장음표시 사용
211쪽
APPLICATARUM PROPRIETATIBUS. 1os
O N quantitas constans , nempe - 2AB - Σ a. Atque mani festum est huic quaestioni satisfacere aequationem y - a
requiritur. Quod si ergo ponatur y - a - ιι, erit ti Q, quae erit aequatio pro eadem Curva, sumta recta BP pro Axe& puncto B pro Abscissarum x initio, ita ut sit Ap - x Sep M v. AEquatio autem v Q indicat Curvam partibus aequalibus utrinque circa Centrum B alternatim dispositis praeditam. Descripta ergo hujusmodi Curva quacunque MB M sumtaque recta quacunque P Q pro Axe, quaestioni ita satisfiet, ut demisso in hunc AXem ex Centro B perpendiculo
B A , sumtisque utrinque Abscissis aequalibus A P - A Q , semper sutura sit summa P M - - Q N constans - χ AB.382. Pro Curvis autem , quae duas habent partes aequales 'circa Centrum B alternatim dispositas, duas invenimus supra aequationes , quae inter Coordinatas x & u sunt.
o - οι x - cu Φγx' in M'u Φεxuu ΦJu' Φηx' Η-θx'uΗ- &c. I l. o α. Φ cx' - γ- - ' Φεx' - - 'v-Fox'u'-kexti'Φ &c. Quare , si in utraque harum aequationum, Ponatur u y-a, habebuntur duae aequationes generales inter Coordinatas x & ypro Curvis algebraicis quaestioni propositae satisfacientibus. Satisfacit ergo primo omnis Linea recta per pu iustum B dilicta, deinde quoque omnis Scinio conica Ceatrum habens in puta
212쪽
1:6 DE INVENTIONE CURVARUM EX DATIIII. que Abscisse AP , de A Q gemina Applicata respondet, nisi
' Curva existente Hyperbola . Applicatae alteri Asymio ae parallelae capiantur ; bina habebuntur Applicatarum paria candem summam confli tuentia. 383. Si quaeratur Cure1 Is B I, in qua non summa bin rum Applicatarum P M S: Q N, sed summa quarumcunquα potesta tum earum fit constans, solutio simili modo absolvetur, Oporteat enim es. P M' in Q N' - 1 a' : atque perspicuum est huic conditioni satisfieri hac aequatione γ' a' - - Q, existente Q Functione quacunque impari ipsius x : erit enim
Q N' - Σ a'. Ponatur γ' - a' - u , atque aequatio u- Qexprimet naturam Curiae duabus partibus aequalibus alternis circa Centrum B dispositis praeditam inter Coordinatas x & u. Quam ob rem si in aequationibus praecedenti datis ubique loco st scribatur γ' - a', prodibunt aequationes generales pro Curvis quaesito satisfacientibus,
38Φ. Cum igitur hujusmodi quaestiones nihil habeant diis- cultatis, proposita sit haec quaestio, qua quaeritur Curva MBΝ, ita ut in Axe a puncto fixo A, si sumantur utrinque Abscissae A P , A Q aequales , rectangulum Applicatarum P M. QN
futurum sit magnitudinis constantis , puta a a. Hujus quaeiationis plures dari pos Iuni solutiones particulares, quarum Prae Cipuas , antequam in generalem inquiramus , hic evolVamuS.
Propterea quoque ipsa Functionem parem exhibet, conve-
213쪽
APPLICATARUM PROPRIETATIBUS. Lor '
nientem valorem pro P praebet. Hinc pro Curva quaesita habe
Functionem quamcunque imparem ipsius x. 38j. Cum autem signum radicate per se ambiguitatem involvat , unicuique Abscissae x gemina respondebit Applicata , altera assirmativa altera negativa ; sic , Abscissae A P respon
& - Q --- Q : unde Curva partes habebit aequa-Ies circa punctum A , tanquam Centrum, alternatim positas. Neque vero hanc ambiguitatem a signo ortam tollere licet, sumendo pro O ejusmodi Functionem imparem , uti - - x,
qua fiat aa -i- QQ quadratum ; fieret enim V ao in Q Q κ ideoque Functio impar, quae in locum ipsus P subiati tui non posset. Quocirca pro Q ejusmodi Functio impar ipsius x sumi debet, ut aa -- QQ non fiat quadratum. 386. Simili modo, si ponatur y- P in Q ', set QNαα P-Q ' r ideoque esse debebit P' - Q' '-aa. Hinc fiet ν' - a' -- Q' , & P - v a' -- γ 3 , quae quantitas , dummodo fuerit irrationalis , pro P assiimi poterit. Quare pro Curva quaestioni satisfaciente obtinebitur haec aequa-
Curvarum erit facilis : describatur Curva quaecunque duas partes similes & aequales habens alternatim circa Centrum Apositas , hujusque Cur ae Applicata Abscissae AP - x respondens ponatur P; erit i Fumnio impar ipsius x ideoque in locum ipsius Q substitui poterit. At , ex aequatione i '
214쪽
1o3 DE INVENTIONE CURVARUM EX DATIS.
si in his aequationibus ponatur y divisoremae negligimus quia pro Q quodcunque multiplum ipsus t sumi potest , duae orientur aequationes generales pro Curvis quaesito satisfacientibus, 387. Sit, praeter P, quoque R Functio par, & praeter Qquoque S Functio impar ipsius x , ac statuatur pro Cumis
quaesitis haec aequatio y ' P - PM: erit ergo Q g , fietque s 28-ena , cui conditioni facillime
satisfit ponendo γ -- Lea , vel etiam statuendo 1 - Hoc modo prius incommodum . quod cuique Abscissae duae pluresve Applicatae respondebant, evitatur, atque ejusmodi Curvae inveniuntur. ut singulis Abscissis unica tantum Applicata respondeat. Hinc Curva simplicissima satisfaciens
erit Linea secundi ordinis hac aequatione y - - ' a contenta ; atque ideo Hyperbola. Hyperbola vero etiam satisfacit aequationi Disiti su by Cooste
215쪽
aenuationi prius inventae Y- Q-μέ aa-F PQ , ponendo cQ nx : erit enim Π - 2nxy ca. Unde huic problemati duplici modo per Hyperbolam satis sileri potest. 338. His praemissis, perspicuum est aequationem pro Curva
quaesta ita comparatam este debere, ut ea, si loco x ponatur - x , Ω - loco γ, nullam alterationem patiatur. Huju
quidem P Functionem parem & Q imparem ipsius m denotet. Quod si crgo aequatio formo tur , quae ex quotcunque hujusmodi formulis fuerit composita , ca erit pro Curva quaestioni satisfaciente. Quod si ergo M, P, R, T, &c., denotent Functiones quascunque pares ipsus x , atque N, Q, S, H,&c. Functiones impares , sequens aequatio generalis habebitur
quae si multiplicetur per Functionem imparem ipsius x, Functioncs pares in impares & vicissim permutabuntur : unde etiam hujusmodi aequatio satisfaciet
quae aequationes a fractionibus. liberatae dabunt has aequationes rationales ordinis indefiniti nTuleri Introduct. in Anal. ion. Τom. II.
216쪽
Lio DE INVENTIONE CURVARUM EX DATII
217쪽
Ap PLICATARUM PROPRIETATIBUS. in
39o. Ex his quatuor aequationibus jam ex singulis Linearum C Aordinibus eae, quae problema resolvant, facile invenientur. Ac X VPrimo quidem , ex primo ordine satisfacit Linea recta Axi APparallela ac per punctum B transitens. Ex ordine sucundo hinae aequationes priores, faciendo n- I, dant α. a Xyri yyia a - Ο , quae ex secunda nascitur , ponendo Ν - α α, &P I., & Q - o. Prima enim nullam dat Lineam curvam ;hinae posteriores aequationes dant, faciendo n o , y α -μβα φ a α - βx o. Ex ordine tertio binae aequationes priores dant, faciendo n I
similique moso er: sequentilius ordinibus omnes Lineae quaesto satisfacientes reperientur.
218쪽
G DE INVENTIONE CURVARUM CAPUT XVII.
De inventione Curvarum ex aliis proprietatibus. 391. QuasTioszs, quas in praecedente Capita resolvimus , ita erant comparatae . ut ad aequationum inter Coordinatas , sive rectangulas sive obliquangulas , facile revocari PoiIunt. Nunc igitun ejusmodi proprietates contemplemur , quae non immediate Applicatas inter se paralicias respiciant; veluti si rectarum Ex dato quodam puncto ad Curvam eductarum in- dolos quaepiam proponatur. Sit C punctum , undo rectae ad Curvam educantur CM, CN. atque proprietas quaepiam has rectas respiciens fuerit propossita: conveniet a modo hactenus usitato naturam Curiarum per Coordinatas exprimendi, ita recedere, ut istae rectae in mirationem introducantur. 392. Cum igitur pluribus aliis modis naturae Linearum aequationibus comprehcndi queant, quae inter duas variabiles formentur, in praesenti negotio quantitas reJae C AI ox dato puncto C ad Curvam e luctae alter us variabilis locum sustineat. Tum vero alia opus erit variabili, qua scius ructae C M definiatur ; hunc in sinem assumatur recta quaepiain C A per puta tum C ducta pro Axe, atque angulus A CII, scii quantitas ab hoc. angulo pendens, commodissime vicem alterius variabilis tentibit. Sit ergo recta C M r , & angulus AC Me , cujus sinus, tangensvo in aequationem ingrediatur ; atque manifestum est, si detur aequatio quaecunque inter r &Dr. φ , seu tang. φ , per eam Curvae A II N naturam dete minari , pro quovis enim angulo A C M, desinitur longitudo rectae C M, sicque punctum Curvae M determinutur. 3. 3. Diligentius autem perpendamus h nc Lineas curvas exprimendi modum. Ac priirno quidem aequetur di stantia tb unctioni cuicunque simia anguli p ; quae Functio si surrit uni- Disitigod by Cc oste
219쪽
Armis : videatur recta C M Curvae in unico puncto M occurrere , quia angulo A C M - p unicus valor rectae C II respondet. Verum , si angulus p duobus ructis augeatur, eadem manebit rectae C M per punctum C ductae positio , hoc tantum discrimine quod in plagam oppositam dirigatur; sicque alia ejusdem rectar C M intersectio cum Curva Prodibit, etiamsi r aequetur Functioni uniformi sinus anguli p. Scilicet, sit P Functio illa sinus anguli p , ita ut sit P , unde Or Z-tur punctum Curvae M; augeatur nunc angulus p duobus rectis, seu ejus sinus statuatur negativus, quo racto abeat P in Q , ut sit Q; hinc ergo prodibit nova intersectio ejus dum rectar C M productae cum Curva m, sumendo Cm Q. 39 . Quamvis ergo P sit Functio uniformis sinus' anguli φ, tamen recta C M, sub dato angulo A C III p , per punctum C ducta , Curvae in duobus punctis M & m occurrui, nisi sit Q - - E. Quod si ergo unaquaeque recta C M Curvae
in unico tantum puncto occurrere det Ieat , quantitatem illam P Functionem cile opportet imparem sinus anguli 2. Hoc idem autem usu venit, ii P suerit Functio impar cosinus anguli p. Quam ob vcm omnes Curvae , quas singulae rectar Ex ccuctae in unico puncto intersecant, continebuntur in hac aequatione P ; si quidem P fuerit Furictio impar cum sinus tum colinus anguli A C M p. 393. Cum igitur Curvae, quae a rectis cx puncto C ductio
in unico puncto secantur , contincantur in aequaticine P ,
si P suerit Functio impar sinus & cosinus anguli φ , seu elui modi Functio, quae valorem negativam induat, ii tam sinus cmam cosinus anguli p sta tuatur negativus , hinc facile pro hujusmodi Curvis : quatio inter Cu ordinatas ortho nnaleg reveriri potorit. Demiiso enim ex puncto II in Axum C Apcrpencaeulo M P , si dicatur C P - x, P f y . c t: sin. p & - - cos. p : unde , si P suerit Esuct o in par ipsarum - & γ- ,
omnes istae Ccrvae cuntia duatur Lia lim
220쪽
Lis. II. aequatione P. A simplicissimis ergo incipiendo , e it
et s. Si haec aequatio per dividatur , ubique pares tantum ipsius occurrent potestates : ideoque , cum sit V in
yy , eliminandor nulla irrationalitas in aequatione remanebit, prodibitque aequatio rationalis inter x &y. AEquatio ergo generalis ita erit comparata, ut unitas, seu quantitas constans,
aequetur . 1 unctioni - 1 ei mensionum ipsarum x Sc y. Cimiusmodi Functio si scierit P , erit C P ; ideoque -; at crat Functio unius dimensionis ipsarum x Se y ; unde , s Fune io quaecunque unius dimensionis ipsarum x&yaequetur constanti, aequatio crit pro CurVa , quam rectie per punctum C eductae in unico puncto intersecant. 397. Sit P Functio n dimensionum ipsarum x dc y ; & QTunctio nes 1 dimensonum ; erit Eunctio unius dimen
funis : idesque omnes Curvae , quas hic contzmplamur, continebuntur in aequationa υ- - c, seu Q c P. D notante Crgo Π numerum qu Tacui sit e , αqua: io gcneralis pro his Curvis crit
Ex qua Lineae singulorum ordinum , quae a rcctis ex puncto CDisiligod by Corale