장음표시 사용
261쪽
a , 3 π. Quoniam Vero illa aequario est diu sibilis per y - 3 x ; si dividatur , orietur aequatio ab y libera
haec χaa - - 2ax - o , unde oritur x -- a. Deberet ergo
esse intersedio Curvarum respondens Abscis Lae x--a, cui in Parabola nulla applicata realis respondet : in Linea autem altera tertii ordinis , posito x --a , fit γ' - 3πy- - 1 y-6a'- o , ex qua una nascitur Applicata realis , y- 3 a , reliqui duo ipsius y valores in aequatione yy - ' a. a a Ο contenti, sunt imaginarii ; hoc scilicet loco Applicatae illae imaginariae aequales fiunt Applicatis parabolae imaginariis eodem hoc loco ; sicque habebuntur duae intersectiones imaginariae. Habebuntur vero etiam duae intersectiones reales exsuperioris aequationis Factore γ-3x o , Oriundae; eX qua fit 9 xx-2ax - o. Primum ergo in ipso Absci11arum initio, ubi x o , simulque y o , existit intersectio , altera respondet Abscissae x - --, ubi est y 3x
X I q73. Hoc igitur casu perventum est ad intersectiones imaginarias , etiamsi in negotio et minationis ipsius y , prodierit aequatio 2Gy - 6aax -- 2aο- 6axx o , in qua y unicam tantum obtinet dimensionem , ita ut inde y per Function irationalem ipsius x exprimi posse videatur , quod ante tanquam criterium nullarum intersectionum imaginariarum annotavimus. Atque rex Era , si haec aequatio nullos haberet divi sores, intersectionibus imaginariis nullus locus relinqueretur , quoniam vero hoc casu per divisionem elicitur aequatio Applicatam y non amplius involvens , perinde est , ac si y pers unction in rationalem ipsius L exprimi non posiet. Quoties scilicet hujusmodi aequatio in Faetores est resolubilis, pro unoquoque Factore scorsim judicium est serendum , unita sit, ut, dum alter Factor intersectiones imaginarias penitus respuit , alter easdem admittato 67l. His perpensis , ostendamus aliquanto distinctius , quem -
262쪽
Lu . II. admodum duabus quibusvis Curvis propositis earum interse tiones definiri debeant : atque, cum haec investigatio ab eliminatione alterius Coordinatae y pendeat , ad hujus tantum dimensiones , quas in utraque sequatione obtinet , erit respiciendum. Eliminatio enim eodem modo absolvetur , utcunque altera Coordinata x utramque aequationem assiciat. Si intigitur P , Q, R , S, T &c. , itemque P , q, V, 3 , t dic. , Functiones quaecunque rationales ipsius x : ac primo quidem ponamus ambas Curvas, quarum intersectioines requiruntur , OXprimi his aequationil,
multiplicetur prior aequatio per ρ , posterior per P ; atque hae aequationes a se invicem subductae relinquent hanc aequationem ut, y prorsus liberam .
Ηujus igitur aequationis , in qua sola incognita x , praeter contata intes , inest, omnes radices males ipsius x praebebunt puncta in Axe , quibus intersectiones imminent. Pro quocunque valore ipsius x invento habebitur vatur ipsius y a Nilis ex alterutra aquatione y - - , qui intersectionem indicabit ;unde , si utriusque Curvae Adplicata I exprimatur por Functionem rationalem seu uniformem iplius x , nullae intersectiones imaginariae locum inveniunt. 7s Exprimatur jam alterius Curvae Applicata y per Functionem uniformem ipsius x ut ante ; alterius vero per Fun tionim biformem , ita ut sit LDiuitirco by Cooste
263쪽
Nunc multiplicetur prima per P r, & tertia per Q, atque, facta subtractione, emerget haec aequatio ab y libera.
Hujus a quationis ergo singulae radices praebebunt Abscissas intersectionibus respondentes , quibus cum Applicatae realesy conveniant , intersectiones erunt
676. Sit, ut ante , alterius Curvae Applicata aequalis Functioni uniformi ipsius x; alterius vero Curvae Applicata eXPrimatur per aequationem cubicam; seu , sit Functio triformis ipsius x, ita ut binae aequationes propositae sint liujusmodi :
264쪽
' in qua si loco γ valor ex prima y - u substituatur & akactionibus liberetur , proveniet ista aequatio PQ Qq pQ' - Ρ'Qr in P s - o, seu Q'p - PQ 'ρ ε P'Qr- P s- O, quae eadem statim prodit, si in secunda aequatione loco y ejus valor ex prima substituatur. Hujus ergo ultimae aequationis omnes radices reales ipsius x, quoniam singulis per primam aequationem y Applicatae reales respondent, totidem intersectiones veras monstrabunt. 77. Simili modo, si alterius Curvae Applicata 1 eXprimatur per aequationem quatuor pluriumve dimensionum, dum alterius Applicata manet Fumnio uniformis seu rationalis ipsius x, facile incognita y climinatur. Sint enim ambae aequatiOnes propositae
atque , cum ex priori sit y --, hic valor in altera subsistitutus dabit aequationem inter x & cognitas tantum hanc
Hujus ergo aequationis singulae radices ipsius x reales suppeditabunt totidem intersectiones veras ; proptera quod unicuique Abscissae x ex ptima aequatione assignari potest una Appi, cata y realis , nempe y - . 78. Exprimatur jam utriusque Curvae Applicata y pex
265쪽
aequationem quadraticam ; ac primo quidem puram , ita ut aequa. C A ν tiones ambae sint hujusmodi X I M
ax quibus, eliminando y y, statim obtinetur haec aequatio, P r - B p - O , cujus singulae radices reales tum solum demonstrant intersecti si valores ipsius x inventi ita fuerint comparati, ut vel -- fiat quantitas affirmativa ; tum enim , ob π -κ - ἡ , A pplicatay duplicem nanciscetur valorem rea- Iem , alterum amrmativum alterum negativum ; ideoque cuique Abscissae x valori ex aequatione P r- R P O , invento, hinae respondebunt inter mones, ab Axe utrinque aequaliter distantes , quod , cum Axis utriusque Curvae Diameter existatat, aliter evenire non potest. Quod si autem quis valor ipsius x ex aequatione P r - B p - o , inventus expressionibus - inducat valorem negativum ; tum, Ob y imaginarium , intersectiones quoque erunt imaginariae. 79. Ad sit nunc in utraque aequatione proposita quadratica secundus quoque terminus continens y, sintque ambae aequationes propolitae istae
Ad incognitam y ex his aequationibus eliminandam multiplic tur primum illa aequatio per ρ, haec vero per P, factaque subtraictione & divisione per 1, erit
266쪽
Cujus aequationis singulae radices reales ostendent totidem interfectiones veras , si quidem cuique valori ipsius x valor re lis ipsius y convenit ex aequatione III. vel IV. Interim tamen fieri potest , ut intersectiones sint imaginariae , quod evenit si aequationes III. & IV. habeant Factores ; ita ut ex iis jam per divisionem arquatio ab y libera elici qu2at. Tum enim haec aequatio in locum ultimae substitui, atque ad valores ipsius y inde erutos ex primis arquationibus valores ipsius y respondentes quaeri debebunt; qui si fuerint imaginarii, hoc erit indicio interlectiones esse imaginarias. 8o. Sit porro in una Curva Applicata 1 Functio biformis, in altera autem triformis ipsius x ; seu , sint ambae Curvarum aequationes propositae hae
i I. p ε qy ε ryy ε sy' - o. Multiplicetur prior per ρ , posterior per P , alicraque ab altera subtracta remanebit
267쪽
quae cum prima conjuncta exhihet casum in praecedente para- grapho pertractatum ; ita ut, quae ibi erant ρ, q , r, hic suu P ρ - ρ , Pr -Rp, & Ps: ideoque reportetur hic
prehendantur. 8 I. Exprimatur nunc utraque Applicata per aequationem Cunicam, sintque ambae aequationes propositae
268쪽
II. Multiplicetur prior per p , posterior per P , factaque subtractione alterius ab altera , remanebit
Deinde multiplicetur prior per s . posteriorque per S , factaque subtractione remanebiti V.
Hae aequationes III. & IV. si comparentur cum hinis aequa rionibus 9. 479. tractatis , fiet ut 1 equitur
quoque per S p - Ρ s divisibilem. Quocirca orietur haec aequatio Diuitigoo by COOste
269쪽
αQQS pqs p ss Φ OS 'sqq - Ο. 82. Quo methodus ista eliminandi γ ex duabus aequati nibus altiorum graduum clarius percipiatur, ponamus utramque δquationem propolitam esse quarti ordinis
Ponatur nunc brevitatis gratia
270쪽
Nunc porro aequationes hae multiplicentur respective per d &D. & a se invicem iubtrahantur . prodibitque
Tum eaedem illae aequationes multiplicentur per a & Α, & post subtractionem relinque ur