -ecs' Φ cs' in γ s' - - δ s' Φώ&c. : sin autem es fuerit punctum triplex , talis r ss - α s' - - cs'ΦγH in &c., & ita porro : quae aequationes omnes reducuntur ad hanc formamr-αs s Φ Φ γs' - δ s' -- &e. 31 . Ex hac aequatione intelligitur istius Curvae rami, quem eonsideramus , in Μ esse radium osculi - - , qui, si ρε-o, fiet - . Hoc ergo casu natura Cumae exprimetur vel hac aequatione r c s', vel r - γ s' Vel r --, &c.; ex quihus , ut ante, colligetur Curvae ramum in M vel punctum flexus contrarii habere , vel tali carere. Prius scilicet evenit, si Exponens ipsius f suerit numerus impar, posterius si sit numerus
182쪽
par. Hoc ergo modo judicandum erit de quovis ramo per punctum M transeunte seorsim , cum reperta fuerit ejus Tangens , ejusque Tengens discrepet a Tangentibus reliquorum ramorum sese in eodem puncto M intersecantium. 31s. Aliud autem judicium erit serendum, si duorum pluriumve ramorum Tangentes in puncto M coincidant. Sint enim , evanescentibus A & B in aequatione o Cit -- DG Η-Euu Φ R' in Gi'ti ε &c., primi membri Ctt ε Diu ε Euti, umbo Factorcs simplices aequales, seu ambo rami se in punctos decussantes communem habeant TaMentem. Sit ergo Cit - - Diti Φ- Eut mi ε nu ' , atque aequatione ad Coo dinatas I Ir - r, & r m s translata , Ponendo i
-- π α-- hujusmodi prodibit inquatio
316. Hic primum spectandus est terminus cs' , qui si adsuerit , prae eo reliqui omnes evanescunt , propterea quod ritisinities minus est quam s. Ni si ergo fuerit c o, natura Curvae circa M exprimetur hac aequatione r r - cs'; EX qua , cum sit r s vcs - s s V - , intelligitur radium osculi in ZI else - - - ς - ; seu , ob s evanescens in M, radium osculi quoque fieri - o. Erit ergo curvatura in M infinite magna seu Elementum Curvae in s erit portio Circuli insinite parvi. Quoniam porro Applicata s eundem obtinet valorem , sive Abscissa r sumatur assirmativa sive negativa , patet Curvam in M habere Cuspidem, atque in duos ramos M m . M ia divaricari se mutuo in Μ contingentes atque Tangenti
M t convexitatem Obvertentes. 317. Sit c - o; adsit autem terminus δ s', prae quo γrs exuuiescit, atque natura Curvae circa M exprimetur aequationera αrss Ἀ- δ s'; quae, si fuerit αα minor quam-qδ, oh Factores
183쪽
tores imaginarios , punctum conjugatum in M indicat; sin au- CAP. tem αα major quam --δ , tum in duas aequationes hujusmodi Z i V r ffs & r gss dijpescitur. Quare in Al duo Curva rami se mutuo contingent, quorum alterius in M radius osculi est - , alterius - -. Si ergo hi duo rami concaVir T s.
tem in eandem plagam vertant, figura erit duoriam Arcuum jcircularium se intus Tangentium; tin aulcm concavitates in Fie. 6 plagas oppositas dirigantur, figura erit duoruni Arcuum circularium se extus Tangentium.. 328. Sin etiam δ evanescat, tum aequatio Vel in duas aequationes erit resolubilis , vel secus , priori casu duo oriuntur rami se in puncto M tangentes , quorum utriusque natura eXPrimetur hujusmodi aequatione r αs ς prodibunt ergo tot diversae figurae , quot dantur combinationes binorum ramorum , qui in M punctum simplex constituunt, quos Vocemus ramos primi ordinis , qui omnes in aequatione r αρο , Contine tur. Posteriori autem casu quo aequatio in duas alias se resolvi
eo, quem supra invenimus tr - αs' , ramos secundi ordinis Tha. appellabimus , quia vicem tenent duorum ramorum primi ordinis XV l. se in M tangentium. Hi autem rami secundi ordinis omnes HO si in M habebunt Cuspidem , uti praebuit aequatio ri - α s' . hoc tamen discrimine , quod , cum radius osculi in M pro aequatione rr-αs' esset infinite parvus, idem pro reliquis aequationibus prodeat infinite magnus. Cum enim ex aequatione rr αs' sit r - ss v ecs . erit radius osculi in M- - - , hoc est, ob s - o , infinitus.
329. Si tres Tangentes ramorum se in M decussantium in se invicem incidant ; tum vel tres rami primi ordinis se in eodem puncto M contingent, vel in M urit contactus unius Euteri Introduci. in Anal. in . Tom. II. Z
184쪽
LIB. II. rami secundi ordinis cum uno ramo primi ordinis, vel unicus per Μ transibit ramus tertii ordinis. Bamorum autem tertii ordinis natura exprimetur hujusmodi aequationibus r' -ecs';r' αs'; r' - αs'; r' αs' i &c. , seu hac generali r' - α P, existente n numero quocunque integro ternario majore neque per ternarium divisibili. Horum ramorum autem figura. ita erit comparata , ut in M sit planetiam sexus contrarii si n fuerit numerus impar ; flexus vero non contrarius seu
TAB. continuus ut in Figura 62. adsit , si n fuerit numerus par. X V s. Ceterum in his Curvis radius osculi in M erit infinite parvus si n minor quam 6 , at in ite magnus sit n major quam 6. 33o. Simili modo si quatuor Tangentes ramorum se in Mdecussantium congruant , tum vel quatuor rami primi ordinis , vel duo primi & unus secundi , vel duo rami secundi ordinis , vel unus primi & unus tertii ordinis se in eodem puncto δεῖ contingent , vel denique unicus ramus quarti ordinis per utransibit. Bamorum autem quarti ordinis natura continetur hac aequatione generali r' αs' existente n numero integro ΤΑ Η. impari majore quam q. Hae autem aequationes OmneS prae-XV I. hent Cuspidem , uti rami secundi ordinis. At in M erit ra- H- 43 osculi infinite parvus si n minor quam 8 , insinite magnus autem si ii major quam 3. 33 I. Eodem modo ramorum quinti superiorumve ordinum natura evolvetur ; ratione figurae autem rami quinti, septimi, noni , Omniumque imparium ordinum conveniunt cum ramis primi ordinis , quorum duplex est figura , vel cum puncto flexus contrarii , vel sine eo. Bami autem sexti , octavi , &omnium parium ordinum conveniunt ratione figurae cum ramis
secundi & quarti ordinis , omnes scilicet habebunt Cuspidem in Μ uti Figura 63. exhibet. Quod autem ad radium osculi
attinet, quoniam horum Arcuum natura exprimitur hac aequatione μ' - αs', existente n numero majore qUam m PC
185쪽
spicuum est, si fuerit n minor quam 1 m , radium osculi sore in- c A P. finite Parvum ἔ contra vero, 1i n major quam 1m, infinite X , V
332. Phaenomena ergo, quae in omni Curva conspectui se merunt, ad tria genera reducuntur. Primo scilicet Curva continua curvatura progreditur , neque usquam punctum flexus contrarii habet , neque Cuspidem seu punctum reflexionis. Evenit hoc primum si radius osculi ubique fuerit finitae magnitudinis , tuis vero etiam dantur casus quibus radii osculi ma Ditudo sive infinite magna sive infinite parva continuum tracrum non perturbat, quod usu venit si natura Curvae circa punctum M exprimitur aequatione α s' , existente mnumero impari, at n numero pari majori quam m. Secundum Phaenomenon est punctum Flexus contrarii, quod locum habere nequit nisi radius osculi fuerit vel infinite magnus vel infinite parvus; indicatur autem aequatione α. s', si uterque e ponens m dc n fuerit numerus impar, existente semper n majore quam m. Erit enim radius osculi infinite magnus si n major cylam 2m , at infinite pari us si n minor quam 2 n. Tertiumphaenomenon est punctum Resexionis seu Cuspis , ubi duo quasi
rami versus se invicem convexi in puncto coeuntes se tangunt atque terminantur; tale pinuctum monstrat aequatio α. s',
si ni fuerit nnmerus par & n impar. In Cuspide ergo radius osculi semper est vel infinite parvus vel infinite magnus. 333. Quoniam igitur in his tribus generibus omnes Cusuarum, ratione tractus continui, varietates continentur , primum
intelligitur Curvae continuae ramum nunquam ita inflexum dari, ut in C angulum finitum A C B constituat. Deinde , cum in puncto reflexion ambo rami sibi convexitatem obvertant, ejusmodi punctum reflexionis A C B m C non datur , ubi rami AC dc B C in C quidem communem Tangentem habeant, at alterius concavitas alterius convexitatem respiciat; & quoties
186쪽
hujusmodi reflexio adesse videatur , toties Curva non est completa ; &, si Curva ad normam aequationis compleatur ac secundum Omnes partes exprimatur , orietur figura , qualis in Figura 6 exhibetur. Dantur quidem Curvarum describe darum modi, quibus ejusmodi Cuspis A C B orietur , quae prointerea ab HOSPITALIO Cuspis fecundae speciei vocatur. Verum notandum est descriptiones mechanicas non semper totam Curvam, quae quidem aequatione contineatur , producere . sed saepenumero certam tantum partem exhibere, qua sola notatione lis , quae circa hanc Cuspidem secundae speciei est mota , dirimitur. Non obstantibus his argumentis, quibus existentia hujusmodi Cuspidis secundae speciei everti videtur, innumerabiles dantur Curvae algebricae tali Cuspide praeditae. Inter quas
adeo una ex Ordine Linearum quarto, hac aequatione contenta Y - 2. y'x - ψy x x - x' - o , quae ex ista sormula y
v ae Φ v x' resultat. Quanciuam enim hic primum occurrit terminus V x , tamen ejus signum non est ambiguum , sed necessario debet esse Φ. Nam , si ipsi tribueretur signum negationis , alter terminus v x' - v x έ x evaderet imagisnrius.
Ex quo exemplo quemadmosum exempla supra allata restringi oporteat luculenter perspicitur. 33 . Si duo rami, qui in Μ communem habent Tangentem , ideoque quatuor Arcus eX Μ eXeuntes repraesentant nempe Min , AI iae , Mn, Mν , diversis aequationibus Exprimantur, dubium est nullum , quinam horum Arcuum sint continui; ii scilicet, qui sub eadem aequatione continentur; eri que Arcus Mm continuatio Arcus M n, & M a, continu tio Arcus ν Μ. Quod si vero ambo rami illi eadem aequatione exprimantur, tum ob cessantem rationem priorem , A cus Min aeque haberi potest pro conti atione Arcus ν Μ, atque Arcus nM. Cum autem uterque Arcus Mn & AI, aeque haberi pol sit pro continuatione Arcus A1 m, etiam alter
pro alterius continuatione haberi Poterit. I inc Arcus mM, Dissi tiros by Gorale
187쪽
& M ut Curvam continuam consti tuere censendi sunt, aeque ac bini Arcus quicunque alii, sicque hoc casu in Al se respicient duae Cuspides secundae speciei, m μμ & nNν. 333. Neque vero solum valet de duobus ramis qui sine
Flexu contrario ac sine Cuspide se mutuo in II tangunt atque eadem aequatione exprimuntur , sed etiam eadem Erit continuitatis ratio, cujuscunque generis fuerint ambo illi rami se mutuo in D tangentes, dummodo communi aequatione eX- primantur. Evenit hoc quoties inter r & s ad hujusmodi pe venitur aequationem α' H - χ αc s' Η-ccsφ'-o; tum enim
uterque ramus eadem aequatione α. - cs' exprimetur.
Hoc igitur casu quatuor Arcuum ex puncto Μ exeuntium du quicunque pro una Linea continua haberi possimi, hincque nascentur innumerabiles Cuspides secundae speciei. Haec autem ipsa continuitatis ratio in causa est, quod quaedam descriptiones ac construetiones mechanicae nonnunquam Cuspidos secundae speciei producant; hoc tamen evenire non potest , nisi quando descriptio non totam Curiam in aequatione Contentam , sed ejus tantum ramum unum vel aliquot exhibet.
De Curvis una pluribusue Diametris praeditis. 336. De Lineis secundi ordinis supra vidimus, eas omnes unam ad minimum habere Diametrum orthogonalem, quae totam Curvam in duas partes similes & aequales secer. Parabola scilicet ejusmodi unam habet Diametrum ; ac prop-tcrea duabus conflat partibus aequalibus & simillhus. Ellipsis autem atque Hyperbo' a duas ejusmodi habent Diana tro se mutuo in Centro normaliter decussantes; ideoque in iis qua- . tuor dantur Arcus seu rami inter se aequales & similes. Diqitigod by Corale
188쪽
LIB. II. Circulus vero, quia ab omni recta per Centrum ducta in duas partes similes & aequales dividitur, innumeras habebit Partes aequales, omnes scilicet Arcus, qui aequalibus chordis subtenduntur, simul inter se sunt aequales & similes. 337. Hanc igitur duarum pluriumve partium ejusdem Curvae similitudinem hic data opera perpendemus ; easque Cum Vas , quarum duae pluresve partes inter se sunt similes , ad T s. aequationes generales revocabimus. Ac primo quidem , si VII. consideremus aequationem inter Coordinatas orthogonales x g & v , diviso universo spatio in quatuor regiones litteris Q, R , S, T indicatas per rectas AB, E F, se mutuo in C no maliter secantes , sumtis x & y assirmativis , portio Curvae in regione Q sita oritur; sumta autem Abscissa x amrmativa, at Applicata γ negativa, portio Curvae in regione R sita oritur: sn autem x negativa ponatur , manente y affrmativa, portio Curvae in regione S sta prodibit; portio denique in regione T sta evenitur, posita utraque Coordinata y & x negativa. 338. Portiones ergo in regionibus Q & R sitae inter se erunt aequales & similes , si aequatio ita fuerit comparata, ut non mutetur etiamsi-y loco y scribatur. Cum igitur omnis potestas parium exponentium ipsius y hac gaudeat pr Prietate ; patet , si in aequatione Pro Curva nullae potestates impares ipsius y occurrant , Curvae portiones in regionibus Q & R sitas inter se fore aequales & smiles ; ideoque rectam AB in qua Abscissae C P x capiuntur, fore Curvae Di metrum. Hujusmodi ergo Curvae , si quidem fuerint algebraicae , omnes in hac aequatione generali continehuntur
quae expressio ita describi potest ut sit Functio rationalis ipsarum x & Π. Quod si ergo Z fuerit Functio quaecunque . rationalis ipsarum x & Π, tum aequatio Z o , exprimet Lineam curvam, quae a recta A B in duas partes similes &Disitigod by Gorale
189쪽
aequales bisecabitur ; erunt ergo quoque portiones in regioni hus S & Τ litae inter se aequales & similes. 3 39. Portiones vero in regionibus Q &S erunt aequales &s miles, si aequatio ita fuerit comparata , ut posito -x locox non immutetur : quare , si Z fuerit Functio quaecunque rationalis ipsarum x x & γ , tum aequatio Z o , exprimet Curvam , quae per rectam E F in duas partes similes & aequa les bisecabitur. 2Equatio ergo pro his Curvis erit hujusmodi
Per hanc ergo aequationem portio Curvae in S sita similis &aequalis erit portioni in Q , similique modo portio in T po tioni in R. 34o. Portiones autem in regionibus oppositis Q & T , seu B & S erunt similes & aequales, si aequatio inter Coordinatas x&y ita fuerit comparata, ut, posita utraque x &y negativa , nullam mutationem subeat. Sit Z o aequatio pro his Curvis, ac primo pater, si Z fuerit Functio ipsarum x &y, parium dimensionum , seu , si fuerit aggregatum ex quotcunque Functionibus homogeneis parium dimensionum, mm aequationem Z o praescripta gaudere proprietate. Tum Veros Z fuerit aggregatum quotcunque Functionum homogenearum imparium dimensionum , sumtis x & y negativis , Z abibit in - Z ; ideoque , cum esset Z- o , erit quoque - Z - Ο.Hinc ergo duplex nascitur aequatio generalis pro Curvis, quae in regionibus oppositis Q & T itemque in R & S portiones habent aequales & similes, altera scilicet crit
3 I. Curvae ergo, quae duas habent partes similes & aequales , duplicis sunt generis : vel enim hae duae partes utrinque circa Lineam rectam ita sunt dispostae , ut onules Ordinatae
190쪽
. II. orthogonales ad illam rectam simul hi fariam secentur , quo casu illa recta Diameter Curvae omVonatu appellatur, quorsum
pertinent aequationes s. g. & 337. & 338. traditae. Vel hinae illa partes similes & aequales in regiones oppositas Q & B seu T& S cadunt, ita ut omnis recta per punctum C ducta Curvam dividat in duas partes alternatim aequales, cujusmodi Curvae continentur in aequationibus in paragrapho praecedente exhibitis. Hanc igitur partium aequalium diversam positionem ita descriabemus , ut eas , quae ad priorem speciem pertinent, diametraliter aquales ; quae vero ad posteriorem , alternatim Suries appellemus. Quia vero in polleriore specie datur punctum C ,
per quod omnis recta utrinque ad Curvam producta simul hi secatur , hoc punctum Centri nomine appellari convenit, ita ut Cur vae hinas partes alternatim aequales habentes Centro praeditae dicantur; illae vero Curvae, quae duas partes diametraliter aequales habent, Dimetro praeditae vocentur.3 2. Cum aequatio Z o, praebeat Curvas quarum Diameter est recta AB, si Coordinata y pares tantum obtineat dimensiones in Functiones Z , atque eadem aequatio Z - χrcetam EF Curvae diametrum indicet, si altera Coordinata xiihique pares habeat exponentes , sequitur , si Z ejusmodi suerit Funetio ipsarum x &y ut omnes exponentes tam ipsius xquam ipsius y sint numeri pares , tum utramque rectam A B &Ε F fore Curvae Diametrum orthogonalem ; ideoque quatuor partes in regionibus Q, R, S & 1 sitas inter se fore aequales& similes. Hujusmodi ergo Curvae omnes in hac generali
O - αε cx' Φ γy'Φδx' - ου α' x,' in&c. 3 3. Curvae ergo in hac aequatione contentae duas habebunt Diametros orthogonales A B dc E F se mutuo in C normaliter intersecantes. Pertinent ergo haec Curvae omnes ad Linearum ordines vel secundum , Vel quartum , Vel sextum, &c., ira ut in nullo Linearum ordine impari ulla contineatur Linea curva duabos, Diametris se mutuo normaliter intersecantibus. Praedita.