장음표시 사용
191쪽
praedita. Deinde , quia is a aequatio quoque continetur in ζquatione priori . g. 339 , hae Curvae simul Centrum habebunt in puncto C, ita ut omnis recta per id utrinque ad Cur-Vam producta , in eo simul bifariam secetur. Hujusinoui igitur Curvas duplici diametro gaudentes praebebit aequatio Z o. s quidem suerit Z Functio quaecunque rationalis ipsarum x x
3 l. Quia igitur hoc modo deducti sumus ad Lineas cur vas duabus Diametris praeditas , inquiramus. in aequationes pro Linuis curvis , quae plures habeant Diametros. Ac Primo quidem facile ostendetur, si quaepiam Curva duas tantum habeat Diametros, eas inter se normales esse oportere, ita ut nulla Curva duabus Di ametris tantum praedita detur, quae non inaequatione modo inventa contineatur. Ponamus enim cujuspiam
Lineae curvae duas esse Di ametros AB. dc E F sese in C non normaliter decussantes. Cum igitur EC sit Diameter, Curia
utrinque circa eam aequaliter erit comparata : quare, cum ejus
Pars citerior rectam A C pro Diametro habeat, etiam pars DJterior Diametrum habebit GC, in eodem puncto C cum EC angulum GCE AC E constituentem. Simili modo, cum GC sit Diameter , debebit quoque recta IC , existente G CI - G C E, esse Diameter ejusdem indolis , cujus cst E C. Porro Di ameter quoque erit recta L C, sumto angulo I CL ICG; sicque progrediendo , continuo novae Di ametri reperientur donec in primam A C rucidant; quod evenit , si angulus ACE ad angulum rectum habeat rationem rationalem. 3 s. Nisi ergo angulus A CE ad angulum rectum haheat
rationem rationalem , numerus Diametrorum crit infinitus, quo
casu Curva erit Circulus ; quippe in quo omnis recta per Centrum ducta cst Diameter orthogonalis : hic enim Diametri nomen ad solas Di ametros orthogonales restringimus, quia his solis Curvae in duas partes similes ei aequales dividuntur. Ex his intelligitur nullam Curvam algebraicam duas hahere posse Diametros inter se parallelas : ob rationes enim allegatas , si duas haberent Diametros parallelas, simul infinitas inter Luteri Introduci. in Anal. in n. Tom. H. A a
192쪽
L in. II. se parallelas & aequaliter distantes habere deberent ; ideoque Linea recta hujusmodi Curvam in infinitis puoctis secare posset , quae proprietas in Lineas curvas algebraicas non cadit. 3 6. Quod si ergo quaepiam Linea curva plures habeat Diametros, eae omnes se mutuo in eodem puncto C intersecabunt , atque a se invicem sub aequalibus angulis distabunt.. Erunt vero hae Diametri duplicis generis alternatim progredientes; Diameter enim CG ejusdem erit, indolis, cujus est. Di ameter C A ; atque aequatio pro Curva, sumta Diametro C G pro Axe : conveniet cum arquatione pro Curva , sumta Diametro C A pro Axe : Diametri ergo alternae C A , C G, G L &c. aequaliter ad Curvam erunt affectae, similique modo Diametri CE, CI &c. eadem ratione ad Curvam pertinebunt. Quam ob rem , si numerus Diametrorum fuerit finitus, tum angulus A C G erit pars aliquota quatuor rectorum , seu angulus A C E erit pars aliquota anguli 18o graduum, seu
semiperipheriae , quam VocemuS T.
T,A: 3 7. Si fuerit angulus ACE O'-- π , casus existit jam b. supra tractatus , quo Curia duas hahet Diametros inter se
normales. Hujusmodi ergo Curvas denuo investigemus , at methodo diversa a priori , quae aeque ad inventionem plurium Diametrorum accommodari queat. Sit igitur Curia duabus
Diametris AB, & E F praedita ; sumatur in ea quodcunque punctum M, & . ducta ex Centro C recta C Μ, ponatur C M - r, & angulus A C M s ; quaeraturque aequatio inter & s. Ac primo quidem intelligitur, quia recta A C est Diameter, t esse debere ejusmodi Functionem ipsius s, quae
maneat eadem , etiamsi - S loco s ponatur; sumto. enim angulo A CM -s negativo A Cm, recta Cm dehet esse C M. Verum coss est ejusmodi Functio ipsuss, quae manet
eadem posito-s loco - - s, quam ob rem huic requisito latisfiet si fuerit Functio quaecunque rationalis ipsius cos. s. 348. Ponatur Abscissa C P - x , Applicata P Μ - y, Digitigod sy Corale
193쪽
erit r v xx Φyy & cof s- - , sitque Z o , aequatio pro Curva , cujus recta C A sit Diameter ; atque esse debebit Z Functio rationalis ipsarum & a , Vel ipsarum r& x, vel , ob rationalitatem , ipsarum xx ε yy & x. At si
Z suerit Functio ipsarum xx H-yy & x, erit quoque Functio ipsarum yy & x. Sit enim xx--yy u ; quia Z debet esse Functio ipsarum x & u , posito u t ε xx, ut si t Π, fiet Z Functio ipsarum t & x, hoc est ipsarum yy & x. Quoties ergo Z suerit Functio rationalis ipsarum yy & x, toties recta C A Curvae erit Diameter : quae est eadem proprietas Curvarum uua Diametro gaudentium , quam supra invenimus. 3 9. At Curvam quaesitam duabus Diametris AB & EF praeditam esse oportet ; unde CB erit Diameter ejusdem indolis , ac C A. Quare , si recta C M - , ad Diametrum CB reseratur, ob angulum BCM τ s , necesse est uti ejusmodi sit Functio ipsius s , quae non varietur , etiamsi locos ponatur π - s. Hujusmodi Functio quidem seret sin. s , est . s sin. π - s : sed hoc modo praecedenti conditioni non satis fit. Hinc ejusmodi expressio inveniri debet, quae ad
tio Z-o , erit pro Curva duabus Diametris AB & E Fpraedita , si Z fuerit Functio rationalis ipsarum i & eos et s. Est Yero cos. χ s - Τ -i . -V. Lx quo Z debebit esse Functio ipsarum xx inra, & xx-Π, vel ipsarum xx & Π, uti supra
3so. Progrediamur ad Curvas tribus Diametris AB, EF&. GH praeditas investigandas ; quae Diametri in eodem puncto C ad angulos ACE, EC G , GCB - 6o' se mutuo secabunt , atque Di ametri alternae CA , CG, CF ejusdem cruat indolis. Quare , si ponatur C MO, & angulus A a Z
194쪽
is 3 DE CURVIS UNA PLURIBUS VE
ACM-s , ob GCM- v χ-s , aequatio pro Curva Z - o , ita debebit esse comparata , ut Z sit Funetio rati natis ipsius r , & quantitatis cujuspiam , quae ab s ita
pendeat, ut maneat eadem , sive loco s ponatur - s , sive - I S. Eriti ergo f. 3s ; est inim cos. 3s - cos 3 s
cof Σχ-3s . At , positis Coordinatis CF - x , PM y , erit cos 3 s t, ideoque Z esse debet Furustici rationalis ipsarum xx -yy & x' - 3xyy. 3si. Quod si ergo ponatur xx H-yy t & x'-3xyy V, . haec erit aequatio generalis pro Curvis tribus Diametris pra ditis o - α - 2 Φ γυ-δit Φ ειυ - - cuti Φ πι -l- &C. , quae praebet hanc inter x & y
Cum igitur aequalio G - α - cxx - - cyy sit pro Circulo, qui , habens infinitas Diametros , etiani qiuaestioni de tritiis Dia metris satisfacit ; simplicissima Curva tres halicias Dianae-tros Erit Linea tertii ordinis hac aequatione eYpressa x' 3xyy - cxxvy - -b', quae tres hahet Asymis tus triangulum aequilaterum comprehendentes, in cujus medio existit puniatum C; & singulae Asymiotae sunt speciei u es. Pertinent ergo hae Curvae ad Speciem quintam secundum enumerationem a nobis supra factam ..332. Si Curva haheat quatuor Diametros AB , EF, G Η &IK se mutuo. in pundio C ad angulos semirectos Ar
195쪽
tem Functio est cof s. Quare, si Z suerit Functio ipsarum s& cos. q. ; seu quod eodem redit, ipsarum xx Φ yy & x' 60yy Φ y , tum aequatio Z o , dabit Curvam quatuor Diametris praeditam. Erit ergo Z Functio ipsarum t Scu; possitist o Φ yy & u x' - 6xxv Φ- y ; Ponatur autem v it - M, eritque Z Functio ipsarum t & υ, hoc est ipsarum xx ε Π & ora. Vel etiam Z ita definiri potest ut sit Functio harum du-rum quantitatum x x Φ yy & x y
333. Ut Curva aequatione Z - o, expresse habeat quinque Diametros , oportet ut Z sit Functio ipsarum & cog s s. Quare , sumtis Coordinatis orthogonalibus x & y , Ob f. ys --.8 φ r debebit esse Z Functio rationalis harum eXpressionum xx - - yy& x'- Iox'yy in s xy Curva igitur simplicissima , quae, praeter Circulum, quinque habeat Diametros , est Linea quinti Ordinis , atque hac aequatione ex primetur x' - Iox 'Π ε 30' - a xx - Π ' εἷ xx -hyn Φc. Haec ergo Cuma , propter omnes Factorcs supremi membri reales, habebit quinque Asym totas suis intersectionibus pCnt sonunt regulare, in cujus medio sit Centrum C , formant s. 3s . Ex his jam generaliter patet , Curvam aequatione Z o , expressam , habituram esse n Diametros , quarum binae proxime angulum -- comprehendant, si suurit Z Functio ipsarum, cos. ns, seu inter CoordinataS Orthogonales, . Functio quaecunque rationalis harum explestionum xx H- Π &
196쪽
Hinc ergo Curvae inveniri possunt , quae tot, quot lubuerit, habeant Diametros se mutuo in angulis aequalibus in eodem puncto C intersecantes. Simul vero hae aequationes in se complectuntur omnes omnino Curvas algebraicas, quae dato Diametrorum numero sint praeditae.
33s. Hujusmodi Curvae pluribus Di ametris praeditae duplo plures habent partes inter se similes & aequales. Sic Curva duabus Diametris praedita quatuor hahet partes similes & aequales , A E , B E , A F, & B F. Curva autem tribus Di ametris praedita habet sex partes similes & aequales A E, G E, G B, F P , FII & A IL Atque Curia quatuor Diametris praedita octo habet partes similes & aequales AE, AK, GA, GI, BI, BF, II F, & Η Κ ; similique modo numerus partium
aequalium semper duplo major est quam numerus Di ametr rum. Quemadmodum autem supra vidimus dari Cumas , duas partes similes habentes , quae tamen Diametro careant, ita dabuntur quoque Curvae plures partus similes & aequales habe tes quae tamen Diametris destituantur.3ss. Incipiamus a duabus partibus aequalibus sibi ci regione oppositis A ME , BKF, quem quidem casum supra jam tractavimus. Quod si enim Curva duas tantum habere debent partes aequales , necessario sibi oppositae esse debent , quod clarius patebit, quando plures partes aequales contemplabimur. Ponamus ergo, ut ante , C M-r , & angulum AC AI s, ac manifestum est angulis s & π in s eundem valorem ipsius Iconvenire opportere ἔ sumto enim angulo A C JI- π Φ s,
set C R : at esse deflet C Κ - C M; quaerenda ergo est expressio communis angulis s & π - s, cujusmodi est lang. s ῆ est enim tang. s - tang. π Φ Q. AEquatio igitur Z- O, erit pro tali Curva, qualem quaerimus, si fuerit Z Funccio ipsarum i & tang. s , seu Functio ipsarum x x H-yy &α. Ponamus - t, eritque x xj1 1 - 1 y a in ti, a IDiuitiatio by Coo le
197쪽
eil ipsarum t &yy : unde eaedem arquationes resultant, quas supra invenimus. 337. Quo autem fractiones , qu bus tangentes laborant evitemus, idem negotium per sinus & cosinus expedire pote rimus. Cum enim sit & su. 2s sn. 2 re Φ s & cois. χs f. χ π in s , quaesitum obtinebitur si Z capiatur Functio quaecunque rationalis trium harum sermularum i ,sn.2s & f. 2s, seu ipsarum xx Φ yy , 2s , & xx - Π. Ubi notandum est, si expressionum sin. χs & c0.2s altera omittatur , Curvam insuper Diametrum esse habituram. Solutio ergo huc redibit ut Z capiatur Functio ipsarum xx , Π & υ , rationalis; unde hujusmodi orietur aequatio O - αε cxx ε 1 υ ---- γ γ ε .ae' γ' ε θο' θιγ' θ &e. Atque , si termini, in quibus non inest x , evanescant , tota
aequatio dividi poterit per x & prodibit
quae sunt ambae illae aequationes quas supra invenimus. 338. Quaeratur nunc Curva , quae tres tantum habeat Par- τ . tes similes & aequales A AI, B N, & D L. Haec ergo ita XV iis. erit comparata . ut eductis ex puncto medio C trihus rectis Fig. 74.
C M , C N , & C L in angulis aequalibus , eae semper inter se futurae sint aequales. Positis ergo angulo A C AI s, &recta C M -r; recta r per s ita definietur, ut his tribus angulis s , Δ π in s , & π Φ s idem valor ipsius r conveniat ; Est enim AIC N- NC L - τα Horum autem
trium angulorum communes sunt hae expressioneon. ais & cof M.
Quare , si Z fuerit Functio rationalis harum trium quantitatum xx Φ yy ; 3xv - y' ς & x' - 3xyy , aequatio Z - o. dabit
Curvas quae litas omnes. Hujusmodi ergo Orietur aequatio Seneralis
198쪽
191 DE C UR VIS UNA PL URIBUS VE
idem respondeat valor. Hanc vero proprietatem habent expressiones . s & f.qs : quare aequatio Z o , dabit Cusuum quatuor ejusmodi partibus aequalibus praeditam , si fuerit Z Functio quaecunque rationalis harum trium quantitatum xx Φγy ; y - s' & x' - 6xxyy Η- y Hinc aequatio generalis pro illiu linodi Curvis erito rei Φ c xΗ- hy - - γx' Ny -- ε x xyy-δs' in ra' in &e. 36o. Simili modo apparet , si quaeri debeat Curva Diametris destituta , quae tamen quinque habcat partes aequales &similes , in aequatione Z o , e Te debere Z Functionem rationalem harum trium quantitatum, xx Φ yy i s xj - ox γ' - γ' & κ' - rox'y' ε s ' ;atque, si numerus partium aequalium csse debeat - n , tum esse dehet Functio rationalis harum trium xx in yy,
199쪽
Quos si alterutra posteriorum expressionum non ingrediaturru aro tutionem , Curva habebit tot Diametros, quot nume-
35r. In duplici hac enumeratione Curvarum aliquot partes a qua eς habentium , quae vel Diametris sint praeditae vel iis
cureunt, continentur omnino Omnes Curvae algebraicae, quae
quidem duas pluresve haheant partes similes & aequales. Quod ut Ostendatur, habeat Curva continua duas partes OA a , OB binter se similes & aequales. Iungatur A b, superque ea tanquam basi constituatur triangulum isos cele A C B. cujus a
gulus C aequalis sit angulo O. Jait , quia anguli C &OBC sunt aequales, crunt quoque Curvae partes C A a &C Bb similes & aequales : atque , ob legem continuitatis, si capiantur anguli B C D, D C E, dcc., aequales singuli angulo AC B, & C D - C E - C A - C B , habebit Curva praeterea ad has singulas rectas partes Dd, Ee, &c., similes &aequales partibus A a, Bb. Nisi ergo ratio anguli A C B ad
36o' fuerit irrationalis , partiunt aequalium numerus erit finitus , contra autem infinitus, neque adeo in Lineas algebraicas cadens. Semper ergo Curva ista continetur in iis, quas ante investigavimus , Diametris carentes.
362. Sin autem duae partes similes & aequales in plagas oppositas rectarum A O & B D cadant, ita ut sit pars A Oa similis & aequalis parti O B b; tum utrinque ducantur rectae AR, & BS, ut sit OAR OBS,- - ΑΟB; eruntque rectae A R & B S inter se parallelae. Iungatur A B . Sc per Punctum medium C agatur ipsis A R & B S parallela C V, erunt partes a A , b s respeetii rectae C V similes & aequales. Nisi igitur sit b a - o , quia Arcui b B, a b ad a progrediendo, respondet ex altera parte Arcus similis & aequalis a A ; ita Euteri Introduci. in Anael. insen. Tom. II. B b
200쪽
LIB. II. quoque huic ab a ad e per spatium ae ba progrediendo. respondebit ex altera parte Arcus similis & aequalis e E, huicque porro Arcus d D, ita ut haec Curva habitura sit infinitas partes similes & aequales utrinque circa rectam C V dispositas. Hujusmodi ergo Curva algebraica esse nequit..
363. Hoc ita se habet, si recta A B fuerit obliqua ad parallelas A R & B S , vel quod eodem redit, si in triangulo A O B latera A O & B G fuerint inaequalia. Sia autem fuerit A O BO , tum simul recta AB erit perpendicularis ad parallelas AR & PS, & ad C V, quae simul per O transibit.
Hoc ergo casu puncta b & a congruent. Et . quia portiones a Adκ b B non solum erunt aequales & similes , sed etiam utrinque circa rectam CV aequaliter dispositae, haec recta C Uerit Curvae Diameter ; qui casus ad priores Cumas expositas Diametro gaudentes pertinent. Quocirca ad casus in hoc Capite expositos referuntur Onanes omnino Curvae algebraicae. quae duas pluresve partes habent similes & aequales.
De inventione Cumarum ex datis Applicatarum propriet tibiaβω.
36 . Si ur P de Q Functiones quaecunque rationales Abncillae x , atque natura Curvae exprimatur hac aequationeyy - Py ε Q - o. Hinc ergo unicuique Abscissae a vel nulla vel duplex respondebit Applicata ; erit autem harum duarum Applicatarum summa P & productum Q. Si igitur P fuerit quantitas. conssans summa lanarum Applicatarum singulis Abscissis respondentium erit conflans, atque Curva habebit Diametrum ; hoc idem autem evenit si fuerit P - a tum enim Linea recta hac aequatione -ῶ- a Φ apnx coatcnta erit Diameter , in latiore signisic Dissiliaco by Gomic