장음표시 사용
271쪽
Denique iterum ponatur hrevitatis gratia
ita ut sit I - h , habebiturque V I I.
- ex quibus tandem colligitur haec aequatio ab y libera Hi - Ih - O. in qua si valores praecedontes successive restituantur, obtinebiatur aequatio quam solae Functiones P, Q, R, &c. p, q, r, &c. Primarum aequationum ingredientur. AEquatio vero inter E , F , G, e , f, g, divisibilis erit per G - e ; atque, si proced, tur ad litteras A, B, C, D , a , b , c , d, aequatio resultans
divisionem admittet per D' - a , ita , ut in aequatione ultima quivis terminus octo tantum complexurus sit litteras , quam Ormajusculas, totidemque minusculas. Hoc itaque modo in genere , quotcunque dimensiones ipsius y utraque aequatio prinposita contineat, semper incognita γ , poterit eliminari, atque aequatio, quae solam incognitam x involvat, inveniri. 83. Etsi hujus methodi ex duabus aequationibus unam incognitam eliminandi usus latissime patet, tamen aliam adhuc methodum subjungam , quae tot repetitis subsititutionibus non indigeat. Sint igitur propositae duae sequatioines quotcunque dimensionum
272쪽
II S. II. ex quibus unam aequationem , in qua y amplius non insit, et conflari oporteat. Ad hoc multiplicetur aequatio posterior per hanc quantitatem
quae k - n litteras arbitrarias A, B , C , &c. , continet. AEquatio vero prior multiplicetur per hanc quantitatem
in qua k - m litterae arbitrariae a, b, c, &c., insunt. Tum ambo producta ita inter se aequalia ponantur ut omnes terminiqui continent potestates ipsius y se mutuo destruant , terminique ultimi ipsa y carentes aequationem quaesitam exhibeant. Summae autem potestates jam sponte se destriiunt, in utroque enim producto sum mus terminus erit P py ; supersunt ergo adhuc h - 1 termini, qui destrui debebunt, ad quod totidem litterae arbitrariae sunt determinandae. Numerus autem litterarum arbitrariarum sic introductarum est 2 - m-n , qui cum aequalis esse debeat - I , fiet k-m-kn-I. 48 . Hanc ob rem prima aequatio multiplicetur per hanc quantitatem indeterminatam
tates , inter se coaequatis, nascentur sequentes aequationes
273쪽
Πujusmodi ergo aequationes , prima Pp Pp simul computata , habebuntur ni mero in in n , ex quibus si litterae arbitrariae A, B, C, &c. a , b, c, &c. determinentur, ultima aequatio nonnisi litteras datas P, Q , R , &c. p , q, r, &c. continebit , sicque quaesito latisfactur. 8s. Haec autem litterarum arbitrariarum determinatio facilius expedietur , si membra uniuscujusque aequationis aequalia ponantur novis indeterminatis quantitatibus β, γ, &c.; quod ex sequenti exemplo clarius apparebit. Sint propositae hae aequationes duae
multiplicetur ergo prima per py' Φ ay in b, & altera petPy ε A ; prodibuntque hae aequalitates P ρ - P p
275쪽
Dg c STRUCTIONE AEQUATIONUM. 169
36. OEAE in superiori Capite de intersectione Curvarum
sunt expolita potis limum ad construstiones aequationum alti rum grailuum traduci solent. Cum enim duabus Curvis propositis aequationem invenerimus , cujus radices intersectionum focos exhibeant; ita vicissim intersemones duarum Curvarum inservire possitiit radicibus aequationum indicandis , Atque hic modus maximam assert utilitatem si radices cujuspiam aequationis per Lincas exprimi debeant; descripta, namque utraque Curia ad hunc finem accommodata , intersectiones laiacile notabuntur , unde si ad Axcin Applicatae demittantur . Absci IIae praebebunt veras aequationis radices. Si autem incommodum sui ra memoratum locum habeat, tum quidem omnes Abscissae sic inventae radices prael, hunt, at fieri poterit ut aequatio proposita plures complectatur radices , quam per
talem conitructionem reperiuntur.
87. Cum igitur proposita suerit aequatio algebraica incognitam x involvens, cujus radices assignari oporteat, duae quaerendae sunt Lineae curvae, seu duae aequationes inter hinas vaseabiles x &. y , quae ita sint comparatae , ut, si ex iis Appii, cata y eliminetur, ipsa aequatio proposita resultet. Quo fieto istae duae Curvae super communi Axe atque ad idem Absci Isarum initium describantur, punctaque , quibus se mutuo inte secabunt , notentur. Τum ex his intersectionum punctis acIAxem Applicatae normales demittantur , quae in Axe exhil,ebunt Abscissas singulis aequationis propositae radicibus aequales. Hoc itaque modo singularum radicum quaesitarum valOros veri assignabuntur, nisi sorte eveniat, ut aequatio plures contineat radices, quam intersectiones adesse deprehendantur.
276쪽
28. Antequam autem modum tradam , quo binae illae Curva. constructioni datae aequationis inservientes inveniri queant , aposteriori eas aequationes perpendamus , quarum rCsolutio ex datis duabus Curvis absolvitur. Ac primo quidem sint inhaeLineae resolventes rectae EM , FIM , sese in puncta Minici secantes. Sumatur recta E F pro A Xe , in Coque punctum A pro initio Abscissarum , unde educta normalis ABC rectam priorem in B , pos lariorem in C secet. Sit A E - a , A F - b ; AB e A C d ; tum vero ponatur Abscisia AP -x ; Applicata PM y; eritque pro priori recta EMG : c a in x :y , seu ay c a - -x p dc pro altera b: d b - x : y , seu by d b - x . Ex his aequationibus si eliminetur y , prodibit bc a x - ad b - x sev x -
simplices revocari possitnt. q89. Lineas rectas ratione sicilitatis describondi excipit Ci cuius , & hunc ob rem videamus cujusmodi aequationes per initii scctionem rectae & Circuli construi queant. Sit igitur, sumta A P pro Axe & A pro Abl cissarum initio , descripta Linea recta E s: positisque A E - a, A B - b , & Coo dinatis AP - x, PM - γ; crit a: b - α - x: y ; ido que ay b a- -x , quae est aequatio pro Linca recta. Deinde sit Radius Circoli CAI e , demis quo ex ejus Centro C in Axem perpendiculo CD , vocetur A D f, CD-σ erit D P ae 1 , & P M-CD - y- g. Iam , cum sit ex natura Circuli CAI' - DP' - PM-CD ', erit aequatio pro Circulo cc xx - Ux ΦVΗ- yy - χροες- x-f ' - y-g γ'. At aequatio pro recta dat v
277쪽
quo ipsius y valore in altera aequatione substituto, emerget
cujus ergo aequationis radices invenielatur per intersectionesne, & Circuli, ita ut, demissis ex intersectionihus M & min Axem perpendiculis M P, mp, valores ipsius x futuri sint
9o. Quoniam in hac aequatione Omnes aequationes quadra- . ticae continentur, hinc constructio generalis aequationum qu draticarum adornari poterit. Sit scilicet proposita haec aequatio quadratica
quae ad superiorem sermam primum ita reducatur ut primi te
mini conveniant; multipl:cando per
Iam coaequatio reliquorum terminorum dabit
278쪽
, fiat quantitas affirmativa. quia alioquin b-ς A B - C D , hincque C D , fieret quantitas imaginaria. 91. Nihil Ergo impedit quominus ponamus b- o, eritque
aequatio proposita Axx ε Ba: in C - o , radices nullas ha heat reales , nisi sit B B major tuam AC , erit hoc casu in quantitas affirmativa , cui si c c ponatur aequale, ut sit e - ' η' i , set quoque g o , & a prorsus ex calculo excedit. Linea ergo rccta E RI in ipsum em AP incidet, & Centrum Circuli C collocari dehebit in puncto D mistente A D ' , ex quo Centro si Circulus describatur Radio c --, hujus inter uim
nes cum ipso Axe ostendunt aequationis propositae radices. Ne autem ad licet constructione formula: irrationalis opus sit, po-
279쪽
Circuli erit - AD in C D ; quae constructio pro praxi commodiissima videtur. 91. Consideremus jam duos Circulos se intersecantes : sitque pro primo AD a, CD b , & ejus Radius C s1 c; eritque, positis AP x dc PII y, DP a x, CD - PsI b-y ; ideoque , ex natura Circuli, habebitur xx - 2ax in ca Φ yy - 2 by Φ bb ee. Simssi modo pro altero Circulo sit Ad - f, dc g, ei utaque Radius es I li, eritque
quibus arquationibus a se invicem subtractis , remanebit
c A P. X X. T A B. XXIV. Fie. 99.
280쪽
ε G-hΛ3 -' - α f -M 'Hujus ergo aequationis ope infinitis modis constriti poterit aequa tio Axx - - Ba: ε C - o ; simul vero intelligitur aequationem quadratica altiorem per intersectionem duorum Circulorum construi non posse , propterea quod duo Circuli se mutuo in pluribus quam duobus punctis intersecare nequeunt. Cum igitur eadem aequatio quadratica conitrui pollit per in torsectionem Rectar & Circuli , haec constructio illi , quae duos Circulos requirit , merito praesertur , nisi sorte in casibus quibusdam singularibus facilis Linearum a , b , 1 , g , c & hdeterminatio sponte se prodat.
9 Intersecetur nunc Circulus a Parabola : sit scilicci . demisso ex Centro Circuli C in Axem AP perpendiculo CD, AD a, CD - b , & Badius Circuli CM c , erit inter Coordinatas orthogonales AP - x, P M y , aequatio pro Circulo x - a ' - y - b γ' - cc. Parabolae vero Axis FB statuatur ad Axem hic assumtum A P normalis : sitque AE f, EF - g, & Parameter Parabolae Σh ; erit , ex natura Parabolae , EP' - Σh EF Φ PM seu in symbolis x-f 'α-χh g-by , unde Erit y - ---ς& y - b - ----- b Φ g . Qui valor si in priori aequatione substituatur, eliminabitur y . eritque