Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

311쪽

AD CIRCULUM PERTINENTIUM. 3os

positus detur in minutis secundis ut sit - nq, tum longitudinis it ius Arcus Logarithmus reperietur , si a Logarithmo numeri n subtrahatur iste Logarithmus 3,3 - 3 33 176 39 8o 7oo6o oo9 , vel si ad Logarithmum numeri n addatur 6,68 317 866823s o 3 93χ993999o, & characteristica summae Io subtrahamur.

33o. Ex his ergo vicissim Badius & ejus partes quaecunque, cujusmodi sunt Sinus , Tangentes & Secantes in Arcus converti , hique Arcus more solito secundum gradus, minuta &secunda exprimi possunt. Sit hujusmodi Linea per Radium 1 ejusque partes decimales expressa; sumatur ejus Logarithmus, ejusque characteristica denario augeatur, quemadmodum in tabulis Logarithmi Sinuum, Tangentium & Secantium reprae- .sentari solent; quo facto vel subtrahatur ab isto Logarithmo

mum addatur 3, 3I-χsI33 176q39 8o47oo6OOo9 ἔ utroque casu prodibit Logarithmus , cujus numerus respondens praebebit Arcum in minutis secundis expressum. Polleriori quidem casu characteristica denario minui debet. Quod si autem quaeratur Arcus ipsi radio aequalis; hic sine Logarithmis facilius Per regulam auream invenitur , cum sit mr ad I 8o' ut I ad Arcum radio aequalem ; hinc autem reperitur iste Arcus in gradibus expressus 37',29 779sI3o823χo876798 , idem vero Arcus in minutis primis expressus orit 3 37',7 677o78 93οαs 26o788 ; in minutis vero secundis erit idem Arcus - ΣΟ626ς , 8o62 7o963ss136 728. Consueto autem more hic Arcus expressius continebit

312쪽

3os SOLUTIO NONNULL. PROBLEMATIM

II, 33 I. His igitur praemissis, quibus Arcus circulares cum Sunubus & Tangentibus comparari possunt, plurimas quaestiones ad naturam Circuli spectantes resolvere poterimus. Ac primo quidem , patet omnem Arcum Sinu suo esse majorem , nisi sit evanescens; aliter autem ratio Cosinuum est comparata, quo niam anguli evanescentis Cossinus est I , ideoque Arcu major , anguli vero recti Cosinus est o, ideoque. Arcu est minor : ex quo patet intra limites o' & 9o' dari Arcum . qui sit suo Cosinui aequalis , quem sequenti problemate in-

Inuenire Arcum Circuli, qui si suo Cosnui aequaliso

Sit s iste Arcus quaesitus ἔ eritque s s; EX qua aequatione valor ipsius s commodius quam per regulam fas dictam vix inveniri poterit. Ad hoc autem jam propemodum Val rem ipsius s nosse oportet, quod vel levi conjectura assequi licet: nisi autem hoc pateat, tres pluresve valores locos subiatituantur , & Cosinus pariter ad eandem unitatem revocetur. Ponamus f 3o', quem Arcum ad partes radii revocemus regula supra data l. 3. I, 771213suh trahe i,738I 226 I. Arch. 3o' 9,7189937at est

unde patet Cosinum 3o' multo esse majorem Arcu ideoque Arcum quaesitum majorem esse ὀo', Fingamus ergo Di siligod by

313쪽

AD CIRCULUM PERTINENTIUM. 3o

at eu

at est

continetur ergo angulus quaesitus inter Ao', & 4s': atque adeo hinc proxime definiri poterit. Nam, positos o'. est error - - ΑΟ3166:

& differentia - 8 9213 , Tat ergo ut 8s92Is ad qo3166 ita differentia liypothesumue' ad excessum Arcus quaesiti supra qo', unde Arcus quamitus major fit quam χ', limites enim illi nimis sunt remoti, quam ut exactius definire queamus. Summus ergo limites Propiores

314쪽

3o8 SOLUTIO NONNULL. PROBLEMAT

aequales secatur , unde nascitur. PROBLEMA II.

Invenire Sectorem Cinculi ACB, qui a Chorda A B in duas Partes aequales secetur , ita ut Triangulum ACB aequale se Segmento A E B. Diuitiam by Cooste

315쪽

AD CIRCULUM PERTINENTIUM. 3o9

Posito Badio AC I , sit Arcus quaestus AEB - χs, ut sit ejus semissis A E - B E s : dueto ergo Radio CE, erit AF in .s , & CF cofs: Unde fit Triangulum ACB sn. s. cof S T. sin. 2s , & ipse Sector ACB est - s , qui cum aequari debeat duplo Triangulo , erit s in. χs p ideoque Arcus quaeri debet , qui aequalis sit Sintii Arcus duplici. Primum quidem patet angulum ACB recto esse majorem ;ideoque s superare que ' , unde sequentes faciamus hypotheses

316쪽

XXVIII

aio SOLUTIO NONNULI. PROBLEMAT

Hinc erit s - 34', I 8 , 6', 32 q. Si hunc angulum accuratius determinare velimus , majoribus tabulis uti oportet ; unde faciamus sequentes hypotheses Io' disserentes

ideoque angulus ACB - Io 8',36', 13 ., 6 sejusque complementum 7I , χ3, 46 , ΙΑ , 32 , cujus sinus Logarithmus, seu

Deinde erit, εῖ , 33 .

ideoque ejus duplum, seu

Sicque vero proxime Sector quaesitus construi poterit. Q. E. I. 333. Simili modo determinari potest Sinus , quo Circuli quadrans in duas partes aequales secatur. PROBLEMA III. In quadrante Circuli ACB applicare Sinum DE qui Aream quadrantis in duas partes aquales bisecet. Disitirco by Corale

317쪽

AD CIRCULUM PERTINENTI M. 311

SOLUTI P.

Sit Arcus ΑΕ - s ; erit BE - - - s , oh AEB ---; & Area quadrantis - - π. Iam Area Sectoris A CEest - -s, a qua Triangulum CDE - - .sv. s. of s subtractum relinquet spatium ADE --S - - .sn. s. cos. s , cujus duplum dare debet quadrantem : ex quo erit Z π - s -

tur , qui suo Cosnui aequetur , eumque problemate primo invenerimus , erit χυ--χ', 2o', ΑΤ', I.', & u M', Io , 23'. 37' . Quocirca erit Arcus AE s 66', Io , 23', 37' , &Arcus BE' Σ30, 9 , 3sq, 23 q. Hinc er i Radii pars CD o, O 397I 8,& AD o, 396o 281,atque Sinus DE O,9I477 II. Hoc ergo modo , quo Circuli quadrans bisecatur , totus Cir cuius secabitur in 8 partes aequales. Q. E. F. 33 . Quemadmodum Circulum omnis recta per Centrum ducta bifariam secat, ita ex quovis Peripheriae puncto re Leeduci poterunt, quae Circulum in tres pluresve partes aequales secent. Inquiramus in quadrisectionem , ac resolvamus. PROBLEMA IV. Proposito semicirculo AED B ex puncto A educere Chordam AD quae Aream semicirculi in duas partes aequales secet.

SOLUTIO.

Sit Arcus quaesitus AD αs ; ductoque Radio CD, erit

c A P. XXII.

XXVIII

318쪽

Li P. II. TAB. XXIX. Fig. III.

311 SOLUTIO NONNULL. PROBLEMAT M

BCD - 47', 39 , Ic, o '. Ipsa vero Corda . et D erit in I, 8293ψ22. Q. E. F.s3s. Sic igitur in Circulo Segmentum abscinditur cujus area sit totius Circuli pars quarta , Segmentum autem semissi Circuli aequale est ipse semicirculus ejusque Corda Diameter. Simili modo Segmentum inveoiri potest , quod sit triens totius Circuli , quod sequenti Problemate investigemus. PROBLAΜA V. Ex puncto Peripheriae Α educere duas Cordas AB, AC, quibus area circuli in tres partes aequales dividatur.

Posito Circuli Radio - 1 , & hemiperipneria - π, si Arcus A B vel AC - s ; eritque area Segmenti AEB vel AFC-- s-s . at area Circuli est π ; unde, cum Segmenti AEB area debeat esse triens Circuli , fiet - s - sn.s

319쪽

AD CIRCULUM PERTINENTIUM. 313

Arcus ergo v quaeri debet, qui sit aequalis sinui anguli 6o'-υ. Erit ergo u minor quam 6o' ; ad quem Arcum inveniendum faciamus sequentes positiones

Patet ergo angulum ti aliquanto esse minorem quam 3o', &, calculo subducto, major este debet quam 29' sit ergo u - 290

λ739λο : 736ὶ9- i': I6'. 26 . Foret ergo angulus u 29', I 6 , 26', ad quem accuratius inveniendum , faciamus has hypotheses uno tantum minuto differentes

320쪽

LIB. II. T A B. XXIX. Fig. II 6.

314 SOLUTIO NONNULL. PROBLEMAT

Arcus f - AEB - I 90, 16 , 17', of - AFC; unde resultat Arcus BC - 61', 27 , 6 , os, ipsa vero Chorda AB - AC - 192833 o. Q. E. F. 336. His Problematis , quibus Arcus quispiam quaeritur dato Sinui vel Cosinui aequalis , adjungamus sequens , quo quidem idem negotium proponitur , attamen major difficultas occurrit.

PROBLEMA VI. .

v x. eof s' - T s . unde erit 18o'-s-2va. cos Ps Aeg. 4s'-Ts . Hac facta redinctione, faciamus sequentes positiones Disiligo 7 Ut ple