장음표시 사용
251쪽
quocunque amb descriptae puncto quovis m ad rectam O A Bpro Axe principali. assum tam demittatur Applicata m P, sitque o P - x , & P m-y. Tum ex m in proprium Curvae ambAxem a b demittatur quoque perpendicularis m p : vocatisque a ρ t, & ρ m u , dabitur aequatio invariabilis inter i &u, qua natura Curvae amb eXprimitur. Ex P ducatur Psipsi O b parallela, cui Applicata mp producta occurrat in s.
prodibitque aequatio generalis inter Coordinatas x & y, quae, angulo α mutabili assumto, omnes Curvas amb in se complectetur. 13. Promoveatur nunc autem Uertex Curvae AMB cundum Di rectricem quamcunque A a L. interea vero positio Axis ab continuo ita mutetur, ut angulus aq O a quomodocunque pendeat a puncto a. Scilicet , Vertice in a versante ,
sit A Κ - a , di κ a - Α , atqu2 angulus A O a α; ubi, ob Di rectricem datam, erit A Functio quaedam cognita ipsius a : anguli α autem sinus cosinusve sit pariter Fumnio quaepiam ipsius a. His positis , erit K O --, & Oa --δ--. EX Curvae amb Puncto quocunque m primum ad Axem principalem A O demittatur perpendiculum m P, tum vero et am in proprium Axem m p , sitque A P - x , P m y ;& ap t, ρ m u, dabiturque aequatio invariabilis inter Coordinatas t&v, eX qua aequatio variabilis inter x Scy omnes Curvas amb complectens definiri debet. 4s . Ad hoc praestandum ex P in m p productam ducatur normalis P s , quae erit Axi Curvae ab ta parallela : atque, ob angulum P ms - A O a - α , erit P s y. sis. α nas
252쪽
sDE SIMILITUDINE ET AFFINITATE
orietur aequatio quaesita inter x Si y. Quacunque ergo lege eadem Curva a m b in plano infinities describatur, hoc modo invenietur aequatio generalis istas Curva omnes simul in se
ss. Hoc igitur modo in aequationem includuntur Cumae numero in sinitar caedem , tantum ratione situs a se imicem dis crepantes; si quidem aequatio, quae intur e & v datur, fuerit in ariabilis, neque coni antem mutabilem a in se contineat. Quod si autem una 'pluresve conifantes, clua in aequatione inter i ἰχ u instant, simul ab a pendere talumantur , tum obtinebuntur inlicitae Curvae diversie, sive similes sive distimiles, eadcin pariter aequatione contentae : Similes scilicet erunt omnes Curvae, si aequatio inter i & u ita fuerit comparata ut uaequetur Functioni cuicunque homogeneae unius dimensionis ipsarum t & f, cxillente s quantitatu utcunquq ub a pondentu ἔsn secus accidat, Curvae erunt di similes. 16. Ut hoc argumentum Curvarum divzrsarum exemplo illustremus, ponamus infinitos describi Circulos AB, α B, a m B per datum punctum B transeuntes, qui omnes Centra sua habeant sita in recla A E, cujusmodi Circulis in mappis geographicis meridiani repraesentari solent. Dcmittatur ex BDisitigod by GOrale
253쪽
perpendiculum :n rectam AC, sitque B C c, quoia intervallum est invariabile. Tum consideretur Circulus inlinitorum descriptorum quicunque amB ; unde una dc mista Applicata ni P , sit C P x, & P m -y, radius porro hujus Circuli, qui, cui re pectu ejusdem Circuli est conitans , tamen respectu omnium est mutabilis, ponatur aE ΓΕ a: erit CE ' v aa-ce & P
γ' in x' - - χxv aa-ccὶ - - aa- cc aa ; seu yy cc-2xv aa - - xx : sin autem intervallum C E loco constantis variabilis in aeqvationem introducatur, ponaturque C E a , habebitur haec aequatio aliquanto simplici Or yy G-2aac - .uc, quae, ob mutabilitatem ipsius a , Omnes omnino Circulos per B duetos & Centra in recta A E habentes exhibebit. Simili vero modo Curvae quaecunque infinitae certa quadam lege dispositae ad unam aequationem revocabuntur , dummodo dita crimen inter conflantes variabiles & invariabiles probe ob
4s . Q υεκ ΟΜΟΠυM Lineae curvae a rectis interscccntur, in praecedentibus Capitibus jam saepius vidimus , ubi ollundimus Lineas secundi ordinis a rectis in pluribus quam duo-hus punctis secari non polia , Lineas autem tertii Ordinis plures quam tres intersectiones , & quarti ordinis plures quam quatuor & ita porro non admittere. Cum igitur in hoc Capite constituerim intersectionus , quas duae quaevis Curvae inter se faciunt , definire , oportebit hanc traetationem a Linuis rectis inchoare, atque ipsa illa puncta indagare , in quibu; recta quaepiam data Curvam datum trajicit. Hoc enim modo via parabitur ad intersectiones mutuas Linearum curu
254쪽
L: d. II. rtim determinandas, quod argumentum maximum usum habere' solet in construendis aequationibus alii orum graduum, qua de re in seqtienti Capite sulcius tractabo. T 8 v- a. 3 3. Sit igitur proposita Curva quaecumque A Mm, cujus 1; natura data sit per aequationem inter Coordinatas orthogonales A P - x . PM-y. Ducatur jam recta quaecunque Γ Mm, quae quot & quibusque in pulictis sectura sit Curvam A umdcliniri oporteat. Ad hoc quaeratur aequatio pro Linea recta rariter inter Coordinatas orthogonales x & y ad eundum Axem AP idemque Abscissarum initium A relata. AEquatio ergo pro Linea ructa erit liiijusmodi α x Φ β γ - γέ qua i dicatur , posito x o, sere y AD - γ, posito autem O , sore x - A B - - ; unde, concursus B hujus rectae cum Axe, pariterque angulus ad B , cujus tangens est - - - - - , innotescit. Sic igitur tam Cum a quam Recta proposita per aequationes inter communes Coordinatas x & y QS primuntur. 39. Quod si in utraque aequatione Abscissas x perpetuo aequales assumamus, Applicatae 3 , si sinit diversis, ostendent, quantum Cur ae & rectae puncta cidem Abscissae respondentia a sti invicem distent. Si igitur ex utraque Gquatione aequalis Irodeat valor Applicatae y , tum ibi Curi a dc recta commune abebunt punctum, ideoque eo in loco dabitur intersectio. Ad infersectiones ergo inveniendas in utraque aequatione, praeter Abscissas x, quoque Applicatae y aequales striit confli luendae ; sicque habebantur duae aequationes duas quantitatesiacognitas x & y evolventes, ex quarum resolutione vel Absiaci illa x, quibus interiactiones respondent , vel Applicatae yreperientur. Scilicet, si cx illis duabus aequationibus eliminetur incognita y , aequatio nascetur solam incognitam x complectens , cujus valores cxlii hebunt Abscissas AP, Ap unde Applicatae P I1, pm eductae per intersectionum puncta s1 Sc mtransibunt.
255쪽
so. Cum arquatio pro recta dum sit αx Φ Αy - γ, ex ea fiet y - λα ' ; qui valors in aequatione pro Curva loco y substituatur , orietur aequatio tantum x continens, cujus radices reales praebchunt Omnes Ahs illas, quibus inter sectiones rospondent ; ideoque interscctionum numerus colligetur eae numero radicum realium ipsus x , quas aequatio inventa suppeditat. Quoniam vero in valore ipsus y -- -- , incognita x unicam tenet dimensionem , post substitutionem emerget aequatio, in qua x non plures habebit dimonsiones, quam antea in aequatione pro CVr a ambae x&r coniunctim tenuerant. Habebit ergo x vel totidem dimensiones vel pauciores , si quidem per substitutionem sis nam ae ipsius x potestates tollantur.
461. Inventis hoc modo Abscissis A P , Ap, quae inte sectionibus respondent , ex iis ipsa intersectionum puncta M& m facile definientur. Cum enim Applicatae in punctis P & perectae per intersectiones transi ant, ea tantum pilncta erunt notanda , ubi hae Applicatae rectam Bam secant. Notari quoque possent puncta, quibus istae Applicatae Curvae A Min occurrunt ; cum autem saepenumero una Applicata Curvae in pluribus punctis occurrat , incertum soret quodnam Curvae puncturi simul intersuclioncm si praebiturum. Hoc autem' incommodum usu non venit, si interscinones ex recta BMm aestimentur ;quippe a qua unaquaeque Applicata non nisi in unico puncto secari poth il. Quod si autem evcniat, ut duo ipsius x valoressant inter se aequales, tum duo intersectionum puncta M&man unum coalcscent; quo ergo casu vel recta B M Curvam ranget , vel eam in puncto duplici secabit. ΟΣ. Si, eliminata incognita γ, aequatio resultans qua aedes initur nullam habeat rudicem realem , tum hoc crit indicium Curvam nusquam a recta B M in secari vel tangi; radices autem reales quotquot fuerint illius aequationis ostendent toti dem intersectiones ; quia unicuique Abscillae reali una rectae
ni Applicata realis respondet; cui .cum sit aequalis Ap- Eulcri Introduci. in Anal. in v. Tom. II. I i
256쪽
- LIB. II. plicata Curiae , fieri non potest , quin ibi nulla existat intem' sectio. Haec ideo isto loco probe sunt notanda , quod in intersectione Linearum curvarum non semper singulae radices totidem interscctiones indicent; cujus ratio mox fiet manifesta , cum duas Lineas curvas contemplabimur, earumque intersectiones investigabimus. T h. 63. Sint igitur descriptae duae Curvae quaecunque ME m , XXIII. M Fm , quae se mutuo intersecent; ad quarum intus erctioues V D 9s definiendas, natura utriusque exprimatur per aequationem inter Coordinatas . orthogonales x & y ad eundem communem. Axem AB idemque Abscissarum initium A relatas. Sumtis ergo pro utraque Curva Abscissis x aequalibus , ubi dantur intersectiones , ibidem Applicatae y convenient. QuoCirca , si ex duabus Curvarum aequationibus propositis, eliminando F, formetur nova aequatio solam x tanquam incognitam involvens , intersectiones omnes M, m , m, quotquor fuerint indicabuntur per radices reales illius aequationis; scilicet, ALLcissae A P , Ap, Ap, &c. quae intersectionibus M, m ,m, &C. Tespondent , crunt valores ipsius x convenientes pro illa
6l. Inventis autem Abscissis his AP , Ap &c., quae in-
tersectionibus conveniunt, non tam facile erit ipsa intersectionum puncta definire. Si enim pro utraque Curva eidem Ab Dcis Iae A P plures Applicatae respondeant, quod evenit, si pro utraque Curva fuerit 3 Functio multiformis ipsius x, tum ex hac duplici Applicatarum multitudine eas, quae sint inter se aequales, eligi oportet : quae . investigatio eo erit molestior illo plures valores Applicata y in utraque Curva obtineat. Huic tamen difficultati facile occurretur, si , dum ex binis aequationibus propositis Applicata y climinatur , ea aequatio in subsidium vocetur , qua y per x definitur ; ex hac enim aequatione pro quovis ipsius x valore invento cognoscetur magnitudo Applicatae ex puncto P ad intersectionem usque per tingentis ; ncque ad hoc opus erit , naturam alterutrius vel adeo utriusque Curv.e Perpendisse..
257쪽
46s. Sit una Curva Parabola , cujus natura hac exprimatur aequatione F y - χ xy - - x x - 2 a x απα O ῆ altera Verosit Circulus aequatione γγ - - xx-cc Q ,' expressus. Ad y elimininandum subtrahatur primum prior aequatio a posteriori, ac remanebitCA Qxl x. 2 X y - - 2 a X-cc o, unde fit y - οῦ ex qua jam patet, quicunque valores pro x resultent, iis sem- Per valores ipsius y reales repertum iri. Substituatur ergo iste valor pro y inventus in altera aequatione, ac prodibit c - qaccx - - c c xx in x o , cujus adeo aequationis singulae radices reales prebebunt in te sectiones veras. Ponamus essu c - 2 a ideoque
q a' - qa' x - 3 a a x x Φ x o , cuius arquationis una radix est x - 2a, qua extraesta rem nebit haec aequatio
priori scilieot x- Σ a , respondebit y o, ita ut intcsiectio in ipso fiat AXe. . 66. Hinc intelligitur quoties ambae aequationes inter x & y Ita fuerint remparatae, ut in negotio eliminationis ipsius y inveniatur Functio rationalis ipsius x quae aequalis sit ipsi y ;tum unamquamque radicem realem ipsius x , quam ultima aequatio , postquam y penitus cst climinata , praebebit, cxhiabituram cssu intersectionem veram. Uerum , si inter eliminandum nulla inveniatur Functio rationalis ipsius x, quae aequalis sit ipsi tum evenire Potest , ut non omnes radices reales ex ultima
258쪽
L - II. aequatione erutae praebeant intersectiones veras. Tantus enim subinde valor pro x prodire potest ., cui in neutra Curva Applicata realis respondeat; neque tamen hoc casu calculus e roris est arguendus. Cum enim hujusmodi Abscissie pro utraque Curva Applicata imaginaria respondeat, in imaginariis autem aequalitas & inaequalitas aeque locum habeat atque in realibus ; nihil impedit, quo minus Applicatae illae imaginariae inter se sint aequales, ideoque intersectionem mentiantur. T A B- 467. Ad hoc clarius ostendendum , describantur super eo- ιγ ,s dem Axe BAE Parabola EM Param 'tri et a , & extracam Circulus A in B Radii - e : exi lente intervallo AE-b; . ita ut certum sit nullam prorsus dari intersectionem. SumaturA pro Abscissarum initio, quae versus E affirmativae, retro autem versus B negativae statuantur ; atque , pro Parabola habebitur haec aequatio yy χ a x- Σab; pro Circulo vero haec 3 --2 cx-xx. Quod, si jam , quasi intersectionem indagare velimus, eliminemus y , statim habebimus xx Φ 2 aq-c xaab o , ex qua duo pro x valores reales reperiuntur, nempe
quae expressio utique est imaginaria. , . 463. Ex hoc exemplo intelligitur dari etiam Curvarum imteriectionem imaginarias; quae, etiam ii sint nullae, tamen per calculum aeque indicuntur ac rcalcs Atque hanc ob rem era numero radicum realium ipsius x, quas ultima aequatio conti-nCt , non semper intersectionum numerus recte concludetur. fieri enim potest ut plWres radices reales actitat quam inter-x - - a - cε V a in e ' - α ab) , alter assirmativus, alter negativus; cum tamen nulla existat interseetio. Pro his scilicet duabus Abscissis tam Parabola quam Circulus exhibebit Applicatas imaginarias , quae, utut imaginariae , tamEn inter se erunt aequales: fiet autem hoc ipsius x. Valore substitutoy . v - 2aa- 2ac- χ ab ΦΣa v aa-2ae Φ ce ε 2 ab
259쪽
sectisines , atque etiam nulla omnino existat intersectio ; cum C L p. tamen duae pluresve radices reales ipsius x resultent. Interim S IX. tamen quaelibet intersectio semper unam inducet radicem realem ipsius x in aequationem ultim Em ; & hanc ob rem semper tot, ad minimum , erunt radices reales ipsius x , quot sunt intersectiones etiamsi interdum .plures radices reales assuerint. Utrum autem unicuique radici reali ipsius x intersectio realis
respondeat facile perspicietur , si valor ipsius y respondens qii
ratur, qui si prodeat realis, intersectio erit realis, sin sit immginarius intersectio quoque erit imaginaria vel nulla. 69. Haec igitur exceptio seu disterentia inter radicum realium ipsius x & intersectionum numerum tantum locum habet, si vel in utraque aequatione Applicata y pares tantum ubique habeat dimensiones , atque adeo Axis principalis simul sit utriusque Curvae Diameter; vel si ai ae aequationes ita fuerint comparatae, ut, dum eliminatur Π , simul y ex calculo exce- 'dat; sicque y per Functionem rationalem ipsius x exprimi nequeat. Sic , si altera aequatio fuerit 33-xy aa , altera vero y - 2 U' - - x'y bbo p cum ex priori sit yy-s ' a' , seu γ' - ΕU' a' - ΟΠ, substituatur hic valor in altera, eritque a - ΟΠ H- x'y bb6, seu Π - v
Videtur ergo dari duplex intersectio , sed an utra-cnie si realis ex valore ipsius y colligi debet, quem haec
aequatio yy--Xy a a suppeditat. Erit ergo
V V - - a a , cuius cum omnes radices sint reales ,
. - : .. hinae intersectiones reales respondeant.
V aa M) ι 7o. Quando autem neque AXis utriusque Curvae Di ametor existit , neque iste casus locum habet, ut dum altiores ipsius y potestates eliminantur, simul y Prorsus eliminetur; tum,
260쪽
quia ad Functionem rationalem ipsius x per enietur ipsi Iaequalem , singulae radices reales ultimae aequationis totidem indicabunt intersectiones veras , ita ut his casibus nulla cautione sit opus. Evenit hoc, si altera Curva abeat in reetam , uti ante vidimus, vel , si ejus Applicata exprimatur per Functionem uniformem ipsius x; tum enim nulli Abscissae respondebit Applicata imaginaria ; ideoque singulae radices ipsius x Oxhibebunt intersectiones veras. Plerumque autem, etiamsi y in utraque aequatione plures obtineat dimensiones , tamen inter eliminationem ipsius y, perveniri solet ad aequationem, qua valor ipsos y per Functionem rationalem , ideoque uniformem, ipsius x exprimitur.
71. Quoties autem accidit ut aliquot intersectiones quas calculus exhibet, sint imaginariae, id non solum iis evenit calibus , quando neutra Curva habet Applicatam realem illi Ahscissae inventae respondentema quod quidem factum est insuperiori Circuli & Parabolae exemplo. Sed etiam ejusmodi casus exhi heri possunt, quibus una Curva pro omnibus AbiacisIis praebet Applicatas reales , neque tamen singulis radicibus reali hus ipsius x intersectiones respondeant. Hujusmodi exemplum praebet Linea tertii ordinis, hac aequatione expressa γ' - 3ayy Φ et a Gy - 6ax, et O , quae pro omnibus Abscissis reales praebet Applicatas; & quidem ternas si fuerit x minor quam V Z. Quod , si cum
hae Curva combinetur Parabola aequatione yy- Ο, contenta, cujus nulla datur Applicata realis, si x sit negativum , is eoque Abscissis negativis nulla intersectio convenire Potes L 72. Eliminetur jam y : &, cum sit ex aequatione posteriori y y zax, prior aequatio abibit in hanc