장음표시 사용
291쪽
longe superet numerum Curvarum algebraicarum.1o S. Quaecunque I unctio non est algebraica , ea est tran condens : ideoque Curvam , in clijus aequationem ingreditur. reddit transcendentem. AEquatio autem algebraica, vel est rationalis, nullosque ex ponentes praeter numeroS intcgros continet , vcl est irrationalis , atque caeponentes fractos complectitur ; hoc auism posteriori casu semper ad rationalitatem revocari potest. Cujus igitur Curvae aequatio relationem inter Coordinatas xlcy exprimens ita est comparata, ut neque sit rationalis, neque ad rationalitatem perduci possit, ea sempercst transcendens. Quod si ergo in aequatione ejusmodi potet
lateS Occurrant, quarum Exponentes ncque sint numcri integri
neque seacti , ad rationalitatem nullo modo perduci poterit, ideoque Curvae talibus aequationibus contentae Crunt transccndentes. Hinc nascitur prima species & quasi simpliciissima Curvarum transcendentium , in quarum aequationibus insunt exponentes irrationales; quae quia neque Logarithmos neque A cus circulares involvunt: sed ex sola numerorum irrationalium notione nascuntur , magis quodammodo ad Geometriam communem pertinere Videntur, & hanc ob rem ab LEIBNITIO intersendentes sunt appellatae , quasi medium tenerent intcr algebraicas & transcendentes.so9. Hujusmodi ergo Curva interscendens erit, qllae continetur aequatione y xVR; quomodocunque enim haec aequatio potestatibus sumendis evehatur , nunquam ad rationalitatem perducetur. Talis aequatio autem nulla via geometrica construi potest. Geometrice enim nullae aliae potestates exhiberi possunt, nisi quarum exponentes sint numeri rationales, hanc que ob causam istiusmodi Curvae ab algebraicis maxime discrepant. Si enim exponentem V 2 tantum vero Proxime
292쪽
primunt , Curvae quidem algebraicae prodibunt ad quaesitam proxime acccdentes, at ordinis erunt vel tertii, vel septimi,
vel decimi suptimi , vel quadragesimi primi , &c. Quare ,
cum V et rationaliter exprimi nequeat nisi per fractionem , cujus numerator & denominator sint numeri infinite magni, haec Curva ordini Linearum infinitesimo erit accensenda, ideoque pro algebraica haberi non poterit. Huc accedit, quod V 2 duplicem involvat valorem , alterum amrmativum alterum negativum , ex quo y duplicem pzrpetuo rtietur valorem , sicque gemina Curva rosultabitis 1 o. Deinde vero si hanc Curiam exacte construere velimus , id sine Logarithmorum beneficio praestare non possumus.
Cum enim sit y - xνῆ, erit, Logarithmis sumendis , ly V2. lx, cujusvis ergo Abscissae Logarithmus per V 2 multiplicatus dabit Logarithmum Applicatae ; unde ad quamvis Ahiacissam x respondens Applicata ex canone Logarithinorum ata signabitur. Sic , si fuerit x o , erit y o : si x I , erit 3 I; qui valores ex aequatione facillime fluunt': at, si x et, erit θ - V2. Ia V 2. Ο,3OIO3oo : & Ob V2 I,*I 2Iῖ36, erit ly o, 2 727 , ideoque proxime y χ, 66si 86 : & si x - Io, erit ly I, AI 233 6 , hinc cy 23,9 387o. Hoc igitur modo ad singulas Abscissas Applicatae supputari, atque acleo Curva construi poterit, si quidem Abscis Iae x valores anfirmativi tribuantur. Sin autem Abscissa x valores obtineat negativos , tum dissicile est dictu utrum valores ipsius y, Ω- turi sint reales an imaginarii : sit enim x -- I, & quid sit - dc finiri non poterit , quoniam approximationes ad valorem v Σ nihil adiumenti asserunt. is 1 I. Multo minus erit dubitandum, quin aequationes, in quihus adeo exponentes imaginarii reperiuntur , ad genus trans cendentium referri dLbeant. Fieri autem omnino potest, ut
293쪽
expressio continens exponentes imaginarios valorem realem GA P- atque determinatum exhibeat. Hujus rei exempla supra jam δ ηOccurrerunt ; unde hic sufficiat unum exemplum attulisse hoe v - I ὰ V , in quo , etiamsi utrumque membrum χ' V- di, V-rsit quantitas imaginaria , tamen summa amborum valorem habet realem. Sit enim lx - ν, sumto e pro numero, cujus Logarithmus hyperbolicus est I , erit x er , quo Valore loco x substituto, erit Σ3-e' V X vi dimus autem in Sectione superiori g. I 38. esse
unde fiet y eois A. v - cos. A. ix. Scilicet, proposito quocunque ipsius x valore in numeris , sumatur ejus Logarithmus hyperbolicus, tum in Circulo , cujus radius I, abscinda tur Arcus isti Logarithmo aequalis , hujusque Arcus colinus dabit valorem Applicatae y. Sic , si sumatur x - 2 , ut sit χ γ - α i V ' , erit 3 - cos A. l. 2 cof A. o,693r 718 oss99. Iste autem Arcus ipsi l 2 aequalis, cum Arcus 3 , I i 926 3s &c., contineat I3o', per regulam auream invenietur fore 39', Σ , SI', 3Σ'', 9 , cujus cosinus est, o,7692389oI33 o8 , hicque numerus dat valorem Applicatae y respondentem Abscisiae x - 2. Cum igitur hujusmodi expressiones & Logarithmos & Arcus circulares involvant, jure
s Ιχ. Inter Curvas ergo transcendentes primum locum t nent , Parum CPationes , Praeter quantitates algebraicas
294쪽
Iia. II. Logarithmos involvunt , atque simplicissima harum erit qua continetur hac aquatione i v , seu x - bl Z- , ubi pzEnda est cuiusnam generis Logarithmi accipiantur , quia multiplicationc constantis b omnia Logarithmorum systemata ad idem revocantur. De notet crgo character I Logarith mos hyperbolicos , atque Curva aequatione x b l Z contenta sub nomine LOGARIT RMICAE Vulgo est nota. t it e numerus , cnius Logarithmus est r, ita ut sit e -
ce6 ', c3 qua aequatione natura Curvae togarithmicae facillime cognoscitur. Si cn m loco x successive substituantur valores in arithmetica progressione procedentes, Applicatae y valorestcneboat intor se progrcssionem geometricam. Quae quo facital us ad constructionem accommodetur, ponatur e m , dc
o nc, eritque y a m , ubi m numerum quemcunque affrmptivum unitate majorces' significare potest. Si igitur sit x O, c, 2 c, 3c, ψ c, s c, 6 c, &.c. erit ν'a, am, a m , a Im , a m , a m', a m , &c.;S , tribuendis ipsi x valoribus negativis, si ponatur x c , - 2c, 3 c, - ac , - 3 c , cic. eritaacla o
si Ilinc patet Applicatas y ubique valores habere asi r-I -.io . mati VOS , o quidem in inlinitum crescentes, auctis Abscissis x asirmative in inlinitum; ex altera autem Axis parte in infinitum Diuili od by Cooste
295쪽
situm decrescentes , ita ut hinc Axis sit Curvae Asymtota Ap. Sumto scilicet et pro Abscissarum initio, erit hoc loco Applicata A B - a : & , sumta Abscissa A P - x , erit Applicata P Μ-y-am '' ae 'si : ideoque l. - - . Unde Αbscissa A P per constantem b divisa exprimit Logarithmum rationis . Si Abscissarum initium in alio quocunque Axia puncto a statuatur , arquatio similis manet. Sit enim A a --f, ac posita a P t, oh x - t - f, erit y - a e ' k es ae β: 'λ. Vocetur constans a : ' - g, erit y
ideoque ductis duabus quibusvis Applicatis P Μ & p m , intervallo P n a se invicem distantibus , erit v
constans b , a qua ista relatio pendet, erit instar Paramestri Logarith micae. si . Tangens hujus Curvae Iogarithmicae in quovis puncto AI etiam facile poterit definiri. Cum enim , posita A P -x,
296쪽
Evanc scat jam intervallum P Q- u ; & , ob puncta M dc N coincidentia , recha NMT fiet
Curvae Tangens , eritque tum Subtangens PT b, ideoque conflatis ; quae est proprietas palmaria Curvae togarii h mictae. Parameter ergo Logarithmicae b simul ejusdem in Sub tangens constantis ubique magnitudinis. sis. Qua illo hic oritur , utrum hoc modo tota Curvalogarithmica sit descripta ; & an ea , praeter hunc ramum M utrinque in infinitum eXcurrentem , nullas alias habeat partes. Vidimus enim supra nullam dari Asym totam , ad quam non duo rami convergant. Statuerunt ergo nonnulli, Logarithmicam ex duabus constare partibus similitius ad utramque Avis partem sitis , ita ut Asymiora simul futura sit Diameter. Uerum aequatio y αα ae hanc proprietatem minime ostendit; quoties enim est vel numerus integer , vel fractio denominatorem habens imparem , tum y unicum hahel valorem realem eumque affirmativum. Quod si autem fractio - habeat denominatorem parem , tum Applicata y geminum induet v lorem, alterum aifirmativum alterum negativum , hicque Curvae planetiim ad alteram Asynia totae partem exhibebit: ex quo Logarithmica infra Asymtotam innumerabilia habebit puncta discreta , quae Curvam continuam non constituunt, etiamsi ob intervalla infinite parva Curvam continuam mentiantur ; quod eis paradoxon in Lineis algebraicis locum nullum inveniens. Hinc etiam aliud oritur paradoxon multo magis mirandum. Cum enim numerorum negativorum Logarithmi sint imaginarii , quod tum per se patet, tum inde intelligitur quod Di- I ad V - I rationem habeat finitam erit t. - n , quantitas imaginaria , quae sit - ι: at, cum Logarithmus quadratiaequetur duplo Logariti uno radicis , erit t. - n ' - L n' Diqit ipso by COOste
297쪽
a. i. At, log. n est quantitas realis , - χL n : unde sequitur,& quantitatem realem L n & imaginariam i fore semissem ejusdem quantitatis realis i. n. Hinc porro quilibet numerus duplicem habiturus est et semissum , alteram realem alteram imaginariam ; similiterque cujusque numeri triplex daretur triens, quadrupleo quadrans , & ita porro, quarum tamen partium, unica tantum sit xealis , quae quomodo cum solita quantitatum notione conciliari queant, non liquet. 1I6. Concessis ergo his quae assum simus , sequeretur numeri a semissem fore aeque - - - l. - Ι , ac-: illius cnim duplum est a ε 1 l. - I a in I. - I a Φ I. I a : ubi notandum est esse in L - Ι - - l. - Ι , etiamsi non sit L - I o : cum enim sit - Ι - --, erit t. - Ι- l. Φ I - l. - Ι - - L- I. Simili modo , cum sit r
XXI non solum I sed etiam ----, erit 3 l. -- I. I - o , ideoque ejusdem quantitatis a trientes erunt i ἔ Φ l. 'Τει 1 , & Δ - - l. - tripla enim Earum singularum expressionum producunt eandem quantitatem a. Ad haec dubia solvenda, quae nullo modo admitti posse videntur , aliud statui oportet paradoxon : scilicet, cujusque numeri infinitos dari Logarithmos , inter quos plus uno reali non detur. Sic, etsi Logarithmus unitatis est o , tamen Praeterea innumerabiles alii unitatis dantur Logarithmi imagianarii : qui sunt χ l. - Ι , 3 l. - , ψ l. - I ; &ψι V - I , innumerabilesque alii, quos extractio radicum monstrat. Haec autem sententia multo est vcrisimilior, quam superior : posito enim x l. a , erit a e' ; ideoque a me 1 Φ π - - - Φ--μ &c. ; quae, cum sit aequatio
298쪽
LIB. II. infinitarum dimensionum, mirum non est si x haheat radices 'infinitas. Quanquam autem sic posterius paradoxon resolvi mus, tamen prius suam vim retinet, qua ad Logarithmicam infra Axem innumerabilia puncta discreta pertinere ollendimus.117. Multo evidentius autem hujusmodi infinitorum punctorum discretorum existentia monstrari potest , per hanc aequationem y - - I ' : quoties enim x est numerus , vel
integer par vel fractus habens numeratorem parem , eri y I : sin autem x sit numerus vel integer impar vel fractus , cujuS tam numerator quam denominator sint numeri impares , erit y - - I, reliquis casibus omnibus, quibus vel, x est fractio denominatorum parem habens , vel adeo numerus irrationalis, valor ipsius y erit imaginatius. AIquatio ergoy - - 1 exhibebit innumerabilia pundia discreta ad utramque Axis partem intervallo I posita , quorum ne bina quidem sunt contigua , hoc tamen non obstantu , quaeque bina ad eandem Axis partem sita, sibi tam erunt propinqua, ut intervallum sit data quavis quantitate assignabili minus. Inter duos enim Abscissio valores quantumvis propinquos , non solum una sed infinitae fractiones exhiberi possunt, quarum denominatores sint impares, ex his autem singulis nascuntur puncta ad aequationem propositam pertinentia : mentientur ergo haec puncta duas Lineas rectas Axi parallelas ab eo utrinque intervallo - 1 dillitas , in his enim Lineis nullum intervallum exhiberi potest in quo non unum , imo infinita puncta , aequatione γ - - I ' contenta, assignari queant. Haec eadem anomalia usuvenit in arquatione y - - a ' , aliisque huie
similibus , ubi quantitas negativa ad exponentem indeterminatum Elevatur. Hujusmodi ergo paradoxa , quae in Cur istantum transcendentibus locum habere pollunt , hic exp sui: se necesse erat.
299쪽
si 8. Ad hoc ergo genus Curvarum a Logarithmis pendentium pertinent omnes aequationes , in quibus non solam Logarithmi occurrunt , sed etiam exponentis variabiles , qui I pe qui a Logarithmis ad numeros progrediendo oriuntur , unde istae Curvae etiam exponentiales vocari solent. Hujusmodi ergo
X xl Curva erit , quae in hac aequatione 3 - x', seu ly- xlx continetur. Posito ergo x - o, erit y I; si x I, erit y I; si x - 2 , erit y - ψ; si x - 3 , erit y - 27 , &c. Unde B D M exprimet sormam hujus Curvae ad Axem A P relatae, ita ut, sumta AC I , sit A B C D - r. Intra &C autem Applicatae erunt unitate minores ; si enim sit xerit 3 --λ o, 7o7Io68 : minima vero erit Applicata si capiatur Abscissa x - - o, 367379ψε , fietque tu in Applicata 'o,6922oos , uti in sequentibus docebitur. Quem- x iv
admodum autem haec Curva ultra B sit comparata ut videamus, Fig. Io Abscissa ae facienda est negativa, eritque 3 - --- - , unde illa pars ex meris punctis discretis constabit , ad Axem tanquam Asym totam convergentibus. Cadent autem haec puncta ad utramque Axis partem , prout x suerit numerus vel par vel impar. Quin etiain infra Axem A P infinita hujusmodi puncta cadent, si pro x sumatur fractio denominatorem habens p rem ; possito enim x - , crit & y - Φ-& y . Curva ergo continua M D B in B subito terminatur, contra indolem Linearum algebraicarum : loco continuationis autem habebit puncta illa discreta ; unde realitas istorum punctorum quasi conjugatorum eo luculentius perspicitur. Nisi enim L. adesse concedantur , statui deberet, totam Curvam in pune ob iubito cessare , id quod tisset legi continuitatis contrarium , ideoque absurdum.1 ib. Inter infinitas alias hujus generis Curvas , quarum O ta
300쪽
I is. II. tructio per Logarithmos cssici potest, dantur ejusmodi, quarum constructio non tam facile patet, quae tamen ope idoneae substitutionis absolvi queat. Talis est Curva aequatione γ' contenta ; ex qua quidem statim perspicitur , Applicatam y perpetuo aequalem esse Abscisse x, ita ut recta ad Axem sub angulo sumi recto inclinata aequationi satisfaciat. Interim tamen manifestum est hanc aequationem latius patere , quam aequationem pro recta y - x ; neque igitur hanc vim aequationis . - γ' exhaurire : satisfieri enim huic aequationi potest , etiamsi non sit x - y ; quoniam , si x - 1, etiam esse potest T Α Η γ q. Praeter rectam ergo EAF, aequatio proposita alias com-XXV. plectetur partes; ad quas inveniendas, ideoque ad totam Lineamila IQ, aequatione contentam exhibendam , ponamus 3 - t x, ut siex t κη : unde , radice potestatis x extrahenda , erit x - t x & x - t ; ideoque habebitur x
tanquam Alyintoras , convergentem , cujus recta A F erit Dianacter. Secahit autem Curva rectam A F in puncto C ita ut sit A B B C e , denotante e numerum cujus Loga rithmus est unitas. Insuper autem aequatio suppeditat innumerabilia puncta discreta , quae cum re a E F , & Curva RCS aequationem exhauriunt. Hinc ergo innumerabilia hinorum numerorum x dc y paria exhi heri possunt ut sit o - 1φ, talea enim numeri in rationalibus erunt