장음표시 사용
341쪽
Si uariabsies y O 2 seorsim consederatae ubique pares habeant C a P. I.
Amensiones, tum sequentes quaternae regiones congruent
xx. Si una variabilium ubique pares habeat dimensiones reliquae vero binae simul consideratae vel ubique pares vel ubique impares constituant dimensiones , tum quoque quaterna regiones congruent, sequenti modo. Si 2 tibique pares habeat dimensiones , O x O y ubique vel pares vel impares dimensones consistiant, tum sequentes quaternα regiones congruem
I, *, 3, 3, 6, 7, 82, 1, 3, 6, 3, Φ, 8, 77, 3, q, 3, 6, 3, 23, 7 , ε, 3, χ, Si y ubique pares habeat dimensones, atque x O Z ubique selpares vel impares dimensiones junctim congiituant,
Si x ubique pares habeat dimensones , atque y O t junctimeonsideratae ubique vel pares vel impares constituant dimensiones , tum sequentes quaternae regiones congruent
342쪽
His ergo tribus casibus simul omnes tres variabiles x, y, & rjunctim consideratae ubique vel pares vel impares dimensiones adimplebunt. 23. Supersunt sequentes casus quaternarum regionum aequalium.
Si x O y δ ubique vel pares vel tibique impares dimensones O y st et S conjiuuant ,
tum sequentes quaterna regiones congruent
, 3. Eaedem ergo similitudines prodeunt , si insuper binae reliquae variahiles x & r ubique vel pares vel impares dimensiones
constituant, ita ut haec conditio jam in proposita contineatur. Portiones ergo Supersiciei in quaternis disjunctis regionibus erunt inter se aequales , si in aequatione binae quaeque varia-hiles junctim consideratae ubique vel pares vel impares dimensiones constituant. Cum autem tres dentur combinationes . notandum est si duae exposita proprietate fuerint praeditae , tum iasimul tertiam combinationem eadem proprietate esse gavis
a . Quod si ad conditiones, quae quaternas regiones similes & aequales produxerant . nova insuper accedat in iis non contenta ; quae per se aequalitatem in binas regiones inferret, tum omnes prorsus regiones inter se fient aequales , atque Su-
343쪽
libus. AEquatio ergo pro hujusmodi Supersici chus omnes C A P. I. hactemus memoratas proprietates conjunctim pollidebit: scit, 'cet, singulae variabiles x , y , i seorsiin consideratae ubique pamres constiturni dimensiones; ex quo jam sequitur binas quasque
junctim consideratas, atque etiam omnes tres simul nimias, ubique pares esse constituturas dimensiones. 23. Utrum autem aequatio inter tres variabiles proposita una duabusve vel adeo tribus exhibitarum proprietatum sit
Praedita an non, id quidem , quod ad cujusvis variabilis pares dimensiones attinet, facile perspicitur. Neque diffficilius est
inquirere, utrum omnes variabiles simul consideratae ubique vel pares vel impares constituant dimensiones. At utrum hianae tantum ad hanc proprietatem sint comparatae, difficilius Erit examinare. Pontitur in aequatione vel x - nῖ, Vel y ns , vel x ny, ac dispiciatur utrum uno alterove casu aequatio
resultet, in qua variabilis r duobus prioribus cas bus , vel νPol tremo casu , ubique induat pares dimensiones : quod si eveniat , duae variabiles junctim sumtae ubique vel pares vel impares dimensiones constituant necesse est; hincque Superficies duas saltem habebit partes inter se similes & aequales.
De Sectanibus Superscierum a planis quibuscunque fama.
26. UEΜADMODUM intersectiones Linearum sunt puncta ita Superficierum intersectiones sunt Lineae vel rectae vel curvae. Intersectio duorum planorum est Linea recta , uti ex Elementis constat. Globi autem plano secti figura est Circulus. Plurimum autem ad cognitionem Superficiei affertur subsidii, si Lineas, quibus Superficies a datis planis intersecatur, noverimus. Hoc enim modo simul infinita Superficiei
344쪽
338 DE SECTIONIBUS SUPERFICIER
APPε punista innotescunt, cum modo praecedente singuli variabilis unius l valores singula tantum Superficiei puncta praebeant. T n. 7. Cum igitur Superficies ad tria plana inter se normalia XXXI. reseramus, ante omnia investigari conveniet interseictiones Su-mς perficiei & horum planorum. Sumto ergo primo plano APQ.
quod variabilibus AP x, A Q-y determinatur, quoniam tertia variabilis r designat distantiam cujusque Supersciei puncti ab hoc plano, perspicuum est, si ponatur ἔ-O,ca Superficiei purusta inventum iri, quae in ipso plano AP sint sta , atque idcirco aequatio residua inter x & y exhihebio Lineam , qua Superficies a plano APQ intersecatur. Simili modo , si ponatur ν - o , aequatio inter x & r exprimet in tersetaoncnr Superficiei a plano A P R factam; atque, posito x - o , aequatio inter γ & r dabit intersectionem Superficiei
Σ3. Supra jam innuimus Superficiem Globi Centrum in puncto A hahentis, cujus radius a, exprimi hac aequatione xx - yy ε-- aa ; hoc ergo exemplo ad illustrationem harum intersectionum utar. Sit igitur o , atque aequatio
xx in yy -aa , exhibebit intersectionem Globi a plano AP Qfactam , quam ergo patet esse Circulum Centrum A & radium, habentem. Simili modo , facto γ o , intersectio Globi a plano APRsam. erit Circulus aequatione ori Π aa, contentus. Eodemque modo , si ponatur π o , aequatio Π ΦΗ - cta , parem Circulum pro intersectione plani A Q R indicat. Ihec quidem sunt satis nota , cum Sectiones Globi planis per ejus Centrum transeuntibus factae omnes sint Cisculi maximi , seu cum Globo radium communem habentes.
19. Haud difficilius erit Sceliones Superficiei per plana alia uni istorum planorum principalium parallela factas determinare. Concipiatur planum plano APQ parallelum ab eoque distans intervallo h , omnia ergo Superficiei puncta , quorum ab eodem plano APQ distantia, quae per variabilem indicatur,ta -li, simul in isto plano parallelo sitae erunt, ideoque i Diqilirco by Cooole
345쪽
A PLANIS QUIBUSCUNQUE FACTIS. 339
tersectionem formabunt. Pro hac ergo intersectione aequatio Chabebitur , si in aequatione pro Superficie ponatur ῖ - h ;tum enim habebitur aequatio inter binas Coordinatas orthogonales x & y naturam Sectionis exprimens. Eodem autem modo
sectiones, quae per plana vel ipsi A P R vel A Q R paralle-Ia fiunt, definientur , unde superfluum foret, quae de uno dicta sunt , in reliquis repetere. 3o. Si ergo in aequatione pro Superficie inter tres Coo dinatas x, γ & r , una earum s ponitur constans h, tum
sectio Superficiei per planum plano A P Q parallelum ab eoque
intervallo h distans formata oritur. Quod si ergo succestive huic litterae h omnes valores possibiles, tam affirmativi quam negativi, tribuantur. tum omnes sectiones Superficiei, quae a planis plano A P Q parallelis formantur , Obtinentur : atque, cum tota Superficies hujusmodi planis parallelis in partes infinitas dissecari possit hocque modo omnes sectiones cognoscantur, ex istis omnibus sectionibus tota Superficies innotescet. Omnes scilicet istae sectiones unica aequatione inter Coordina tas x & y, constantem indeterminatam h involvente, exprimentur ἔ ex quo omnes istae sectiones erunt Lineae vel similes vel
saltem affines una aequatione contentae.
3I. Omnes ergo sectiones Superficiei plano A P Q parabiolae erunt inter se aequales, atque a planis APR, A QR aequali modo trajicientur, si aequatio inter x Sty ita fuerit
comparata , ut eandem maneat quicunque valor ipsi h tribuatur.
Hoc autem evenire nequit, nisi variabilis r cujus loco h est posita, prorsus desit in aequatione pro Superficiei. Quo circa, si variabilis tertia i in aequationem Superficiei omnino nouingrediatur , tum omnes sectiones plano A P Q parallelae erunt inter se aequales; quarum natura exprimetur ipsa Superficiei aequatione ἰ cuippe, quae duas tantum variabitus x & Y involvit. Simili vero modo , si in aequatione pro Superficie vel variabilis x vel y desit, tum omnes sectiones vel plano A QR vel plano APR parallelae inter se congruent. V v L
346쪽
j o DE SECTIONIBUS SUPERFICIER M
APp ηP- 31. Hujusmodi ergo Superficies non solum animo facile concipitur , sed etiam construitur atque in data materia estOrmatur. Ponamus enim in aequatione deesse variabilem l , ita ut aequatio tantum sit inter Coordinatas A P - x & A U
P M - y ; ex hac in plano A P Q describatur Linea curva xx g β Quo facto concipiatur Linea recta infinita ad pla-FQ. HL num hoc perpetuo normalis secundum Lineam hanc curvam B MD circumferri; atque haec recta motu suo producet seu efformabit Superficiem , per eam aequationem indicatam. Unde
prespicuum est, si Linea BAID fuerit Circulus, tum Supe ficiem ex eo ortam fore Cylindri recti; sin autem Linea B MD fuerit Ellipsis, tum Superficiem Cylindri scaleni generari. Quod si Linea BΜυ non fuerit continua , sed ex pluribus rectis conflata figuram exhibens rectilineam , tum Super ocies resultabit prismatica.33. Quod hoc Superficierum genus Cylindri & omnia
Prismata in se complectitur , universum hoc genus Superficierum appellari conveniet cylindricum, seu pri alicum ; singulae autem species sub hoc genere contentae determinabuntur per figuram planam B MD, ex qua, modo ante descripto, sintortae : atque ista figura B MD Bois appellabitur. Quoties ergo in aequatione pro Superficie una trium variabilium x, y .r deest , tum Superficies hac aequatione contenta erit cylindrica seu prismatica. Quod si autem duae variabiles y & x simul desint ; tum ob x - Constanti , Linea Bu D abibit
in rectam ad Axem A D normalem , atque propterea SuPe ficies fiet plana normalis ad planum AP Q. 3 . Post hoc Superficierum genus maxime notari meretur id, quod oritur ex aequatione inter tres variabiles x, y & homogenea, seu in qua tres istae variabiles ubique eundem dimensionum numerum constituunt, cujusmodi est Π mxr- - -l-yy. Hinc enim omnes sectiones, quae fiunt per plana uni ex tribus principalibus parallela, erunt figurae inter se similes. Namque, si tribuatur ipsi r valor constans h, manifestum est aequationem hh-mhx in xx -hn, si pro h succes.
347쪽
A pLANIS QUIBUSCUNQUE FAcTIS. 34
sve alii aliique valores tribuantur, infinitas continere figuras CA n. inter se similes ; quarum Parametri sint aequales , seu Pr pol tionales ipsi li. Cum igitur hae sectiones non solum sint similes, sed etiam cret cant in ratione distantiarum a plano APQ, Lineae , quae ex puncto A per singularum sectionum puncta lita
mologa ducuntur, erunt PCctae.
33. Proposita ergo hujusmodi aequatione inter tres variabiles x, y, & r homogenea , tribuatur ipsi r valor datus A h; sitque I Ssmm figura in plano ipsi APQ parallelo & per punctum R ducto , quam exhibebit aequatio inter x & y , ita ut sit RV-x, & VM-y. Quod si ergo haec sectio una
TS, Mm fuerit descripta , concipiatur circa ejus Perimetrum circumduci Linea recta infinita perpetuo per punctum A transiens ; atque haec recta motu suo describet Superficiem inaequatione proposita contentam. Perspicuum vero est, si figura Trasum fuerit Circulus Centrum in R habens, tum prodire Conum rectum ; sin Ic non sit Centrum, conum scalenum tat, si illa figura fuerit rectilinea, orientur cujusque generis Pyramides. Quam ob rem Superficies, quae in hoc aequationum generum continentur , hic conicas seu pyramidales vocabi
36. Ex his manifestum est, si aequatio inter tres varia hi-Ies x , y & r fuerit homogenea , atque adeo Superficies conica seu pyramidalis; tum non solum omnes sectiones uni plano principali APQ parallelas inter se esse figuras similes, quarum Para metri sint distantiis sectionum a vertice A proportionales; sed , ob eandem rationem , intelligitur quoque , omnes secti nes, quae sint vel plano APR vel plano A QR parallelae , eadem illa proprietate esse praeditas, ut sint figurae inter se similes , quarum latera homologa teneant distatiarum ab A ra tionem. Infra Vero ostendetur, omnes omnino sectiones hujusmodi Corporum, quae sunt inter se parallelae, seu quae sunt parallelae plano cuicunque per Vorticem A ducto , inter se quoque fore similes, earumque Parametros distantiis a vertice Aessie proportionales.
348쪽
3 1 DE SECTIONIBUS SUPERFICIERUM
37. Latius pater genus Superficierum , ad quod nunc sum progressurus. Sit Z Functio quaecunque ipsius ; ac proponatur aequatio quaecunque homogenea inter tres variabiles x ,
prodeat aequatio homogenea inter x, y & H. erunt omnes sectiones, plano APQ parallelae, figurae inter se similes, quarum Parametri autem non distantiis h . sed earum Functioni hus Herunt portionales. Ex quo Lineae per harum sectionum puncta homologa duetie non erunt Lineae rectae , sed Curvae a Functionis r ratione pendentes. Tum vero etiam hinc non 1 equitur, sectiones , quae alio cuipiam plano sint parallelae , sore inter se similes. et 8. In hoc genere ambo praecedentia continentur. Si enim fuerit Z - , seu Z - α r , ob aequationem inter x. y &7 homogeneam, orientur Superficies conicae. Idem evenit, si Iuerit Z - α β ; hoc tantum discrimine . quod Uertex
Coni non in ipsum punctum A cadat; scilicet, si fuerit Z ----- , Vertex Coni ab A distabit intervallo b. Quod si jam
statuatur b - oo , figura conica ab it in cylindricam, fie que Z I. Hinc aequatio pro Superficiebus cylindricis ita erit comparata , ut in ea variabiles x & y una cum constanti iubique eundem dimensionum numerum adimpleant. Quomodocunque autem aequatio inter x & y fuerit comparatu, si tertia variabilis r in eam non ingrediatur , semper per unitatem homogeneitas impleri potest : unde, uti supra jam ostendimus. omnis aequatio una variabili careus exprimit Supersiciem cylindricam.
39. Inter haec Corpora , in quibus omnes sectiones , uni plano principali APQ parallelae, sunt figurae similes, maxime notatu sunt digna ea , quorum istae sectiones sunt Circuli Centra in eadem recta AR ad planum AP Q normali habentes.
Hujusmodi Corpora torno efformantur, indeque tornata BP
pellantur. Pro hujusmodi ergo Corporibus aequatio generalis erit ZZ - πι - - Π : quicunque enim valor variabili tribu
349쪽
A PLANIS QUIBUSCUNQUE FACTIS. 3 3
lur, ut fiat Z - Η , prodibit pro sectione plano APQ parallela aequatio ΗΗ - xx Φ yy , quae est pro Circulo radium - Η & Centrum in recta AR habente. Si fuerit ZZ - rt, habebitur Conus rectus : sin Z Z - a a , Cylindrus ; & , si ZZ - aa - prodibit Globus , quae sunt
species praecipua: Corporum tornatorum. go. Contemplemur ejusmodi Corpora, quorum omnes se
tiones PT V normales ad Axem A P sint Triangula , horunique Apices T in Linea recta DT Mi AP parallela sitae. Sit A UB Basis hujus Corporis , seu ejus sectio in plano APQ secta, quae sit Curva quaecunque. Sit distantia rectae DT Axe AB, nempe AD , c : positisque , ut hactenus, tribus variabilibus AP - x, P Q-γ , Querit P V Functio quaepiam ipsius x et sit ea PV- P : erit, ob triangula M. VPT similia, P:c-Ρ- οῦ seu c M. Pro hujusmodi ergo Corporibus aequabitur Fune-1ioni cuipiam ipsius x. Disserunt igitur haec Corpora a conicis,
quod desinant in aciem rectam DP, cum conica desinant in cuspidem. Si Basis A UB ponatur Circulas , Corpus resultans a W A. L L I s I o fusius est pertractatum , atque con cuneus appellatum. I. Sint, ut modo, omnes sectiones Axi AB normales PTV triangula ad P rectangula , quorum Vertice autem Tconstituant Curvam quamcunque AT: Basis autem fit figura
- - , vel constanti. Quod si ergo in aequatione ambae
350쪽
344 DE SECTIONIBUS SUPERFICIERUM
variabiles y & r una plures dimensiones nusquam constituant, tum Corpus ad hoc genus pertinebit , quod hic descripsimus. 1. Quoniam jam sumus contemplati ea Corpora, quorum omnes sectiones , uni plano principali parallulae, sunt inter se similes : nunc ea consideremus , in quibus Omnes illiusmodi sectiones fuit sigurae inter se 1 altem astines ; seu, quae, sumtis Abscillis homologis , habeant Applicatas inter se proportion les. Sint isetur huj iis modi Corporis tres sectiones principales
ABC , A CD , & ABD, quarum isti A CD omnes sectiones parallelae debeant esse figurae assines. Quare in ea ponatur Basis AC - a , & altitudo AD - b sumtisque Coordinatis Aq - ρ , & qm: αρ , sit q Functio quaecunque ipsius p. Concipiatur nunc sectio quaecunque parallela PTU, posito intervallo A P - x ; eritque Basis P U- Functioni ipsius x, quae sit - P , & altitudo PT Functioni ipsius x , quae sit Q. Vocetur jam P Q & QM- ; atque, ex amnitatis natura, erit a : P - P : I & bos Q : r ; seu y - - ,
3. Quod si ergo datae fuerint omnes tres sectiones principales Corporis , ABC , A CD , & ABD ; hinc natura ipsius Corporis determinabitur, quod habeat omnes sectiones , ipsi ACD parallelas, simul eidem allines. Primum enim dacitur P & Q Functiones ipsius x ; tum vero est q Functio ipsius p ; unde , ex binis variabilibus x & ρ , definiuntur ambae variabitus y & r. Verum , si aequationem inter tres Coordinatas x, y & r desideremus; quoniam ρ est Functio ipsius p astu , quia datur arquatio inter p & q , in hac aequatione substituatur p - ρῶ sicque, ob P & Q Functiones
ipsius x , Orietur aequatio inter tres Coordinatas x , y & r, qua natura Corporum ad hoc genus pertinentium exprimetur. Patet autem , posito x-o , fieri oportere P a & Q b.