장음표시 사용
331쪽
cunque ipsarum x & γ , tum ista aequatio exhibebit Superfi- C A P. I. ciem quampiam, cujus natura ex ipsa illa aequatione innotes- cet. Substituendis enim pro x & y omnibus, quos recipere possunt, valoribus , tam affirmativis quam negativis, omnia plani assumti pumna Q obtinebuntur : tum vero Ex aequari
ne ipsius y per x & y constabit ubique longitudo perpendiculi Q Μ - r, donec ad Superficiem, pertingat: qui ipsius rvalor si fuerit assirmativus, punctum Superficiei M supra planum A P Q , erit situm ; sin autem sit negativus , infra hoc planum cadet; si evanescat. punctum S perficiei A f in hoc ipso plano reperietur; at, si fuerit imaginarius, tum puncto Unullum prorsus Superficiei punctum M respondehit. Quod ii
autem eveniat, ut φ habeat plures valoreS reales , tuin reeia
ad planum normalis pcr punctum Q ducta Superficiem in pluribus punctis M trajiciet. 6. Quod igitur ad varias Superficierum naturas attinet, hic statini se offert distinctio in continuas seu regulares, & discontinuas seu irregulares. Superficies scilicet continua erit, cujus omnia puncta per eandem aequationem inter & x & y exprimuntur seu ; ubi r est eadem Functio ipsarum x & γ pro omnibus Superficiei punctis. Superficies autem irregularis est cujus Variae partes per divorsas Functiones exhibentur ; uti, si proposita fuerit Superficies, quae in uno loco sit sphaerica, in alio conica , seu cylindrica , seu plana. Hic autem Superficies
irregulares penitus Excludimus , atque ad solas regulares , quarum natura una quadam constanti aequatione contineatur , respiciemus. His enim pertractatis , quoniam Superficies irregulares ex partibus variarum regularium sunt conflatae, etiam i: lasfacile dijudicare licebit.
7. Superficierum autem regularium primaria divisio instituitur in algebraicas & transcendentes. superscies autem alge
braica vocatur , cujus natura eXprimitur per aequationum alge
braicam inter Coordinatas x , y &r; seu, quando aequa lis est Fundioni algebraicae ipsarum x&y. Contra igitur, si ruoa fuerit Tunctio algebraica ipsarum x dc suu , ii in . eo i
332쪽
δ'' ' λ' tione inter x, γ, & insint quantitates transcendentes , Veluti a Logarithmis & Arcubus circularibus pendentes, tum Supe ficies, cujus natura hujusmodi aequatione exprimitur, erit transcendens. Talis erit Superficies, si fuerit x. l. y ; seu i Ff; seu r-y. sin. x. Facile autem intelligitur Superficies augebraicas ante tractari oportere , quam ad tratiscendeutes Progrediamur.
8. Deinde ad naturam Superficiei cognoscendam, imprimis attendendum est, qolis sit Functio r ipsarum x&y, ratione numeri valorum, quos continet. Hic igitur primum occurrunt eae Superficies, pro quibus r arquatur Functioni uniformi
ipsarum x & y. Sit P hujusmodi Functio uniformis, seu rationalis , ipsaruria x & y ; atque , si fuerit φ P, singulis punctis plani Q totidem respondebunt Superficiei puncta; seu , quaelibet reicta ad planum A P Q normalis Superficiem in unico
puncto trajiciet. Neque vero hoc casu usquam valor rectae
QM fieri poterit imaginarius; sed omnes istiusmodi rectae puncta Superficiei realia praebebunt. Interim tamen ista Functionum diversitas non essentialem varietatem inter Superficies producit; pendet enim a situ plani APQ, qui, perinde ac Axis, est arbitrarius; ita ut, si Superficies eadem ad aliud
planum referatur , Functio i quae erat uniformis, evadere potast utcunque multiformis.
9. Sint P & Q Functiones quaecunque uniformes ipsarum x My ; atque , si fuerit - P r o , tum rectae per singula plani puncta Q normaliter ductae Superficiem , vel
in duobus punctis secabunt, vel nusquam : habcbit enim rduos valores, qui vel ambo erunt reales , vel ambo imagianarii. Simili modo si , denotantibus P, Q R Functiones uniformes ipsarum x&y, fuerit - P - R o; tum erit Functio triformis , & quaelibet recta Q M Supe ficiem secabit vel in tribus punctis, si omnes radices sequa tionis fuerint reales, vel tantum in unico, si scilicet hinarradices fuerint imaginariae. Similique modo erit judicandum ,
333쪽
s r definiatur per aequationem , in qua plures obtineat dimen. siones. Quam multiformis igitur futura sit Functio t faei limo cognoscetur , si aequatio inter x & y & r , ad rationalitatem
Io. De cetero, sicuti in aequationibus pro Lineis curvis hinas Coordinatas inter se permutari posse vidimus , ita inaequatione quavis pro Superficiei tres Coordinatae x, y, & inter se sunt permutabiles. Primo enim , si in plano A P Q altera recta Ap ad A P normalis pro Axe assumatur, erit nunc
mutatae. Reliquae permutationes omnes intelligentur complen
do parallelepipedon rectangulum Ap QMξαrq P A ; in quo
primum spectanda veniunt tria plana fixa inter se normalia AP Qp , AP q tr. & Ap ξπ ; ad quae singula, quemadmodum referatur Superficies proposita cujus punctum eli M, e dem arquatio inter x, y, & declarat. In unoquoque aurem plano duplex datur Axis , uterque initium habens in puncto A, unde sex diversae relationes inter tres Coordinatas resultant. Coordinatae erunt Pro plano APOp vel Velc AP - π
334쪽
Ouod si autem a puncto fixo A ad punctum superficiei Mducatur recta A IM erit ea - v xx -l- Π Φ. . II. Eadem ergo aequatio inter Coordinatas x , y , &7 cognitionem Supersici ei ad tria plana exhibet, quae inter se sunt normalia atque se invicem in puncto A decussant. Quem-madmodum scilicet variabilis r distantiam cujusque Superficiei puncti JI a plano A P Q exhibet, ita variabilis 3 ejusdem puncti Ad distantiam a plano A P q , & variabilis x a plano A P ξ praebet. Quod si autem noverimus , quantis intervallispui:ctum M distet ab unoquoque horum trium Planorum , tum simul ejus verus situs innotescit. Haec igitur tria plana, ad quae Superficies quaevis per aequationem trium variabilium x, 3 6c r refertur , imprimis notari debent; quorum si unum, uti A P Q , fuerit horizontale, duo reliqua erunt Verticalia, alterum scilicet horizontali secundum rectam A P alterum secundum rectam A p insistet. 12. Constitutis ergo his tribus planis inter se normalibus, ad quae Superficies proposita reseratur, ex singulis ejus punctis
& II ξ - x. Deinde , completo parallelepipedo , habebuntur tres rectae istis aequales, quae ex puncto fixo A egrediam tur , scilicet A p - x, A p - , & A π - ἔ, ex quibus si gnitis situs puncti AI determinatur. Manifestum autem est, si istae variabiles x , γ, & r , dum in plagas ; quas Figura
indicat, vergunt, affirmativae censeantur, tum earum valoreS,
si in plagas contrarias dirigantur, negativos censeri oportere. 13. Si
335쪽
i 3. Si in aequatione inter tres variabiles x , y & r ea quae ad planum AP Q est normalis, nempe , ubique pares habeat
dimensiones, tum geminos habebit valores aequaltis, alterum amrmativum alterum negativum. Superficies. igitur ita erit
Comparata, ut ad utramque plani A P Q partem sit sui similis&' aequalis , atque adeo Corpus, quod ista Superficie terminatur , sectione secundum planum A P Q facta , in duas partes similes & aequales dividetur. Quemadmodum ergo in Figuris planis ea Linea recta , qua Figura in duas partes similes& aequales dirimebatur , Di ameter est appellata ; ita in solidis id planum , quo Corpus in duas partes similes dividitur, DL- metriale Vocemus. Quare , si variabilis r in aequatione ubique pares habeat dimensiones, tum planum AP Q, erit diametrale.
14. Simili modo intelligitur , si in aequatione pro Superficie variabilis y , quae ad planum A P ρ est normalis , ubique pares habeat dimensiones, tum planum A P re diametrale. Sin autem variabilis x pares ubique habeat dimensi nes , tum planum A p ξ erit diametrale. Ex aequatione ergo Pro quavis Superficie inter tres variabiles x, y & r data statim apparet, utrum ex tribus planis A P Q , A P q, A p sit
diametrale an secus. Fieri autem potest, ut duo, imo omnia tria haec plana, sint diametralia. Scilicet, pro Globo , cujus Centrum sit in A, ob radium A M- v xx - - γy -- re tama, Erit xx - - Π --, unde singulis siste tribus planis Globus in duas partes similes & aequales dispertietur. 11. Ad Figuram Supersici ei, quae in proposita aequatione continetur, cognoscendam , ad tria illa plana inter se normalia imprimis attendi oportet , quae in Figura repraesentan
se mutuo in puncto A intersecant. Haec tria plana , si iainfinitum quaquaversus producta concipiantur, universum spatium divident in octo regiones , quae in Figura exhibentur litteris AX, AX' , A X' , A XL AX AX' , A X' ,&AX Quod, si jam in prima regione A X variabiles x , y & l, Leseri Introducr. in Anal. insin. Tom. II. T t
336쪽
T s. Commodius autem erit octo has diversas regiones nu-XXXI. meris insignire , quo facilius, de quanam sermo sit , indicare
queamus. Cum igitur octo istae regiones in puncto A sine confines, atque intersectione trium planorum inter te normalium distinguantur; plana autem haec tribus rectis P p, Qq , R rsese in puncto A normaliter decussantibus determinentur, regiones illae tribus litteris P, Q, R, vel majusculis vel minusculis definiri poterunt. Regio scilicet principalis, seu prima, P QR erit spatium , quod parallelepipedum ex tribus rectis AP LA Q , A R in infinitum productis formatum complectitur ἔ ®io r erit spatium , quod parallelepipedum ex tribus rectis A P , A q , Ar in infinitum productis formatum includet. P sitis ergo tribus variabilibus A P - x, A Q -y , A R- , erit utique A p - - x, A ρ - -y, d Ar . - . Sequenti ergo modo octo has regiones numeris distinguemus, ut sit. Drii jZoo by oole
337쪽
A r - - et II7. Regiones istae vel magis vel minus a se invicem discrepant. Primo nimirum dantur binae regiones, quae duas Coordinatas habent communes. unica discrepante . ideoque plano se inVicem tangunt, quas vocemus conjuncus. Deinde , si duae Coordinatae suerint diversae, unicamque habeant communem , regiones Linea recta tantum se tangent, quas vocemus di Iunctas. Tertio, si omnes Coordinatae signis dissentiant, regiones
tantummodo in puncto A se tangent. hasque oppositas vocabiamus. Quae jam regiones cuique sint conjunctae vel disjunctae Fel oppositae sequens tabella exhibebit. Tt χ
338쪽
I8. Patet ergo quamlibet regionem hahere tres sibi con-juctas , totidem disjunctas , unicamque oppositam , atque ex Tabula praecedente statim perspicitur quemadmodum qua libet regio ad aliam quamcunque sit comparata. Ordo autem . quem numeri regiones denotantes in ista Tabula tenent . attentione est dignus ; qui ut melius in oculos incurrat, eosdem numeros eodem ordine quadrato sequenti inclusi. lxlχl l isto 7 1 η
Cujus indoles & proprietates levi attentione percipientur , usus veto sequentibus uberius ob oculos ponetur. Disit iroo by Go Ie
339쪽
9. Ante jam annotavimus si in aequatione variabilis r ubi- CAP. I. que habeat pares dimensiones , tum Superficiem duas esse ha- hituram partes similes & aequales ; pars scilicet in regione prima aequalis erit parti in secunda, similique modo regiones tertia & quinta , item quarta & sexta , ac denique septima &octava inter se convenient, uti quadrati binae series ab 1 & Lincipientes exhibent. Sin autem in aequatione variatis y ubique pares habeat dimensiones , tum regio Prima cum tertia, secunda cum quinta , quarta cum septima , & sexta cum octava congruet. Sed si x in aequatione ubique pares habeat dimen siones , tum regio Prima cum quarta , secunda cum sexta, tertia cum septima, & quinta cum octava congruet. Scilicuis in aeqvatione pares ubique habeat dimen nes. ἔ
4, 6, 7, I, 8, 2, 3, 2o. Ut partes Superficiei in regionibus disjunctis prima &quinta sitae inter se sint aequabes, tum aequationem ita comparatam esse oportet, ut maneat eadem , etiamsi binae variabiles y & r negativae accipiantur Hoc igitur eveniet si ambae y δ: r in singulis aequationis terminis vel pares ubique vel impares dimensiones junctim suauae constituant. Quod si autem regio prima congruat cum quinta , tum secunda cum temtia , quarta cum octava, & sexta cum septima conveniet. Simili modo, si in aequatione pro Superficie binae variabiles x& vel parem ubique dimensionum numerum , vel imparemiihique adimpleant, tum regio prima cum sexta , secunda Cum quarta , tertia cum octaVa, & quinta cum septima congrueta
340쪽
in aequatione pro Superficie ubique vel pares vel tibique impares adimpleant dimenso s
congruent regiones , 2, 3, Φ, , 6, 7,83, 3, 2, 8, I, 7, 6, qvariabiles
congruent regiones I, 2, 3, , 3, 6, 7, 36, , 8, 2, 7, 1. 3.3
congruent regiones 7, 8, , 3, 6, 3, 1,2Quod si autem omnes tres variabiles x , y, O Z junctim comsideratae ubique vel pares vel tibique impares teneant dimensones, tum convenient regiones oppostae
8. 7, 3, ψ . 3, 1. xx. Si ex his conditionibus duae vel tres simul in aequatione inesse deprehendantur , tum vel quaternae vel omnes Octo regiones partes Superficiei similes & aequales continebunt.
Seilicet Si o x O y seorsim consederatae ubique Pares obtineant
dimens es, tum sequentes quaterna regiones congruent
Si Oxo et seorsim consederata ubique pares habeant dimensiones. tum sequentes quaterna regiones congruent