장음표시 사용
281쪽
ius aequationis radices crunt Abscissae AP, Ap, Ap, Ap, CA Runde Applicatae per interscctionum Puincla M , m , m , m,
9 . In hac aequatione sex insunt constantes a, b, c, f, g, dc h ; quarum vero hinae b -F- g pro una sunt reputandae, ita ut quinque solum, ponendo b Φ g- k , inesse censendae sint. Posito scilicet C D in E F b - - g - h, sequens habebitur
282쪽
x ah --Γ Η odi q-A quibus valoribus subsuta Oh i6h h ratutis cmerget arquatio e & h involvens , quas propterea ccia venientissime inde definiri oportet , ita scilicet ut utraque valorem obtineat realem. 9s. Quoniam vero in omni aequatione hi quadratica secundus terminus facile tolli potest; ponamus ipsum jam esse sublatum, ideoque construendam esse hanc aequationem
Quoniam vero hoc imprimis est ossici cndum ut tam e quam hobtineant Valores reales , ponatur c - h - - h. t , eritque
Quo igitur quaesito satisfaciamus, duo casus sunt distinguendi alter quo D est quantitas negativa, alter quo D est quantitas affirmativa. Sit igitur
283쪽
Sit autem D quantitas negativa , puta D - - E E , ut contatrui debeat haec aequatio C A p
x in Bae' - C x - EE - o, set 6 eeh' - CC in hh hh - B ' φ 16EEhh; quae aequa tio rcalem pro c valorem praebet, quicquid pro h asIumatur :fiet enim e - y Cς - - 1 T---, atque h prolubitu assumi potest; quovis igitur casu ita assumatur, ut facit ima ipsius e constructio inde con quatur. Quo facto crit,
A D - α - - . Si ponatur E o , orietur construelio
aequationis cubicarae' in in B x - C Ο.Ηacque constructione nititur regula ΒΑ cx Eat vulgo satis
96. Si sumantur duae quaecunque Lineae secundi ordinis seu Sectiones conicae , quarum aequationes ad communem Arcem idemque Abicissarum initium relatae sint
υγε αεγxx Φ θ εα o. Ex quibus , si methodo supra tradita y eliminetur , quod seristas aequationes comparando cum illis in g. 479. tractatis, scilicet
284쪽
Functiones primi ordinis , & R & r erunt constantes, unde colligitur aquatio resultans sere hi quadratica. Atque adeo per interseeti opes duarum quarumvis Sectionum conicarum altioris gradus aequationes construi nequeunt, quam hi quadraticae , quas autem per Circulum & Parabolam consitati polle vidimus. Hoc idem vero intelligere licet ex natura Linearum secundi ordinis, quae a recta Linea in duobus punctis secari pol sunt; unde duae rectae quatuor intersectiones formare poterunt , at duae Lineae rectae junctim consideratae speciem consiliatuunt Linearum secundi ordinis; unde patet duas Lineas se. cundi ordinis se mutuo in quatuor punctis intersecare posse. 97. Adhibeantur ad interscet onos essiciendas duae Lineae, altera secundi, altera vero tertii ordinis, quae exprimantur his aequationibus
Frit ergo P Functio duarum dimonsionum ipsius x, Q Functio unius dimensionis, & R conflans; tum vero ρ Functio trium dimensitonum , q duarum , r unius dimensionis & s conia tans. Quarum ratio si in aequatione post climinationem ipsius y orta 8o. haheatur, patet it eam fore ordinis sexti; qu
re per intersectiones Lineae tertii ordinis cum Suctione conica altiores aequationes , quam suaetae potCstatis coinstrui nCn pol runt : quod idem ex natura utriusque ordinis Pater, cum enim
Lineae tertii ordinis a Linea recta in tribus punctis intersece tur, eaedem a duabus rectis, quae junctim sumptae speciem Linuarum secundi ordinis constituunt, in sex punctis interseca
285쪽
98. Si tam eliminationes supra expositas, quam hoc ratiocinium ab intersectione rectarum petitum , ad altiores Ordines transseramus, patebit per intefectiones duarum Linearum tertii ordinis colastrui posse aequationes nonae potet latis; per intersectiones duarum Linearum quarti ordinis autem arquationes potestatem sextam decimam non superantes. Atque in genere per duarum Linearum curvarum intersectiones, quarum altera sit ordinis m altera ordinis n, constrili poterunt omnes aequationes potestatem mn non excedentes. Sic ad a quationem centesimae potestatis construendam opum erit vel duabus
Lincis decimi ordinis, vel duabus, quarum altera sit quinti altera vlac simi ordinis, & ita porro; resolvendo numerum
Io o. in duos Factores. Quod si autem aquationis construendae maxima potestas exponatur numero Primo , Vel alio com modos Factores non admittente , tum in ejus locum alius numerus major Fac ores habens idoneos substituatur; quibus enim h nis Cur is aequationes majoris potestatis construi posta sunt, iisdem quoque aequationes inferioris cujusque gradus construentur. Sic ad a quationem gradus tricesimi noni adhiberi poterunt duae Curvae, ultera sexti altera septimi ordinis; quia duabus hujusmodi Curvis aequatio quadragesimi secundi gradus construi potest, haecque constructio simplicior eli censenda , quam si altera Curva ordinis tertii, altera decimi te
99. Ex his igitur perspicuum est unam quamque aequatio nem pluribus, imo innum rabili lius modis per inter chioncs duarum Curvarum ita construi posse , ut ejus radices real sassignentur. Ex quibus infinitis modis eum potissimum eligi conveniet, qui absolvitur Lineis curvis cum simplicissimis tum descriptu facillimis ; imprimis vero in id erit incumbendum,
ut per intersectiones omnes radices reales exhibeantur; quod obtinetur si ejusmodi Curvae alliumantur , quae intersectioni bus imaginariis careant. Supra autem vidimus hujusmodi in te sectionibus imaginariis nullum relinqui locum, si in miratione
pro altera Curva Applicata 1 aequetur Functioni uniformi iptius
286쪽
' η, Π. x ; tum cnim , quia haec Curia nullas habet Applicatas imanarias, si uri nequit ut interscctiones imaginariae oriantur, quotcunque citam Applicatis imaginariis altera Curva inquinetur. In hoc ergo constructionis negotio alteram Curvam perpetuo ita asitimamus, ut ejus aequatio in hac forma P - -Qy - o, contineatur, denotantibus P di Q Functiones ipsius x.
sco. Froposiria ergo quacunque aequatione eligatur lina qUaedam conveniens Curva in aequatione P Qy o. Er , quoniam aequatio pro altera Curva ita debet elle comparata,
ut , si in ca locoy substituatur valor - , ipsa aequatio propos ta xcsulizi ; cx ipsa proposita vicissim efformari poterit aequatio pro altera Curva , introducendo y loco . Uii, si proposita furrit haec aequatio x' - - Ax' - Βλ' in Cae εD o , sumntur Parabola pro altera Curva aequatione cry xx l l x contenta ; ex qua , cum sit xx - ο - l x, subiti tuatur i. tu valor in aequatione proposita, quoties lubct; sirit
cujus adco intersc tiones cum Curva cy xx bx indicabuntias cus aequationis propositae. so 2. Qvcmadmodum hae Curvae ambae determinangis prostrbitrio constantibus P de b insultis modis variari pos Iunt, ita multo major asbuc varietas induci Porciae Cum en m ex aequatione priori si re α -ay - θ x o; erit quoquci a c x x -ιracy - - ab se α' o, quae si as ctatur ad posteriorem aequationum, multo latius patens oricetur aequatio pro Linea sccundi orditus , cujus intersecciones cum priori rasices aquationis propositae aeque indicabunt. Ambae s Licet istae Curvae constructioni Liseri ionica crunt
287쪽
haecque posterior aequatio ita adornari potest , ut quamvis Sectioin Piri conicam in se complectatur ; attendendum scilicet est ad hanc quantitatem Α Α - B - qac , quae si fuerit assirmativa , Curva erit Hyperbola ; si fuerit o , Curva erit Parabola ; sin autem sit quantitas negativa , Curva erit Ellipsis. Circulus vero erit haec altera Curva si fuerit b- - Α , & a a B-- AA Φ ac, seu c
so L. Sic is tur ex solis Sectionibus conicis habentur innumerubiicet Curvae, Quae cum Parabola v xx in bx descriptae, interlectionibus suis radicus aquationis Proposiriae prabebunt Ilarum er o Curvarum quaecunque sumatur , parabola in iis dem seniper pInctis intersecabitur ; atque icleo illae Curvae omnes se nn: tuo in ii sciem punctis lecabunt. Quocirca ex his Curvis insinitis duas quascunque aIlii mere licebit, praetermilla Parabola primum astinata, quae si super communi Axe describantur , per intersectiones suas radices aequationis proposim semper inclicabunt. Hocque adeo modo ista aequatio construi Euteri Inare ac7. in Anal. in n. Tom. II. N nDiuiti sed by Corale
288쪽
LIB. II. poterit vel per Circulum & Parabolam , uti supra iam vidi ' mus , vel per duas Parabolas, vel per Parabolam & Ellipsin, Hyperbolamve , vel per duas Ellipses, vel per duas Hype holas , vel per Ellipsin cum Hyperbola. Multo magis autem
varietas constructionum multiplicabitur, si etiam Curvae alii rum ordinum in hunc finem adhiberi velint. so 3. Simili modo construi poterunt aequationes altiorum graduum , assumendo pro altera Curva Lineam parabolici generis aequatione 3 - P contentam. Sic , si proposita sit aequatio construendax - f x -Ff gx - ς -ο, sumatur aequatio Parabolica ordinis quarti x a' y ς &, cum sit x' - a y' , hoc termino subliuio emerget aequatio Pro Linea tertii ordinis
ex qua , si ad eam addatur multiplum quodcunque prioris
aequationis x -a'y - o , innumerabiles formabuntur Lineae quarti ordinis , quarum hinae quaevis conjunctae aequationem propositam construent.
so . Quod si eveniat, ut ex aequatione construenda proposita non satis idonea constructio praecedente methodo derivari queat; tum aequatio proposita multiplicetur per x, Vel τ', vel , vel altiorem quampiam potestatem ipsus x; ita ut ad ejus radices aliquot insuper radices evanescentes addantur, quae per interfectiones in ipso Abscissarum initio sectas indicabuntur, ideoque a reliquis radicibus veris aequationis propositae facile discernentur. Sic igitur aequatio proposita altioris fit gradus, hoc tamen non obstante saepenumero commodior contatructio obtinebitur. Ita , si exempli gratia proposita fuerit aequatio cubica
289쪽
sit Parabola , altera erit semper Hyperbola ; prodibit enim, loco xx substituto ay laaec aequatio .
vel , addita aequatione priore cxx - acy o, nascetur haeclarius patCnS
culum vel Ellipsin vel Parabolam adhibere commodius videa tur , tum aequatio Proposita multiplicetur per x , ut habeatur haec aequatiox' - - Α x' H-Bx x in Ca O , quae, si cum aequatione biquadratica supra constructa comparetur , erit D - o , haecque AEquatio semper per Circulum &Parabolam construi poterit. O . Quoniam ergo omnis aequatio cujusque gradus per intersectiones ruiarum Curvarum algebraicarum construi potest, idque infinitis modis , Lineam quamcunque in locum alterius Curvae substituere licebit: hincque enata est quaestio , quemadmodum data aequatio ope datae Curvae construi queat. Hic autem primum notandum est datam CurVam ex eo genere este dehere, ut ejus Applicata exprimatur per Functionem uniformem ipsitis x , ne intersectiones imaginariae constructio nem perturbent, Neque enim sussiceret, ut Curva, vel tantum portio Curvae proposita , habeat Abscissas uni radici aequationis aequales ; quae conditio , si quidem una tantum radix aequationis propositae desulcretur, adjici est solita; fieri enim pollet. ut iste arcus Curvae nullam patiatur intersectionem. etiamsi Abscissa cuipiam ipsius puncto respondens sit vera radix ; quoniam haec radix vel per intersectionem imaginariam ;vel per alius rami ei dum Abici illa respondentis intersectionem N n a
290쪽
to. II. indicetri posset. Quam ob causam huic quaestioni , curiose magis quam utili, non immoror , cum vera fundamenta omnium hujusmodi construetionum satis sese ollenderint.
De Lineis curvis transcendent lus. so6. ΗΑcrguus de Lineis cum is algebraicis egimus, quae ita sunt comparatae, ut, sumtis Abscissis in Axe quocunque , Applicatae respondentes exprimantur per Functiones algebraicas Abscii Iarum ; seu , quod eodem redit , in quibus relatio inter Abscissas ei Applicatas exprimi possit per aequationem algebraicam. Hinc itaque sponte scquitur , sit valor Applicatae per Functionem algebraicam Abscissae explicari nequeat , Lineam curvam algebraicis annumerari non poste. Hujusmodi autem Lineae curvae, quae algebraicae non sunt, transcendentes vocari solent. Ibin ea igitur transcend ns ita defini tur , ut ejusmodi Curva est e dicatur . in qua relatio inter Abiacissas & Applicatas aequatione algebraica exprimi nequcat. Quoties ergo Applicata y Functioni transcend nti ipsius Abiaci IIae x aequatur , toties Linea curva ad genus transcendentium erit reserenda. so7. In superiori Sectione duas potissimum Occies quantitatum transcendentium evolvimus, quarum altera Logarithmos, altera Arcus circulares seu angulos , complectebatur. Quod si crgo Applicata 3 sit aequalis vel Logarithmo ipsius Abscissae x, vel Arcui Circuli, cujus sinus, seu cosinus, seu tangens per Abscillam x exprimitur , ita ut sty lac, vel 1 - A.sin. x, Vel γ - A. cos. x, vel y A. tang. x, vel, si hujusmodi valores tantum in aequationem inter x & y ingrediantur, tum Curva erit transcendens. Sunt autem hae Curvae tantum species transcendentium e praeter istas enim daatur ianumerahites aliae e Diqitigod by Cooule