장음표시 사용
231쪽
aequationem inter & ang. φ regredi. Cum igitur sit xx -- CAP. ΥΤ ys . i. cos. φ, ela γαα .sin. p, polito erit Primo
seu ex quibus sicilis Curvarum constructio nascitur.
11. Ad Curvam enim aequatione F b. cos. φ' Fc conton- TAn. tam construendam , per C ducatur recta ACB, in qua suma- XX.
tur CD - b, & ex D sumatur utrinque DA DB c, erunt εl primo puncta A & B in Curva quaesita. Tum , ducta quavis 'recta XC M per C, ex D in eam demittatur perpendiculum D L, & ab L utrinque sumatur LM LN c, erunt puncta Μ & N in quaesiita Curva ; ideoque perpetuo inte vallum M N - χ e . uti quaestio postulat. Hic notandum est, si fuerit CD - b minor quam c, Cur- novam in C habi uram esse punc uni conjugatum.. S ia autem si l c , Curva in C Cuspide erit praedita , Fig. 8 revanescente intervallo AC. Dcnique , si sit b minor quam e , punctum A inter C & B Fu. 8s. cadet , Curvaque in C habebit nodum seu punctum duplex. Ceterum harum Curvarum Diameter erit recta AC s , & quae huic normaliter insistit ECF erit - 2 c. 16. Praeter has Curvas in se redeuntes ex Linearum ordine quarto , etiam sinissaciunt ex eodem ordine aliae in infinitum eXcurrentes , quae hac aequatione c continentur. Quarum constructio ita se habebit; ducta per C recta principali CAA , sumatur C υ - b, capiaturque DA I b c perunt puncta A & B in Curva. Deinde , per D ducatur no Euteri Intro tua. in Anac in n. Tom. II. Fi
232쪽
Lis. II. malis E DF ι &, acta recta quacunque CL, erit CL , vocato angulo DCL p. Tum perpetuo abscindatur LM LN e , atque puncta Μ & N determinahunt Curvam quaesitam. Ex hac autom constructione perspicuum est, Curvam sic descriptam esse Conchoidem , eterum ,. polum C habentem , & Asym totain rectam EF, ad quam quatuor Curvae rami in insaltum convergunt. Vocatur autem portio h Bh Conctois exterior, & g Ag interior, praeter quaS partes in C punctum existit conjugatum. I7. Hae Curiae ex Linearum ordine quarto satisfaciunt. Facile autem erit Curvas altiorum ordinum quot libuerit e hi here. Quod si enim fuerit P Functio impar sinus & cosinus anguli φ , tum ista aequatio r - b P c praebebit Curvam continuam , quam omnes rectae per C ductae ira in duobus punctis M & N iecabunt , ut intervallum MN futurum sit
constans c. Referri autem har Curvae omnes poterunt
ad genus Conchoidalium , loco rectae EF directricis substi
tuendo Lineam quamcunque Curvam aequatione φ - b P' contentam. Supra autem vidimus hanc aequationem in se complecti Lineas curvas , quae a rectis per punctum C ductis no nisi in uno puncto secentur. Quare , ob intervallum c arbitrarium , ex unaquaque Curva r b P innumerabiles Curvae qd praesens institutum accommodatae describi poterunt.
1 i , q18. Sumatur scilicet pro lubitu Curva CEDLF, qui XXI. ab omnibus rectis per punctum C ductis in unicis tantum punc- Fig. 37. tis D. L, secetur. Tum in his singulis rectis C L productis utrinque ab L capiantur intervalla aequalia LM LN e eruntque puncta vi de N in Curva quaesita. Sic igitur motu continuo describi poterit Curva AMPCOBNRC, quae a singulis rectis per C ductis in hinis punctis M & N ita inte secabitur , ut intervallum MN sit perpetuo constans he. Ubi notandum est, si Curia CEDF fuerit Circulus per pun tum C ductus, tum Curvam descriptam fore eandem Lineam quarti ordinis , quam Primo invenimus I. 6Ι . Dissiliaco by GOrale
233쪽
Ex A LIIS PROPRIE TA TIB S. 11
qi9. Sic igitur satisfecimus quaestioni, qua quaerebantur Lineae curvae A MN a rectis per punctum C ductis ita secandae in duobus punctis M & N . ut esset CN CAI seu C AM' - χCM. CN CN' perpetuo quantitas constans. Paucis igitur adhuc Gol amus casum , quo C A1' - - CAl. CN- C N' debet esse quantitas constans. In f. Ιχ. ergo Poni de-Bet 1r I , sicque nascetur vel ista aequatio a a LL aeae γγ L'-LM M' existente L Functione m in 1 , & II1 Functione m dimensi num ipsarum x & y. Vel orietur haec altera aequatio a a xx H FFὶ NN- xx H- yγ γ' NN- ΣΣ - - γγ M N-M Min qua M es Functio homogenea una dimensione superior ipsarum x & y , quam Functi O N. 4eto. Primum quidem perspicuum est, si ponatur M o , prodire Circulum , cujus Contrum in puncto C sit constitutum ; qui, cum Omnes rectae ex C ad Curvam ductae sint aequales , etiam omnibus hujus generis quaestionibus fatisfacit. Pro Praetenti autem calii poli Circulum Curvae simplicissimae prodibunt, si in priori aequatione ponatur II b & L X, eritque
Quod si autem in altera aequatione ponatur N- I, & A bx , habebitur quoque Linca quarti ordinis
234쪽
et r. His expeditis quaestionibus, consideremus altiores potestates binorum ipsius y valorum ex aequatione/- Pi Η'Q o , existente P - - & Q-EM : ubi L Functio nem homogeneam n - - 1 ; AI, n Φ I & N, n dimensionum ipsarum x & y signiscat ; estque x Abscissae CP & y Applicatae P AI. Proposita igitur sit quaestio , qua binae interi Echiones I I & N ejus indolis roquiruntur, ut sit C M' in CN ' a'. Cum ergo sit, ex aequationis r -Fr Q - O, natura , CAI' 4- CN' - Ρ' - 3PQ dehebit bine P ' 3 PQ a' : quae aequatio , cum P ' Ela P Q sint quantitates irrationales , locum habere nequit. Huic ergo quaestioni instrieto sensu prorsus satisfieri non pote : sin autem num rus intersectionum non spectetur etiamsi duabus plures prodeant , tum quidem infinitis modis Curvae satisfacientes inveniri pota sunt, ponendo Q ----, & pro P capiundo Functi nem quamcunque sinus & colinus anguli ACRI - φ. 22. Sin autem ejusmodi Curvae requirantur, in quibus sit C M' Φ CN' - a' , tum poni debebit P P'Q-F χQQ- a' ; quae aequatio, cum nulla insit irrationalitas , nullam involvit contradictionem. Debebit ergo esse Q PP -μέ T P - - - a , quae Functio , non obilante signo radicali, tanquam uni sermis spectari potest, quia si v T P Φ-a sumeretur negative, pro valores imaginarii resultarent.. pro Curva sit L - AI H- N - i
235쪽
quae aequatio , si fuerit n numerus par, jam est rationalis quaesitoque satisfaciet. At, si sit n numerus impar , ad irrationalitatem tollendam quadrata sumi debent; quo fit, ut numerus interscctionum duplicetur . sic ille Curva oriatur non eo sensu satisfaciens uti desideratur. Sic , si d bout
236쪽
C N ponatur r, erit altera P - Hinc , si CC N' debeat esse constans , erit ρ P - ' P. 14-
dimus autem esse debere P - , & Q - ; ita ut sit L
tiones Is & N, ut sit C M' ε C N' - a' ; at praeter has habchuntur duae aliae intersectiones eadem proprietate gaudentes, ita ut quaelibet recta per C ducta bis proprietatem propositam involvat. et s. His expositis, facile erit quaestiones alias maxime difficiles resolvere : debeat enim Curva inveniri qu:e ab omnibus rectis per C ductis ita in duobus punctis AI & N secetur , ut sit
laus a'. Ponatur alter valor Cu- r, erit alter CN
237쪽
N sunt Functiones homogeneae ipsarum x & y dimensionum m ε Σ , m -- I & m , uti supra descripsimus: unde erit, vel L - M-N , vel N - A1- L sicque infinitae solutiones hinc deducentur. 16. Pergamus jam ad Curvas investigandas , quae a singulis tectis pcr punctum fixum C diictis in tribus punctis secentur. Hujusmodi ergo Curvarum natura exprimetur hac aequatione generali
ubi r denotat distantiam cujusque Curvae puncti a C ; & P, Q, R sunt Functiones anguli ACII φ, ejusve sinus &colinus. Per easdem autem rationes quas supra allegavimus apparet, ne plures quam tres interscctiones prodeant, P & Resie debere Functiones impares ipsius sin. p & cof φ; Verum Q statui debere Functionem parem. Quod si ergo ponantur Coordinatae orthogonales C P - x , P Μ - y , ut sit x x -μγy-ri, atque denotent Κ, L , Μ, & N Functiones hom
inter Coordinatas orthogonales x Scy habebitur pro hujusmodi Curvis issa aequario generalis Κ-LΦM-N- o; ex qua patet punctum C sore Curvae punchum totuplex quot
q27. Primum ergo , huc pertinent omnes Lineae tertii os dinis , ubicunque punctum C extra Curvam capiatur. Deinde, in hac aequatione continentur omnes Lineae quarti ordinis, dummodo punctum C in ipsa Curva accipiatur. Tertio, omnes Lineae quinti ordinis, in quibus datur punetum duplex huc Leseruntur, si modo punctum C in evrum Puncto duplici conia
238쪽
IIB. II. tituatur. Similique modo Lineae alitorum ordinum hanc como '' ditionem implebunt, si habeantur puncta multiplicia tanti e ponCntis, quot n contineat unitates, si ii ε 3 cxponat ordinem , ad quem aequatio pertineat. q23. Sint p, q, r tres illi valores ipsius r , quos obtinet ex aequatione/- Pr' --- Ω - o, pro quovis V lore anguli C A M m; critque , ex natura aequationum P pq-q- - r έ Q pq p r q r &. R p q r. Cum jam P Ω L per x & y rationaliter exprimi nequ2ant, manifestum cst ejusmodi Curvas eXbiberi iacia posse , in quibus sit vel f Φ q H- r vel p q r quantitas constrans, neque adeo ulla Functio impar ipsarum ρ, q, & r, constanti aequalis poni poterit. Pares autem Functiones sine ulla difficultate constantem valo-rcm obtinere poterunt. Sic , si requiratur ut sirp q - - p r -F-qr aa, erit Q aa : ideoque M xx ψ yy cnς; qui valor in aequatione Κ - L-9M-N o , substitutus, dabit ae iliationem generalem Omnes Cumas hac proprietate praditas in se complectentem :M xae 4-γγὶ-a a L-a a II-a a N vel, eliminando AI, hanc xx 1ὶ Κ - aex Φ L-baa K- ae Σεyy A' P. 29. Pari modo , aliae similes quaestiones facile rcsolventur. Uti, qua ratur Curva , quae a rectis per C duci is ita in tribus punctis secetur , ut sit μ' - - ς' H- r' - a. Cum enim st
239쪽
numerus ternario superet minimum. Quo igitur hujusmodi C A r. Obtineatur aequatio , simulque sit xxΦn L - 1 - Η-YVὶ X V iKM-na LX , multiplicetur illa aequatio per et xx byyὶκ, ut eliminari possit M , atque prodibit haec aequatio generalis casui proposito satisfaciensi xxv I in XL-2 xx-hγγὶ XL- - XΣHIM L'-aaΚΚ-2 x μγγὶ ΚΝ o. Membrum enim , in quo plurimae innini dimensiones , est α 0' ) KK , continetque - Φ 8 dimensiones ipsarum x &y ; atque membrum infimum cst a xx Φyy ΚN, di continet an q- s dimensiones , uti natura rei postulat. 43o. Quoniam ergo neque summum neque imum membrum evanescere potest , ponamus , ad Curvam simplicissinam inveniendam, n o; sitque N b' , Κ x xx lv , &L o, utque prodibit haec aequatio
quae pertinet ad ordinem tertium. Sin autem non sit L o. sed L ac xx-Hyy , prodibit aequatio ordinis quarti xx xx φ ὶ-acae ΣΣ IF Φ aee ΣΣ - - M-- aaXX-b X o, seu xx xx 'πὶ φ - aer xxε1y aaxx ab' x. Simili aut ni modo ex altioribus ordinibus plurimae aliae Curvae qme boni satisfacientes eruentur. 3I. Deinde ctiam Curvae inveniri potoriant eae in quibus
240쪽
LIB. II. unde valor ipsius N in diluatione Κ - L Φ Μ- N O , 'substitutus dabit aequationem generalem pro Curvis huic conditioni latisfacientibus. 32. Poterit autem simul & huic conditioni p' ε ς' - ν' - c' , & praecedenti ρ' - ς' -- r - a satisfieri. Per hanc enim esse debet rr L' - αγν ΚΜ aaXX unde fit 1rrΚ
a IC κζ' - L' i' a a X' L' o - α α' Κ', ideoque pro Curvis quaestis habebitur haec aequatio generalis
33. Quiae X debet esse Functio homogonea ipsarum x &y una dimensione altior quam L, Curva simplicissima in qua tres intersectiones exhibeant simul ρ' - - q -- r - a' , &p' - Φ Η - e' prodibit, si ponatur K - , & L se x ; erit ergo Digiti co by Cooste