장음표시 사용
241쪽
quar, ob ta x x H- yy , est rationasis p betque Lineam ordinis septimi , cujus C est punctum quadruplex. Alia autem Ianea septimi ordinis satisfaciens Gtinebitur , si ponat Κ - x, dc L-b; erit enim
N , δέ ax-bὶ ι Σα-abae 4 bδὶ 34. Iam ulterius progredi liceret ad Curvas, quae a rectis per punctum C ductis in quatuor punctis inter centur; atque ex iis illae inveniri possent, quae datis proprietatibus sint praeditae. Vcrum , si ad praecepta in praecedentibus tradita attendamus, nulla prorsus supererit difficultas, omniaque, quae ialtoc genere desiderari poterunt, sine nullo fere inhore vel exinpedientur, vel, nisi quaestio solutionem genuinam admittat, hoc ipsum statim cognoscetur. Quam ob rem huic materiae amplius non immorabor, ad aliud argumentum ad cognitionem Linearum curvarum pertineus Progressurus.
242쪽
136 DE SIMILITUDINE ET AFFINITATE
DE Similitudine o Asinitate Linearum curvariam. et s. IN cunni aequatione pro Linea curva, praeter Coord
natas orthogonales x&y, inesse debent quantitates conflantes , vel . una Vel plures, uti a, b , e, &c. ; quibus Lineae conssantes designantur , & quae cum variabilibus x & y ubique cundem Linearum dimensionum numerum , constituunt: Si enim in uno termino extet productum ex n Lineis in se invicem multiplicatis, necesse est ut in singulis reliquis terminis totidem Lineae in se invicem multiplicentur , quoniam alias quantitates heterogeneae inter se comparari deberent , quod fieri non potest. Quocirca in omni aequatione pro Linea curia Lineae constantes a, b, c, &c., cum variabilibus x & y ubique eundem dimensionum numerum constituent , nisi forte Linea quaepiam constans unitate vel alio numero absoluto exprimatur. . Hoc igitur notato, si nullae Lineae constantes inaequatione inessunt , tum variat,iles x&y solae ubique eundem dimensionum numerum adimplerent, ideoque Functionem homogeneam constituerent. Supra autem jam vidimus tmjusmodi aequationem ad Lineam curvam non pertinere , sed aliquot rectas se invicem in eodem puncto intersecautes exhibcre. 36. Contemplemur igitur aequationem in qua , praeter binas variabiles x &y, unica insit Linea constans a ; ita ut tres Lineae a. x, dc y ubique in aequatione eundem dimensionum numerum constituant. Hujusmodi Ergo aequatio , prout Lineae conflanti a alii atque alii valores tribuantur, infinitas producet
Lineas curvas, quae tantum quantitate a se invicem discreparent, ceterum vero omnino similes inter se sint futurae. Omnes ergo Lineae curvae, quae hoc modo in cadem aequatione comprehenduntur , merito ad idem genus resemuntur atque inter se
243쪽
similes esse censentur, neque aliud in illis deprehendetur dista crimen , nisi quod in Circulis diversae magnitudinis incile in telligitur.
XVII I. 437. Quo haec similitudo melius. percipiatur , consideremus aequationem determinatam, praeter variabiles x & γ, unicam Lineam constantem a , quam Parametrum vocare liceat, continentem , hanc
Sit AC valor Para metri a ; atque, existente AC - a , si ΤAn. AMB Linea curva hac aequatione contenta, sumta recta AB iPro AXe , vocatisque Coordinatis AP - χ & PM-y. s 'Tribuatur jam Parametro a quicunque alius Valor ac ia , sitque amb Linea curva , quam nunc illa aequatio praebet, eruntque hae Lineae curvae AMB & amb inter se similes. Τλη. Quod si enim maneat AC a, AP x , IMI F, a que sit ac - - AC - - ς tum vero capiatur apta - AP - , erit pni - - P LI ; nam quo si in illi aequatione , loco a , x , & y , scribantur respective - , - & Z- ob omnes terminos per n' diviscs , eascim
ipsa resultabit aequatio. 38. Curvae orgo snniles hanc habebunt proprietatem . ex qua similitudinis natura eo luculentius apparebit , ut suratis Abscillis A P, ap in ratione Parametrorum AC & ac Appliacatae EM & pm simul eandem habitum sint rationem : scilicet , si sumatur AP : aρα- AC : ac , tum quoque Erit PM : p m - AC : ac. Cum ergo sit AP : PM ast: ρm , hae Curvae in sensu geometrico inter se erunt simitra , atque , quantitate excepta, iisdem prorsus assectionibus gaudebunt.
Sunitis nimirum Abscissis A P , ap homologis seu Fara metris Ac & ac proportionalibus, non solum Applicatae P Is &
244쪽
Ν Ψ38 DE SIMILITUDINE ET AFFINITATE
LΤ8. II. pm ratioaetna tonebunt Para metrorum sed etiam omnes aliae.
Lincar similiter ductae, quin etiam Curvarum arcus A M & amerunt ut AC & ae. Tum vero etiam Arear similes AP Μ& apm erunt in ratione duplicata , seu ut AC' ad ae'. A que , si sumantur duo puncta homologa O & O quaecunque , ita ut sit A O : no - AC : ac , ex iisque sub aequalibus angulis AOM, aom ad Curvas rectae ducantur & om, erit quoque o M : om AC : ae. Ob similitudinem denique etiam Tangentes in punctis homologis M & m ad Axem aequaliter inclinabuntur , atque adeo radii osculi ibidem tenς-bunt rationem Para metrorum AC & ae. 39. Hinc putet omnes Circulos esse figuras similes, quae con tinentur aequatione v --xx ἔ parique modo omnes Cur ae aequatione v - ox contentae, hoc est omnes Paraholae , erunt inter se figurae similes. Ex hujusmodi autem aequationibus , quibus Curvas similes contineri vidimus , quia Coo dinatae x & y cum Parametro a ubique eundem constituunt
dimensionum numerum ; si valor ipsius y definiatur , reperietur is aequalis Functioni homogeneae unius dimensionis ipsarum a & x. Vicissim ergo , si denotet P Functionem homogeneam
unius dimensionis ipsarum a & x, aequatio y P innumcra-hiles continebit Curvas similes , quae oriuntur , si Para metro a successive alii atque alii valores tribuamur. Simili autem
modo ex hujusmodi aequatione pro Curvis similibus Ahscissa aeaequabitur Functioni unius dimensionis ipsarum a & y, atque ipsa Parameter a aequalis erit Functioni unius dimensionis ipsarum x & y. 64o. Data autem Curva quacunque A MB, infinitae aliae ipsi similes amb per facilem praxin describi possim t. Sumatur enim
ratio riuaecunque , quam latera homologa Curvae datae di de crihendae inter se tenore debeant, quae sit i : n; atque, si Curva data AMB reseratur ad Axem AB per Coordinatas no
males A P I P M , super Axe simili ab capiatur Abscisia ap, ut sit A P : aρ - I : n , & ex p crigatur Applicata normalis p ci, ut sit paritvr P M: p m I : n , eritque punctum m id Dissiligod by Corale
245쪽
Curva simili a m b, ita ut puncta M & m sint homologa. Vel, descriptio quoque ex puncto quocunque fixo O absolvi poterit; sumto enim in Curva describenda puncto simili fixo
O , fiat perpetuo angulus a O m aequalis angulo A O M, & ah- scindatur o m , ut sit O M: O m - I : n , eritque punctum mpariter in Curva simili amb. Hoc itaque modo , pro quamvis r itione I : n ad arbitrium assumta, Curva similis describi po-rerit. Solent autem in hunc finem confici instrumenta mech di Ca , quorum ope figurae cujuscunque magnitudinis , quae sint
natae similes, delineari possunt.. Mi. Quod si igitur natura Curiae propos AM exprimatur aequarione quacunque inter Coordinatas A P - x , &PM - y , inde facili negotio reperietur aequatio pro Curva smili am. Sit enim Abscissa homologa a p - X & Applicatapm Y ; erit ex constructione x: x I : n&γ: Y L n; Ic Y . ' unde fit x - - & y - -. Hi ergo valores in aequatione in x & y data substituti producent aequationem intor X Sc Upro Curvis similibus. Si igitur in hac nova aequatione solae
Coordinatae X & Y cum littera n dimensiones constituere consuantur a numerus dimensionum ubique erit nullus ; vel, si aequatio , ad fractiones tollendas , multiplicetur per quampiam potestatem ipsius n , orietur aequatio, in qua tres liae quanti tales X, U, & n ubique eundem dimensionum numerum pro ducant. Supra autem vidimus in omni aequatione pro Curvissimilibus ambas Coordinatas cum ea constante , cujus Variatione Curvae similes existunt , ubique eundem dimensionum numerum constituere; quod igitur est criterium aequationum Curvas similes continentium.
2. Quemadmodum in Cumist similibus Aldiscissae & Applicatae homologa, in eadem ratione sive augentur sive diminuuntur; ita, si Abscisin aliam sequantur rationem , aliam vero Applicatae , Curvae non amplius Orientur similes. Verum tamen , quia Curvae hoc modo ortae inter se quandam Alsinita tem tenent, has Curvas ausines vocabimus : complectitur ergo
246쪽
αψ' DE SIMILITUDINE EX AFFINTATE
T in II. As nitas sub se smilitudinem tanquam speciem : quippe Curvae a15ncs in similes ubeunt, si ambae illae rationes , quas Abscissae T . a. Applicatae seorsim sequuntur, evadant aequat CS. EX Curva orgo quacunque data AMB innumerabiles Curvae an nos amb'' repertcntur hoc modo ; sumatur Abscissa ap, ita ut sit AP t op I: m; tum constituatur Applicata pm , ut sit PM :pm I : n ; sicque , mutando harum rationum I : m & I : n , vel alterutram vel utramque , innumerabiles prodibunt Curvae , quae primae A MB erunt a fines. 4 13. EXprimatur natura Curvae datae AMB aequatione quacunque inter Coordinatas orthogonales AP x, ei PAM - y; atque in Curva allini amb modo praecedente descripta ponatur Abscissa ap - X, & Applicata pm T, ob x: A
I : m , & y : T- I : n , c t x- - & y - - Quod si ergo hi valores in aequatione inter x&y data substituantur, proveniet aquatio generalis pro Curvis aisnibus inter X & T. Ad hujus aequationis naturam penitius CVolvendam i ponamus aequationem pro Curva data AMB ita esse conformatam , ut Applicata y aequetur Funelioni cuicunque ipsius x, quae sit P , seu es Ie y P. Si igitur in P loco x substituatur siet P Functio nullius dimensionis ipsarum X Ela m ; ide que aequatio generalis pro Curvis Assinibus ita erit comparata , ut arsuctur Functioni nullius dimensionis ipsarum X & m ;seu, quod eodem redit, Func io nullius dimensionis ipsarum Y cc ii aequabitur Functioni nullius dimensionis ipsarum X & m. d a. Discrimen autem inter Curvas smiles & affines hoc potii mum est notandum , quod Curvae , qiue sunt similos res pectu unius Axis vcl puncti fixi, caedem similes sint futura respectu aliorum quorumvis Axium seu puniatorum homologorum. Curvae autem, quae tantum sunt assnes, tales tantum sunt respectu eorum Axium , ad quos reseruntur, neque Prolubitu alii Axes, seu puta Ia homologa, in ipsis dantur, ad quae Dissili od by Corale
247쪽
quae affinitas referri possit. Ceterum vero , notandum est, uti C A P. Omnes Curvae similes ad eundem ordinem , atque adeo ad Midem Linearum Genus reseruntur; ita etiam Curvas ustines semper in eodem Linearum ordine eodemque genere comPr hendi. Quae ut clarius percipiantur, similitudinem atque assinitatem nonnullis exemplis Curvarum notiorum illustrasse conveniet.
4s. Sit igitur Curva data Circulus ad Diametrum relatus,
cuius natura vix primitur aequatione yy - 2 cx-X T. PonRtur α - - - & y --, atque aequatio inter X & T resultans complectetur omnes Curvas similes ; erit aut m ----
zequatio generalis pro Ellipsi ad alterum Axem principalem
relata ; unde intelligitur omnes Ellipses esse Lineas curvas Circulo astines. Quare, omnes Ellipses sunt quoque Curvae inter se a sines. Simili autem modo intelligetur, omines Hyperbolas ulte Curvas inter se affines. Ellipses autem , atque etiam Hyperbolae, in quibus eadem ratio inter hinos Axes princi palcs intercedit, Curvae erunt inter se similes. 46. Quod ad Parabolam aequatione yy c x e pressam attinet, perspicuum quidem est omnes Curvas ipsi similes quoque esse Parabolus, atque adeo omnes Parabolas esse Curvas inter se similes. Quod si autem ad Curvas Parabolae amnes spectemus , Possit O y - - & x - , prodibit aequatio Γ'α- X, quae cum etiam sit pro Parabolis, manifestum est.
teri Introduci. in Anal. in . Tom. II. II h
248쪽
1 1 DE SIMILITUDINE ET AFFINITATE
II. quae Curvae Parabolae sint assines, easdem smul Parabuin e Te similes ; ita ut hoc casu similitudo aeque lute pateat atque
assinitas. idem quoque evenit in omnibus Curvis , qua Pum natura exprimitur aequatione duobus tantum terminis conflante,
cujusmodi sunt γ' - ccx; y' - cxx; γ'x c'; &c. ; his nimirum Curvis , cum parabolicis rum hyperbolicis, quae aliae Curvae sunt assines eaedem quoque sunt similes; quae convenientia in Curvis alius generis non locum habet, uti jam de Circulo & Ellipsi notavimus. ψ . Quemadmodum ex data aequatione inter x φ y.
quam quotcunque quantitates conflantes a, b, c, &c. ingrediantur, si singulis constantibus determinuti valores tribuantur, unica Linua curva determinata oritur; ita , sit una constantium, puta a mutabilis assumatur, eique successsive alii atque alii Valores tribuantur, quia ex unoquoque valore peculiaris Cur va nascitur , omnino infinitae Curvae orientur, quae erunt simi les si , praeter a , nullae aliae Lineae conflantes aequationem in grediantur ; contra vero dissimiles. Sin autem, Praeter a , alia quoque constans b mutabilis statuatur ; tum, ob mutabilitatem ipsius b , ex unoquoque ipsius a valore emergent Lineae curvae infinitae, sicque omnino ex mutabilitate duarum constantium a & b infinities infinitae provenient Lineae curvae disierentes. Si insuper tertia constans c mutabilis assumatur , tum adhuc infinities plures resultabunt Lineae cum ; sicque quo major fuerit constantium , quae mutabitus statutintur, num rus,. eo majore infiniti potestate numerus Curvarum resultantiunt
8. Consideremus autem aliquanto diligentius eas Lineas curvas infinitas , quae ex una ae luatione Prodeunt, dum tantum una Linearum constantium mutabilis assumitur. Hujus
modi autem aequatio, si idem Axis idemque Abscissarum inbtium retineatur, non solum Linuas illas curvas infinitas exhL. bet, sed Eliam earum positionem indicat , ita ut his Curvis infinitis spatium quodpiam impleatur , in quo nullum asIignari queat Punctam , quia per id aliqua insultarum Curvarum tran-
249쪽
seat. Prout ergo aequatio fuerit comparata , Curvae illae infinitae vel erunt dissimiles vel similes, uti ex praecedentibus judicare licet; quin etiam ei unire potest, ut omnes Curvae sint inter se non solum similes sed citam aequales , ratione stus tantum disserentes. Sic illa aequatio 3 a ε v 2 cx - xx , pciita n mutabili, exhibet it inlinitos Circulos aequales radii - c, quorum centra sunt in recta ad Axem normali sita. 9. Hinc etiam vicissim , si una . eademque Curva super plano in infinitis diversis sitibus secundum certam legem descri-harur , arquatio priaburi poterit, qua per unius conflantis mutabilitatem omnes hae infinitae Curvae inter se aequales si naul exhibeantur. Sit Curva infinitis variis sitibus exhillita Circulus cujus radius -c, qui ita infinities describatur , ut vertices A , a, datam Curvam is a L , quae Diremis vocetur, constituant; Diametri autem a b perpetuo AXi A II maneant parat
telae. Ad aequationem ergo pro his infinitis Circulis inveniendam , sumatur quodvis Di rectricis punctum a , unde in Axem principalem demittatur perpendiculum, a X. Ponatur AK a ;& , ob Di rectricem datam , dabitur X a per a : sit ergo Κ a A , eritque A Functio quaepiam ipsus a data. Tum cx ά Axi principali ducatur parallela ab , qtiae erit Diameter Circuli Vestictim in Directricis puncto a habesntis , eX cujus puncto quovis ni ducatur Applicata m P y , respondens Abscisi e A P-ae;
4so. Simili modo si, loco Circuli, alia quaecunque Linea Curva a m b ita promoveatur secundum ductum Di rectricis An L, ut ejus Vertex seu Abscissarum initium a sti Directrice , atqu2 Axis ab sibi perpetuo parallelus maneat, eadem Linea
250쪽
ε DE SIMILITUDINE ET AFFINITATE
LIB. II. curva infinities descripta habebitur, atque aequatio inveniri pocterit, qua omnium harum Linearum curvarum natura simul comprehendatur. Data sit natura hujus Curvae promotae per aequationem inter Coordinatas a p t & ρ m u ; ac , pro
Axe principali , ad quem omnes Curvae junctim consideratnreserantur sumatur recta AB Axibus ab parallela , qtiae limulsi Axis Directricis A a L. Posito jam , ut ante A X a,& Α Ο - Α, ita ut A sit Functio quaedam ipsus a, vocetur Abscissa AP - x, & Applicata P m y, erit i x a,& u y - A. Quod si ergo hi valores loco i & v in aequatione inter i & ti data substituantur , obtinebitur arquatio generalis omnes Curvas amb conjunctim complectens. Quicunque enim valor determinatus ipsi a tribuatur , prodibit unaquae/am Curva amb ex infinitis quae per hunc motum sunt descriptae. Sic , si Curva amb fuerit Parabola aequatione uti et expressa , tum infinitae Parabolae aequales , quarum
Vertices per Dircetricem A a L sunt dispositi, Axusque rectae A B paralleli, continebuntur in hac aequatione y- A '
4si. Quemadmodum hic Verticem Curvae A in data Cusva Di rectrice ita promoveri posuimus, ut ejus Axis sibi sena
per maneret parallelus; ita etiam , dum Uertex per datam Curvam transfertur , positio Axis Curvae a b utcunque variari poterit; sicque multo generalior obtinebitur aequatio pro eadem Curva in dato plano secundum quamcunque Iegem infi-T h. nities descripta. Quod quo Clarius expediami s , ponamus pri-XXII. mum Verticem Curvae A per circumserentiam A a ita pro-F D 9 gredi, ut Axis Curvae. a b perpetuo ad Centrum Circuli odirigatur. Motus igitur rotatorius Curvae A M B cum Axe B A O circa punctum O factus exhibebit omnes istos infinitos ejusdem Curvae AMB situs diversos quos omnes in una aequatione , quam constans quaepiam mutabilis posita ingrediatur , complecti oportet. 12. Statuatur radius invariabilis AO - a O e; sitque
angulus A O qui mutabilis assiumitur : ex Curvae tu siti Diuitiaco by Cooste l