장음표시 사용
301쪽
sxo. Quanquam in his similibusque aliis Curvis infinita
puncta algebraice possunt determinari , minime tamen Curvis algebraicis annumerari possunt , quoniam innumerabilia aliaeXtant puncta , quae algebraice nullo modo exhiberi possunt. Transeamus ergo ad alterum Curvarum transcendentium genus , quod Arcus circulares requirit : hic autem perpetuo radium circuli , cujus Arcus constructionem ingrediuntur , unitate exprimo , ne pluribus characteribus calculus perturbetur. Curvas autem ad hoc genus pertinentes non elIe algebraicas
facile ostendi potest, etiamsi impossibilitas quadraturae Circuli nondum sit e victa. Consideremus cnim simplicissimam tantum hujus generis aequationem hanc Z- - Α. sin. ; ita ut A plicata y sit proportionalis Arcui Circuli, cujus Sinus eii Quoniam enim eidem Sinui - innumerabiles Arcus conve
302쪽
Lyd. II, niunt , Applicata γ erit Functio infinit inomia ; ideoque tam T ipsa quam aliae rectae Curiam in infinitis punctis secabunt, quae proprietas istam Curvam ah algebraicis clarissime distinguit. Sit s minimus Arcus sinui - conveniens, & denotet et ' semi
circumferentiam Circuli, erunt valores ipsius sequentes
Τ A n. Sumta ergo recta C AB pro ΑΝ e , & A pro Abscissarum prin- V cipio ; erunt primo , posito κ o, Applicatae AA' et ara, - A--- Στra , AA' - 3πa , Itemque ex altera Parte A A ' - j a , A A ' - Σχa , A A ' - 3 π a , &C. : atque per singula haec puncta Curva transibit. Sumta vero Abscisia AP - x , Applicata Curvam in infinitis punctis Assecabit, eritque PM' - as, PM' - a π- s , P M' - 2 πεs , &c. Curva ergo tota ex infinitis portionibus A E 'A' . A' F A' . A' E'A'A' F'A' . &c. . similibus erit composita ; ita ut singulae rectae Axi B C parallelae, quae per puncta E & F ducuntur , futurae sint Curvae diametri. Erit vero AC AB Eridie , & intervalla E 'E' , E' E , E'E ' , E ' E ', itemque F' F' , F' F ' , F ' F ', erunt singula aequalia 2 π. Curia haec a LEIANITIO est vocata Linea Sinuum , quoniam ejus ope cujusque Arcus sinus facile invenitur. Cum enim sit a. - A. sin. - , erit vicissim
eg. A. ; sicque simul hahetur Linea Cosmuum. 32 I. Simili modo ex hac consideratione oritur Linea Tangen-ιium , cujuS aeqitatio erit y A. tang. x, positis brevitatis ergo a I & e I ; hinc ergo convertendo fit x - tang. A.
y 'M , cujus Curiae figura facile ex natura Tangentium colligitur. Diqitirso by GO le
303쪽
X XL colligitur. Habebit autem infinitas Asym totas inter se parali Ias. Pari modo describi poterit Linea Secantium ex aequatione 1 - A.sec. x, seu x Iec. A. γ - , quae etiam infinitos ramos habet in infinitum excurrentes. Maxime vero ex hoc Curvarum genere innotuit CYCLOIs, seu Trochois, quae describitur a puncto in peripheria Circuli super linea recta rotando progredientis , cujus aequatio inter Coordinatas orthogonales est y v I - xx in A. cos. x. Curva haec , cum ob descriptionis iacilitatem tum ob plurimas , quibus ga det , insignes proprietates, maxime est notatu digna. Quoniam autem pleraeque sine Analysi infinitorum explicari nequeunt , hic tantum praecipuas, quae ex descriptione immediate fluunt, breviter perpendamus
χχ. Rotetur ergo Circulus ACB super recta E A ; a que , ut investigatio latius palcat, non punctum Periphetiae B sed punctum Diametri productae D quodcumque describat Lineam curvam Dd. Sit hujus Circuli radius CA CP-a, distantia CD-b , atque in hoc quidem situ punctum D Iocum obtineat summum. Pervenerit inter rotandum Circulus in situm a QbR; ac, posito spatio A Q - i erit Arcus a Q- qui divisus per radium a dabit angulum a c Q αα - ,& punctum describens erit in d, ut sit c d - b , angulus
304쪽
autem sit vel b major quam a , vel b minor quam a . Curva vocatur Cyclois vel curtata vel elongata. Semper autem erit
y Functio infinitiplex ipsius x , vel t; seu , quaelibot recta basi A Q parallela Curvam tu infinitis punctis secat,it, nisi ejus di
tantia x veli fuerit tanta, ut v Σbx-xx vel V-u fiat imaginaria quantitas. 323. Inter Curvas hujus generis, quae imprimis sunt cogniatae, referri debent Epicycloides & Hypocycloides, quae oriuntur si Circulus AC B super Peripheria alterius Circuli Ο A Q rotatur, intereaque punctum quodpiam D , vel extra vel intra Circulum mobilem sumtum , Curvam D d describit. Ponatur
Circuli immoti radius Ο Α - e , radius Circuli mobilis C A -C B a , & distantia puncti describentis C D - b; sumatur autem rccta O D pro Axe Curvae quaesitae D L A situ hoc initiali, quo puncta O , C , D in directum jacent, processerit Circulus mobilis in situm Q c R , descripto Arcu A Q- r , ita ut sit angulus A O Q -L. Erit ergo Arcus Q a- A Q r; hincque angulus ac Q R cd:& .sumta recta e d C D -b , erit d punctum in Curi a Dd. Ex eo in Axem demittatur perpendiculum d P ; itemque exe
305쪽
ι. sis. Hinc patet, si Refit numerus rationalis . tum ob commensurabilitatem angulorum I. &ipsam incognitam s eliminari , ideoque aequationem algebraiacam inter x & y inveniri posse. Reliquis casibus Curva hoc modo descripta erit transcendens. Ceterum hic notandum Est, si sumatur a negativum , tum Hypocycloidem este prodituram , Circulo mobili intra Circ tum immobilem cadente. Vulgo quidem b statuitur Radio a. aequalis ; sicque Epicycloides & Ηypocycloides proprie sic dictae resultant. Hic igitur inventae Curvae latius patent ἔ & , quia aequationes non sunt dissiciliores , hanc conditionem adjucere visum est. Si quadrata xx dc yy addantur , erit xx H- yy - α - e ' ε b' -- a Φ Ο . eos. S , cujus aequationis OP eliminatio ipsius r eo facilius expedietur , quoties quidem quantitates a & c fuerint commensurabiles. χε. Praeter casus , quibus amborum Circulorum radii a xx sunt inter se commensurabiles, Curvaeque fiunt algebraicae, notari meretur iste quo b - - a - c ; seu , quo punctum Curiae D in Centrum Circuli immobilis O incidit. Sit igitur ι--a - ς ί eritque xx - - Π - χ a Φc ' I-eά-L
306쪽
Quoniam vero hic nobis est propositum non Curvas algebraicas sed transcendentes contemplari , his missis ad ejusmodi Curvas progrediamur , quarum constructio simul tam Logarithmos quam Arcus circulares requirat. T . n. 1 2s. Supra vero jam ejusmodi nacti sumus Curvam ex aequa-
307쪽
gione Abscissarum negativarum Curvae nullam dari portionem Continuam , Axis autem A P a Curva in infinitis punctis Dintersecabitur, quorum punctorum ab A distantiae progressio-
nem geometricam constituent, erit scilicet A D - e ι ;
e λ ; &c., tum Verodabuntur infinitae iniqrsectiones ad A propius accedentes.
AD ' - ε - , AD ' - e - , A D e R &c. Deinde haec Curva utrinque ad Axem excurret ad distantias A B - AC I , ibique rectas Axi parallelas tanget in ii finitis punctis E & F, quorum distantiar a B & C pariter progressionem geometricam constituent. Infinitis ergo flexibus Curva ad rectam B C accedet, atque tandem cum ea proi Ius confundetur. Singularis ergo hujus Curvat proprietas in hoc consistit , quod non recta in sinita sed finita B C Curvae sit Asyna tota , quo ipso hujus Curvae indoles ab algebraicis maxime distinguitur. 26. Ad Curvas transcendentes , quarum constructio an- TA 33. gulos, vel solos vel cum Logarithmis conjunctos , requirit, X X Vs referri quoque debent innumerabiles Spin 1L1uM species. k g ΦR 'Bespiciunt autem Spirales punctum quodpiam fiYum C tanquam Centrum , circa quod plerumque infinitis spiris circumducuntur. Natura harum Curiarum commodissi riae explicatur per aequationem inter cujusque Curvae puncti II a Centro C distantiam C A1 & angulum ACM, quem haec recta Cascum recta positione data C A constituit. Sit ergo angulus A C M - s ; seu , sit s Arcus Circuli radio I descripti, qui sit anguli A C M mensura, ac ponatur recta C M r. Quod, si nunc detur aequutio quaecunque inter variabiles s cir . Curva reluitabit spiralis. Cum enim angulus ACM, praeter s, infinitis modis exprimi queat; quoniam anguli 2 π -bs, in f,6 π Φ s, &c., item - 2 s , - s , &c., eandem positionem rectae C M exhibent, liis valoribus loco sDiqitigoo by Corale
308쪽
Lin II. in aequationa substituit , distantia; C M infinitos diversos obtinebit valores , ideoque recta C M producta Cum am in infinitis punctis secabit, nisi ex his valoribus quantitas fiat ima ginaria. Incipiamus ergo a casu simplicissimo , quo est y
a s ', eruntque pro eadem rectae C M positi ne valores ipsiuis y
etiam si pro s ponatur Or s , eadem rectae C M manebit
XXVII. vae ergo hujus forma erit talis , qualis in figura ad marginem in z λς' allegata repraesentatur; rectam scilicet AC in C tangit, hin qu2 duobus ramis, utrinque infinitis gyris Centrum C ambie tibiis & se mutuo in recta B C ad AC normali perpetuo de cussantibus , in infinitum extenditur; eritque recta B C B ejus Di ameter. Vocari autem haec Curva ab inventore solet Spiaralis Archimedea ; atque , si semel est exacte descripta , inseravit ad quamvis angulum in quotcunque partes secandum, uti ea ejus aequatione r o s sponte patet.
327. Quemadmodum aequatio a s , quae, si r & s essent Coordinatae Orthogonales , seret pro Linea recta , praebuit Spiralem Archimedeam ; ita si aliae aequationes algebraicae interi & s accipiantur , in sinitae aliae prodibunt Lineae spirales, si quidem aequatio ita sit comparata, ut singulis ipsius s valoribus respondeant valores reales ipsius Ita, haec aequatio - , quae similis est aequationi pro Hyperbola ad Asym totas relata , praebet spiralem , quae a Cel. Iohanne BERNOuL-xio vocata est Spiralis Hyperbolica atque, postquam ex Centro C infinitis gyris exiisset, tandem in distantia infinita ad rectam A A tanquam Asym totam accedit. Quod si proponatur aequatio ἔ a Us; angulis s negative sumtis nulla respondebit distantia realis ς; valoribus autem affirmativis sit
309쪽
gulis ἰpsius s gemini valores ipsius r respondebunt, alter aia CA firmativus alter negativus : spirae tamen circa C absolventur X X infinitae. Sin autem aequatio inter & s fuerit hujusmodia a V nn- ss , variabilis r nullum habebit valorem re lem nisi s contineatur intra hos limites in n & - n ; ide que hoc casu Curva erit finita. Scilicet, si ad Axem ACB per Centrum C utrinque inclinentur rectae EF, EF, cum Axe xxv u.
angulum n constituentes, hae erunt Curvae sese in C de- FQ. H..cussantis tangentes , ipsaque Curva habebit Lemniscatae formam ACBCA. Simili autem modo innumerat,iles aliae obtin huntur Linearum transcendentium formae, quas evolvere nimis foret prolixum. sh8. Haec tractatio porro in immensum amplificari posset, si inter & s non aequationes algehraicae sed adeo transcendentes accipiantur. Ex quo genere prae reliquis notari meretur ea Linea curva , quae hac aequatione s - n I. Z- exprimia
tur ; in qua scilicet anguli s soni Logarithmis distantiarum rProportionales; ob quam causam haec Curva Spiralis Logariathmica appellatur, atque ob plurimas insgnes proprietates maxime est nota. Hujus Curvae primaria proprietas est , quod Tλη Dinnes rectae ex Centro C eductae Curvam sub aequalibus an- XXVII. gulis inter cent. Ad eam ex aequatione educendam, suan- gulus ACM- s , & recta C, r , eritque s - n l. A- de
ν - a e '; tum capiatur angulus major A C N s in v .
310쪽
3o SOLUTIO NONNUM. PROBLEMAT M
Descente angulorum disserentia M C N - ν , fiet tangens anguli, quem Radius C M cum Curi a constituit; unde, facto υ - o , istius anguli AMC tangens erit - n , ideoque ille angulus constans. Si fierit n I , ii se angulus erit semirectus , hocque casu Spiralis logarithmica vocatur scini rectangula.
Solutio nonnullorum problematύm ad Circulum pertinentium.119. Posi To Radio Circuli I , supra vidimus fore semicircumferentiam IT, seu Arcum I 8o graduum, 3, 3 139χ6 33397'323866ὶ64338, cujus numeri Logarithmus decimalis seu vulgaris est O, 971 987269 33383 3si 268α88; qui si multiplicetur per 2, 3o2 8 &c. , prodibit ejusdem numeri Logarithmus hyperbolicus , qui erit 1 , I 72988 8ψ9ψQo17 143 237. Cum igitur longitudo Arcus 18o graduum sit cognita, inde cujusvis Arcus in gradibus dati longitudo poterit ossignari. Propositus sit Arcus ngraduum , cujus longitudo , quae quaeritur , sit - ; erit 18o :n - π:r, ideoque g : hinc Logarithmus ipsius t reperitur, si a Logarithmo numeri n subtrahatur ille Logarithmus I, 738Iχ2632 O9 722II J2 26413. Quod si autem Ar cus propositus detur in minutis primis, ut sit n/ ; tum a Logarithmo ipsius n Dbtrahi debebit ille Logarithmus 3, 336α73ῖδα79231 ηψ796, 293 1 I. Sin autem Arcus propositus Diuitigod by COOole