장음표시 사용
221쪽
eductis in unico tantum tionibus continebuntur.
398. Primum ergo Linea recta satisfacit, quam utique contatat ab aliis Lineis rectis per datum punctam duet: s ta n niti in uno pun ho secari po.sb. Secunda aequatio est pro Sectionibus conicis g2neralis , d rinnio io Sectio conica per ipsunt
punctum C transeat, quae i.ueri et O , cum omnibus rectis uet C eductis communis sit, non computatur ; quoniam Ergo Sectiones conicae a recta quacunque nonnisi in daobus punctis secari poliant, omnis recta per punctam C in ipsa Curva ut cumque sumtum transiens unicam tantum praebebit intersection Um. Ibineae autem curvae sequentium ordinum omnes per ipsum punctum C transeunt, qua intersectio omnibus rectis per C ductis communis pariter non computatur. Atque idcircocet altioribus ordinibus in aequationibus exhibitis ex tantum continentur, quas rectae per C ductae in unico puncto inre secant. S c igitur omnes enumeravimus Curvas algebraicas ,
quae a rectis per datum punctum C dueh.s nonnili in unico puncto trajiciuntur.399. Progrediamur jam ad eas Curvas investigandas quas singulae rectae per punctum C duche vel in duobus punctis in rersecant, vel misquam; si quidem radicus aeqv :tion s duplicem intersectionem ina cantis fiant imaginariae. Cum igitur pro
quovis angulo AC A I - , recta C AI r duplicem so
222쪽
itaque - P ῖ - - Q o : ubi P &. Q sint Functiones an guli p 1 eu ejus sinus cosinusve. Quoniam vero recta C AICurvam nonnisi in duobus punctis II & N secare debet, non solum P & Q Functiones unissirmes anguli p citu oportet, .sed etiam aucto angulo φ duobus rectis nullae no ae intersectiones oriri debent : id quod evenit si P fuerit Functio impar sinusta cosinus anguli p , ita ut valorem induat negativum , si sinus& cosnus negative accipiantur : Q autem clie debet Functio per ejusdem sinus & cosinus. hoo. Positis autem Coordinatis ortilogonalibus CP x, Se P M y ; erit L p. p , & - cos p ; ideoque P de-htibit esse Functio impar ipsarum & R ; I Q Functio par ipsarum & Ex his colligitur sore - Functio rationalis ipsarum x & y , atque adeo Functio Lomogenea - xd mensionum. Simili modo erit Functio rationalis ipsarum
x & y homogenea - χ dimentionum. Quod si ergo fuerit L Functio homogenea n Φ Σ dimensionum, IJ Functio li, 'mogenea n Φ I dimensionum , atque N Functio homogenean dimensionum quaecunque ipsarum x & y , fractio exhibe-hit Functionem convenientem pro - , & - Functionem
erit I-- Φ --o : unde aequatio generalis pro Cur, is , quae a rectis per punctum C ductis in duobus punctis secantur, erit 1 - - Φ - o , seu L - ΛΙΦN-o; ubi est P--I & Q - Ἐa - - -; eritque adeo
223쪽
o I. Hinc jam facile erit ex quovis Linearum ordIne eas CAExhibere, quae a rectis per datum punctum C ductis in duo Vbus punctis vel nusquam interlecentur. Pro secundo scilicet ordine fiat n- o , ac prodibit aequatio generalis lima Sectio
Puncto ergo C sumto ubicunque , omnis recta per id ductu Sectionem conicam vel in duobus punctis vel nusquam in te e-cabit. lntcrim tamen fieri potest, ut unaquaepiam recta Curvam in uno tantum puncto intersecet; quod , cum inter infinitas illas rectas per C ductas vel uni vel duabus tantum usuueniat , hac exceptio nullius erit momenti : quin etiam ita hoc para doxon explicari potest , ut altera intersectio in infinitum abeat et quam ob causam illa exceptio nostro asserto nullam vim inferre censenda est. ΟΣ. Quo autem pateat quibus casibus ista exceptio locum habeat aequationem inter x & y reducamus ad aequationem inter & angulum ACM cp; quae, Ob y s. Ita. φ, &x - ῖ. c0. φ , abibit in hanc χ' ω -.νὶ - . e f. . γ ID. e )- p. eos t. sit. σ) -k orex qua patet , si fuerit coes iciens ipsus aequalis nihilo , uni-- cam tantum intersectionem locum habere ἔ quod ergo evenit si fuerit α φ c. tang. pH γ tan p γ' o. Quod si ergo haec Nquatio duas habeat radices ruales, duobus casilius recta per C educta Curvam in unico tantum puncto secabit. Quoniam sero ejiisdem mitiationis radices indicant Asymtotas Cur vae, perspicinina est Hyperbolas a rectis alteri Asyiai totae parallelia in unico tantum puncto secari, cujusmodi rectae per punctum C transeuntes dita: tantum dantur. In Parabola vero unica rccta Axi parallela hanc exceptionem patietur. Uerum s Sectio conica fuerit Ellipsis, ubicunque asi amatur punctum
224쪽
E C , omnis recta per id ducta Curvam vel nusquam vel in duobus punctis secabit. U3. Lineae tertii ordinis ista proprietate gaudentes, positon I , continebuntur in hac aequatione
quae quidem in se complectitur omnes Lineas tertii ordinis , quae ergo omnes huc pertinent, dummodo punctum C in ipsa CurVa capiatur. Facto enim x - o , simul y valorum obtinet evanescentem. Simili modo pro Curvis quarti ordinis quaesito satisfacientibus punctum C non solum in Curva sed simul ejus punctum duplex osse debet; omnis ergo Linea quarti ordinis Puncto duplici pratilita quaesito satisfaciet, dummodo punctum C in puncto duplici statuatur. Sin autem C fuerit adeo Curvae Punctum triplex, tum omnis recta per id ducta Curvam in unico puncto intersecabit, pertinebitque ad casum primo consideratum. Pari modo Lineae quinti ordinis satisfacient, si punctum C in earum puncto triplici statuatur , atque ita Porro. Perpetuo autem notandum est, si recta per C ducta parallelasiat alicui Asymiotae rectae seu Axi Asymiotae parabolicae se tum semper unicam dari intersectionem , ultera in infinitum
6oq. Egregie haec conveniunt cum natura Linearum cujusque ordinis: quia enim Linea cujusque ordinis a Linea rect in tot punctis intersecari potest, quot exponens ordinis continet unitates , atque revera in totidem punctis intersecatur , nisi aliquot intersectiones vel fiant imaginariae vel in infinitum abeant: & quia hic Omnes intersectiones, sye reales sive in infinito factas sive imaginarias, aeque computamus, easque tantum excludimus quae in ipso puncto C fiunt ; manifestum est cum Linea ordinis n in n punctis a quaque Linea ricta se- etur, punctum C in puncto totuplici, quot numerus n- 2Continet unitates , collocari debere, ut intersectio duplo
225쪽
es. His notatis facile erit problemata, quae circa relati nem inter quosque hinos i plius s valores C M & C N proponi solent, vel resolvere, vel solutionis inconvenientiam Ostendere. Cum enim duo ipsius t valores C Μ & CN sint radices hujus aequationis-- P r in Q o, erit ipsorum summa P,& rectangulum eorum C M CN d. Quare, si primum requirantur ejusmodi Curvae , in quibus ubique sit summa C M - - C N constans, Functionem P quantitatem constantem
esse oporteret. Cum autem ex quaestionis naiyra unaquaeque recta per C ducta Curvae in duobus tantum punctis occurrere
debeat, necesse est ut sit P g. 399 ,
quae quantitas irrationalitatem involvens nunquam constans esse potest. Atque idcirco nulla datur Curia. huic quaestioni pr prie satisfaciens. o6. Quod si autem ista conditio, qua duae tantum cujusque rectar per C ductae intersectiones cum Curva postulantur , omittatur atque ejusmodi quaerantur Curvae, quae quidem plures duabus intersectiones exhibeant, inter eas aurem duae M & N ejusmodi adsint, ut sit C Μ Φ C N quantitas conia eans, tales Curvae innumerabiles exhiberi poterunt, 'ponendo P quantitati illi constanti C M -- C N a. Erit enim
in Q o , denotante Q Functionem ι & quia
haec aequatio adhuc irrationalitate laborat, ea sublata , erit
mogenea n - - Σ , at Ν Functio homogenea n dimensionum ipsarum x & y. Simplicissima ergo Curva hoc sensu quaestionem resolvens habebitur si ponatur L - xx in yy & Nα α' bb.
226쪽
o 7. Sin autem hujusmodi solutiones, quibus recte per C ductae Curvam in pluribus quam duobus punctis intersecant. excludantur , quam conditionem natura quaestionis requirere videtur, nullae prorsus Curvae qua tioni satisfacere sunt dicen. dae ἔ ac propterea nulla dabitur Linea continua , quae a rectis per C ductis ita in duobus tantum punistis M & N intersecetur, ut summa C M - - C N sit constans. At vero si istae intersectiones hujus indolis postulentur , ut rectangulum CMAEC N debeat esse constans , quae proprietas in Circulum ita competit ut is satisfaciat ubicunque purustum C capiatur, in bnitae aliae Lineae curvae inveniri poterunt, quae idem praestent. Debebit enim Q esta quantitas constans, aequalis scilicet. illi rectangulo C M. C N , quod sit - a a ; quae positio , cum sit Q - , ac propterea Fumnio rationalis ipsarum x δ: yi non pugnat.
atque Curvae quaesto satisfacientes omnes continebuntur in hac aequatione haa i 1 - N - o , seu Maa
N x x yy aa , ubi Al denotat Fummonem quamcunque homogencam n in I dimensionum , N vero Functionem homogeneam n dimensionum ipsarum x 8c y , ita ut sit -l'E l '' Fumstio unius dimensionis ipsarum x & y. Haec ergo aequatio Omnes complectitur Curvas, quae a rectis per C ductis in duobus tantum punistis M&N ita secantur, ut rectaagulum C M. CN sit ubique constans aa. Dihili sed by Cooste
227쪽
oy. Cum igitur sit Funestio homogenea unius d ine sonis ipsarum x dc y, casus simplicissimas prodibit si po latur V -- - , CX quo orietur Inaec aequario xx Φ yy - a αx ε 3y Η-aa - o, quae semper eri pro Circulo: & .cum sit aequatio pro Circulo guneralis inter Coordinata; orthogonales , manifestum est Circulum quaesito satisfacere , ubi cunque punishum C accipiatur, omnino uti ex Elementis contatat. Praeter Circulum ergo ex S uectionibus conicis nulla alia Curva huic quae: Eoui satissaeit. Verum ex si rgulis ordinibus Linearum sequentibus infinita Linearum satisfacientium copia exhiberi potest : & quidem omnes, quae ex quolibet ordine satisfaciunt. Sic Lineae tertii ordinis, quae isthac proprietate Laudeat, continebuntur in hac aequatione
seu δx-bre Ex - - - a laxae -- co F γ -l-aa Ix - a. Atque senili modo ex omnibus sequentibus Linearam ordini-hus eae , quae satisfaciunt, exhibebuntur. io. Proposita jam sit haec quaestio, ut inter omnes Lineas curvas , quae a rectis per puniatum C ductis in duobus punctis secantur , cae definiantur, in quibus iit summa quadratorum C M' Α- C N' quantitas constans , puta a a. Cum igitur
; quae aequatio, cum sit L Fuinctio n εχ dimensionunt . LI Functio n Φ i dimetisi Unum , & N Funestio n dimensionum
228쪽
II. ipsarum x&y, nullam implicat dissicultatem. Sumtis ergo pro L & Μ ejusmodi Functionibus, erit N-- --: unde pro Curvis quaesito satisfacientibus ista resultat aequatio generalis
Obtinetur arquatio pro Curva satisfaciente. Praeterea vero , si
L per xx Φ yy fuerit divisibilis, scilicet, si , denotante Funcitionem quamcunque homogeneam n dimensionum ipsaruin ae&y, fuerit L α xx- -yy N, orietur alia aequatio genetralis haec NN xx -kn δ' - χ- xx - - ὶ 23--aam xx 4- o, quae est ordinis 2 n - - , ita ut ex singulis ordinibus paribus duplex nascatur aequatio pro Curvis proposita proprietate gau- Dissiliaco by Cooste
229쪽
Ιχ. Si jam non quaerantur ejusmodi Curvae, in quibus sit summa quadratorum C AI' Φ CN' constans , sed in quibus sit C Μ' ε C M. C N Φ C N' vel generaliter C Μ' - n. C MMCN C N' quantitas constans ; problema simili modo resolutionem admittet. Cum enim sit C A1' in n. C AI. C N - .
Quare , cum aequatio pro Curva sit L - Μ -F- N - o , habebitur pro hac proprietate, qua C M' Φ n . C M. CN- CN' debet esse constantis magnitudinis-a a , ista aequatio
ipsarum x & y. Sit N Funebo quaecunque homogenea mdimensionum , ac ponatur L - xx Φ yy N, prodibit alia aequatio generalis haec M. HI N'Φ bi-ψυxHM'N' - α-Qxx i γχθη V - μ' o.
230쪽
I Id. II. 4r3. Si statuatur n - Σ , ut sit CIM-- CNy aa , fiet: vel a. LL-- xx-yy AIM, vel MM aa xx-ΕΠ N'. Utraque autem aequatio cum sit homogenea , continebit duas plurrsve aequationes hujus serniae αγ - β x ; ideoque quaesito satisficri non poterit nisi dualius pluribusve rectis per punctum C ductis, quae autem cum eo sensu , quo quaestio proponitur, non satisfaciant, perspicuum est hoc problema nullam admirarere solutionem , uti supra jam notavimus : deberet enim esse -CM - - C N constanti a. Quod si vero statuatur n - - Σ, ita ut quadranim differen riae CN-C AI ', ideoque ipsa disserenita M N deberee esse constans, orientur hae duae aequationesa a TL - xxΦγγὶ 1L - Mὶ
4sq. Dantur ergo innumerabiles Lineae curva', qtiae a rectis per punctium C duetis ita in duobus punctis M & N secantur, ut intervallum MN perpetuo sit constans. Ac primo qui dena, patet huic conditioni satisfiicere Circulum in C Centrum ha bentem, erit enim tum perpetuo intervallum AIN- Diamctro Circuli ; proclit autem Circulus ex aequationibus gencratibus, si ponatur Μ o. Tum vcro, post Circulum, satisfaciunt
contentae; ad quarum sermam cognoscendam expediet adaequationem