Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

발행: 1797년

분량: 440페이지

출처: archive.org

분류: 미분류

201쪽

Dg INVENTIONE CURVARUM, Oe. 19s

tione hoc nomine accepto , ita ut obliquitas non excludatur. C AP, Sin autem fuerit Q quantitas constans , tum rectangulum hi- narum Applicatarum erit ubique constans . Axis ergo a Curva

nusquam iecari poterit. At si sit Q - α'ε cx Φ γ xx, haecque expressio duos habeat Factores reales, Axis a Curva in duobus punctis trajicietur , atque Q erit multiplum rectanguli ex partibus Αxis, ideoque rectangulum Applicatarum se habebit ad rectangulum partium Axis in constanti ratione. 36s. Hae igitur proprietates , quas supra Sectionibus conicis convenire observavimus, in innumerabiles alias Lineas cumas competunt. Sic , constans magnitudo rectangulorum ex binis Applicatis eidem Abscissae respondentibus formatorum , qua Hyperbolam ad Asym totam relatam gaudere Vidimus, Communis ipsi est cum omnibus Curvis hac aequatione Π 'Iaa - o , contentis. Deinde , sumta recta EF Curvam in ΤΑ3. V. duodus punctis E & F secante pro Axe, cum in Sectionibus Fig. conicis rectangulum P M. PN ad rectangulum P E. PF conLtantem habeat rationem , haec proprietas Sectionibus conicis communis erit cum omnibus Curvis in hac aequatione yy

PE. PF seu pm. pn - D. p F, si fiterit Π - Ο -- xx. Haec igitur proprietas, qua Circulum praeditum esse ex Elementis constat, non solum ipsi communis est cum infinitis Curvis altiorum ordinum, sed etiam in reliquas Sectiones conicas cadit. Sit enim P bH-nx , atque aequatio yy - nxy xx ax ε br, quae est pro Circulo si nααο, & angulus E PM rectus , complectetur quoque Ellipsin si nn minor quam , & Hyperbolam si nn major quam Α , atque Parabolam si nn m q. 366. Hinc concludimus in omni Sectione conica AEBF Τ n cujus Axes , seu Diametri principales , sint AB, EF, si binete ducantur rectae quacunque pq & mn , quae ad A Xes principales sub angulo semirecto inclinentur, eas in h se mutuo ita esse secturas , ut sit m h . nh ph. h. Quod quidem mani sesium est ex proprietatibus palmariis : si enim per Centrum

202쪽

196 DE INVENTIONE CURVARUM EX DATIS

Lis. II. C ducantur rectae PQ & MN sub angulis semirectis ad Axo

principatus , erunt inter se aequales , ideoque MC . NC P C . QC ; quare , cum omnes rectae his parallelae eadem lege se secent, erit quoque m h . nh-ph. qh. Quin etiam hinc intelligitur , si1 modo rectae MN & P Q ita ducantur, ut ad eundem Axem principalem aequaliter inclinentur , seu ut litPCA-NCA , ob C P - C N, omnes rectas his parallelasse mutuo ita sccare, ut rectangula partium sint aequalia , scilicet ut sit m h . hn ph . hq. Τ AH. 367. His praemissis , contemplemur alias quaestiones circa XIX, binas Applicatas cuique Abscissae respondentes ex aequatione

duce Applicatae PM, PN: ac primo quaerantur omnes Curvae hujus indolis ut sit PM' - - P N' quantitas constans -aa.

obtinebitur ista aequatio yy - Py Φ ----- - o. Quod si ponatur P - x , prodibit Sectio conica proprietate pro

aequatio est pro Ellipsi , Abscissis a Centro computatis. T ,. 368. Hinc sequitur non inelegans Ellipsum proprietas issa. XIX. Si circa Ellipseos duas quasvis Diametros coinius: itas AB &Hς 79 EF describatur parallelograminum GHIΚ cujus latera Elli sin tangent in punctis A, B, E, F, hujus parallelogrammi diagonales GK & III omnes chordas MN alterutri Diametro EF parallelas ita secabunt in P &p , ut sit quadratorum summa P M' ε P N' vel pn1' -- p N' perper io constans nempe aequalis 2CE'. Similique modo ducta chorda ES Diametro alteri AB parallela erit Pit in P.S' mi ae L τσS' - 2CA'. Positis enim CA CB a , CE, CI-b, CQ t, M u , erit cauu -l- bbrt aabb. Iam cit a :b- Q 0 : Dissiliaco by Corale

203쪽

APPLICA TARUM PROPRIETATIBUS. 19

ἔ- - & u - v --, quibus valoribus substitutis orie

erit 3γ- χn - 2nno bb , quae est aequatio ante inventa indicans esse P M' - - PN' magnitudinem constantem. 369. Quaerantur nunc Curriae in quibus sit summa cuborum P u Φ PN' perpetuo quantitas constans. Cum sit PM H PN-P, erit P μ' - - P N' - Ρ' - 3PQ: quare, si ponatur P M' - - PN a', erit Q - : ideoque Prohis Curvis erit aequatio generalis yy - Py - P' --p o , ubi pro P Functionem quamcunque rationalem ipsius x substituere licet. Simplicissima ergo Curia hanc habens proprietatem erit Linea tertii ordinis, quae , ponendo P 3nx, & a - 3n b, hac aequatione exprimetur xyy - 3 n x xy ε 3 n n x' - 3 nnb' o , quae pertinet ad Speciem secundam secundum enumerationem supra factam.

37o. Simili modo , si effici debeat ut sit PM' Η- PM constans, quia est P M' Φ PN P P'QΦquantitas Q per P ita determinari debet ut sit P et Q Q - α' seu Q PP Η- έ - Ρ' - - a . Quia vero tam P quam Q debent esse Functiones rationales seu uni Gmes ipsius x, De y plures quam duos valores pro quavis Abscissa x induere possit , quantitas V P Φ -- a deberet esse rationalis ; God cum sesi nequeat , Functio Q semper urit biformis, ideoque Applicatam y reddet Functionem qua-c A P. XVI. T A B x I X. Fig. 78.

204쪽

138 INVENTIONE CURVARUM EX DATU

LI P. II. drisormem. Verum ex aequatione Π-' in Q - o, elicitur

patet Applicatam y realem esse non posse nisi V P Φ

-- a assirmative sumatur ; quare , non obstante Functionis Q bisormitate, Applicata y nunquam plures duobus valores hah bit, quorum hi quadratorum summa erit constans, sicut natura quaestionis requirit. 373. Quod si porro ejusmodi requiratur Curva , ut hInorum ipsius y valorum cuique Abscissae x respondentium potestates quintae summam constantem constituant, seu ut sit P M Φ

Η- δ : ubi pro P Functio quaecunque unis armis ipsus κPro lubitu accipi potest. Ratio autem hujus aequationis in Promptu est : cum enim summa antharum Applicatarum sit P, si altera sit 3, altera erit P - y, unde statim sit

aequationibus, quibus relatio inter P & Q continetur, P a L 2, orietur pro P Μ' in P N' - a' haec aequatio γ' - - a . Cum enim Applicatarum productum sit - Q, 1 si una ponatur - Υ, erit altera - -2-: unde aequatio ista Diuili od by Coo le

205쪽

APPLICATARUM PROPRIETATIBUS. 193

venta statim fluit. Pro Curvis ergo , in quibus sit P M -- P Ν' - Δ', duas nacti sumus aequationes generales , alteram P-y ' Φ y' ρ- a , alteram γ' - - - : ex quarum

Q' , quae est Functio tantum biformis , atque pro quaVis Abscissa plures duabus Applicatas non exhibet, dummodo fuerit Functio rationalis seu uniformis , ipsius x. Prior autem aequatio 1' - P - y ' a' hac gaudet praerogativa ut uta merus dimensionum sit minor. 373. Νeque vero hae aequationes solum quaestionem solvunt si n sit numerus integer affirmativus , sed etiam si sit via negativus vel fractus. Sic si debeat esse

habebitur haec aequatio a P - PF raseu

206쪽

,oo DE INVENTIONE CUR VAR UM EX DATIS

LIB. II. Pro cxponentibus autem stadiis ita res se habebit :s debeat esse

habcbitur haec aequatio

quae ad rationalitatem reductae Praebent

Hoc igitur modo omnes Curvae algebraicae , in quibus ubi

que si PM in P N a , una aequatione generali comis prehendi poliunt, sive n sit numerus integer amrmativus , sive negativus , sive fractus. 37 . Quae hic de conditione duarum Applicatarum uni cuique Abscissae x respondentium sunt exposita , Eadem me thodo transferri possunt ad ternas Applicatas singulis Abscissis respondentes. AEquatio autem generalis pro Curvis, quas

sngulae Applicatae in tribus puntiis secant est haec γ' - Py' Φ Qy-R O, denotantibus litteris P, Q, & R Functiones quascunque uni

formes

207쪽

AppLICATARUM PROPRIETATIBUS. ΣΟΙ

sermes ipsius x. Sint ρ, ρ, r tres Applicatae Abscissae x respondentes, quarum una quidem semper est realis , verum hic ad ea potissimum Curvae loca spectamus , in quibus omneStres Applicatae sint reales. Erit autem ex natura aequationum

si Curva desideretur, in qua sit vel p --q -kr Vel pq Pr Vr, Vel ρqr quantitas constans , nil aliud est faciendum nisi ut vel P, vel Q , vel R quantitas constituatur constans, binis reliquis manentibus arbitrariis. 37s. Hinc quoque Curvae inveniri poterunt, in quibus sit p' ε ρ' ε δ , quantitas constans ubique ἱ est enim, per ea quae in superiori libro sunt tradita,

C A P. XVI.

208쪽

lo 1 DE INVENTIONE CURVARTII o DATU

LIB. II. Hujusmodi ergo expresso quantitati constanti aequalis posta praebebit relationem idoneam inter Functiones P, Q & R. Atque , si hujus aequationis ope , ex aequatione γ' - P y' Η- Q y - R o , una harum Funictionum P , Q, vel R elimitanetur , habebitur aequatio pro Curva quaesita. Sic , si quaera

quaesto satisfacientibus..376. Sive igitur n sit numerus affirmativus sive negativus integer , solutio per datas formulas facile expedietur; at major dissicultas occurrit si n fuerit numerus fractus. Proponatur

Sumantur denuo quadrata; atque, Oh

377. Haec autem operario nimis fit 'iolesta, s radices aliatiorum potestatum proponantur : alia ergo via erit ineunda, quae ex hoc exemplo peripicietur. . Quaeratur nempe Curva

209쪽

adoneis valoribus , sumendo pro υ Functionem quamcunque ipsius x, pro Curvis quaesitis obtinebitur haec aequatio

378. His tamen dissicultatibus non obstantibus solutio generalis concinnari poterit. Cum enim ex aequatione γ'

Quando ergo quaeritur Curva in qua sit p' - - q Φ δ - α' . satisfaciet haec aequatio

quae aeque quaestionem solvit , sive n fuerit numerus integer sive fractus. 379. Innumerabiles aliae quaestiones circa conditionem harum trium Applicatarum eadem methodo resolvi possitnt : velut, si pro a' Functio quaecunque ipsius x assumatur; tum vero etiam , Praeter summam quarumcunque potestatum , aliae Fun tiones ipsarum ρ, ρ, dcr proponi possunt, dummodo hae quant,aates ita aequaliter iusint, ut earum permutatione nulla variatio Cc ru

210쪽

1o DE INVENTIONE CURVARUM EX DATIS '

IΙ3 Π oriatur. S c , istae tres Applicatae p, ρ , & r cidem Abscis laex respondentes ita definiri poterunt, ut triangulum , quod eX iis formatur , constantem habeat aream. Hujus enim trianguli area erit - - v ε προ ε χqqrr - ρ' - ρ' - r quae ponarur aa. Cum igitur sit μ' -- ρ' -- r P' -

fiet insuper perimeter omnium horum triangulorum constans. Quare , si sumatur Q mxx - - nbx - - aa , prodibit Linea. tertii ordinis hac aequatione expressa γ' - - mxxy - 2byy H- nMy - mbxx in hau - nbM Φῆ - an b - - b' - Ο , cujus haec erit proprietas , ut trium Applicatarum p, q, &r. singulis Abscissis respondentium primum summa sit constans, - χ b , tum vero Arca trianguli ex lateribus p, q, & r som

mati sit ubiqRe eadem - a a. .

38o. Similes quaestiones ejusdem methodi ope resolvi pota sunt circa quatuor pluresve Applicatas eidem Abscissae respondentes ἔ in quo negotio cum nulla amplius Occurrat difficultas, ad alias progrediamur quaestiones , in quibus Applicatae non eidem Abscissae , sed diversis respondentes inter se comparen-T a. tur. Proposita scilicet relatio quaedam inter Applicatas P AfXIX. & QN, quarum ultera Abscillae A P - - - x , altera Abia Fig. εὐ--AQ -- x respondeat. Sit y - X, aequatio pro hac Curva , existente X Functione quacunque ipsus x, atque haec Funelio X dabit Applicatam P M: quod si vero loco Φ x ubique ponatur - x , eadem Functio X dahit alteram A

plicatam QN. Si ergo X esset Functio par ipsius x , puta in P . seret QN PII, sin autum sit X Functio impar Diqitirco by Corale

SEARCH

MENU NAVIGATION