장음표시 사용
171쪽
rso DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
introducere liceat in sequentes per modum pra missarum , ubi non statim, quando illatae fuerunt , in locum praemissae alsumuntur in syllogismo proxime sequente , quemadmodum in exemplo primo factum esse apparet num. I, & II, S. & in praesenti num. IU, & VII. Enimvero, si demon stratio symbolice repra sentetur, gradum sistere licet in singulis, quae sigillatim expressa exhibentur,& quacunque mora interposita redeunti progredi datur , ac si nulla interposita fuisset. Quantacunque
igitur fuerit ratiociniorum eo usque continuandorum series , donec perveniatur ad ea , quae demonstranda fuerant ; non tamen dotatigabitur animus ratiocinationi in longa serie continuandae minus adsuetus. Nec distrahitur animus, quocunque, durante illa quam interponere visum
est mora, cogitationes tuas convertaS. Non interrumpitur eadem attentio,
quae ad demonstrasonem afferenda, ne desit sensus evidentiae ad convi tionem plenariam requisitus. Immodum omnia , ad quae animus advertendus, oculis spectanda subjicit, attentionem mirifice juvat, sive ca cxcitanda , sive conservanda fuerit. Neque dosetigatur imaginatio, atque memoria ι quatenus conclusiones syllogismorum anteriorum retinendae, ut carum prompte meminerimus,
dum in syllogismos sequentes introducendae; cum oculis in ea, quae distinete scripta cernuntur , converta, sua sese sponte sistant, quamprimum earundem mein inisse debemus. Neque citam haesitas in eo , quomodo progrediendum sit in domonstratione, donec absolvatur. Etenim clarismune
vides, primum sermari propolitiones ex iis, quae in hypothesi &, ubi ea non susticit sola, in praeparatione sumuntur, ut, adscitis principiis, manterioribus instrantur conclusiones,
donec hypothesis & praeparatio fu rit exhausta. In locum hypotheseos& praeparationis , deinde succedunt conclusiones hoc pacto elicitae , &' quomodo introducendae sint in novos syllogismos, tum thesis, quae demonstranda oculis objicit, tum mC- moria principiorum, quae conspectust conclusionum & in thesi contento-l rum offert, ostendit. Quodsi adeos principia anteriora semiliaria experiris , in distincte concipienda demon-matione nihil prorsus difficultatis percipitur. Redduntur autem tam Lliaria , si eo , quem praescripsimis, modo expendantur , & symbolicae
repraesentationes, quas cXplicaVimus, aliquoties animo recolantur.
F. s. Qui principia, quibus opus
habet, nondum adeo semiliaria oκ- peritur , ut sponte sua memoriam iubeant , quoties iisdem opus os ;ei inserviunt citationes demonstrationibus in contextu insertae. Hae enim
Ostendunt paragraphum, in quo Principium continetur, quod ad Propositionem, vel ex hypothesi ac Praeparatione Drmatam, vel ex conclusi nibus Diuitigod by Goc le
172쪽
C . I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &e. 1 si
nibus jam elicitis assiimiam aut derivatam , applicatum conclutioni cli. ciendae inservit. Patebit hoc, demonstrationis symbolicam repraesentatio
nem cum contextu conterenti, ut
adco opus non sit plura in hanc rem afferri. S. 46. Notandum nimirum , in contextu demonstrationem concisius proponi; quantum suificit, ut singula suggerantur, quae animum subire debent , ubi illam distincte concipere volueris. Quodsi tamen contextum cum resolutione , qualem hic praecepimus, & repraesentatione sinibolica, qualem exhibuimus, conferre volueris ; facile observabis, demonstrationem in contextu positatri esse utriusque directorium, ne haesites inco, quid fieri debeat. Facile adeo animadvertes, demonstrationes ita a nobis fuisse expressas, ut huic instituto maxime conveniant. Disces
etiam , resolvendo demonstrationesco, quem praecepimus, modo, & symbolice repraesentando, easdem minime effici prolixiores: cum sunplendo ea, quae conspcctus schomatiimi suggerit& quae citationes insinuant, eodem prorsus ordine prodeant singula ratio. cinia , quo eadem posuimus. Immo, si sufficiente attentione uti volueris, in te ipso experieris, deesse adhuc aliquid sensui evidentiae, quamdiu singula ratiocinia non formaveris; pra sertim ubi uno vel altero exemplo eundem acquisiveris, ut ne igninrcs differentiam , quae inter distinc-m i Oper. Mathem. TOm. V. tam & confusam perceptioncm intc cedit. Abiit itaque ut tibi persuadeas, hic a nobis pracipi, quae a contextu abhorrcnt, ac per inutilcs ambages ad scopum tendi.
S. 67. Enimvero non inconsultum esse videtur , ut exemplum quoque demonstrationis theor malis arithmetici in medium atatamus. Sumamus itaque theorema a I S. I 8 I Arithm.),
quo superius usi sumus g. a ) ct quod ita habet : Si duas quocunque
quantisates per eandem tertiam dividas ; quotι sunt inter se ut quantitates
divisa. Theorema hoc si mbolicc ita
A & B quantit ates F: G A:B. di, idendae, C dividens communis,
prodeuntes Patet itaque demonstrandum esse,
quotos F & G csse quantitatibus A & B proportionalcs, cx eo, quod prodeant ex divisione quantitatum A & B per candem tertiam C. inodsi ergo ex hypothesi sumis : Quotus Fprodit ex divisione quantitatis A per quantitarem C ή ex anteriorib is S.I7 Arithm. succurrit principium: In divisione unitas est ad divisorem, ut quotus ad dividendum. Unde infertur : i , sive unitas , est ad Cut F ad A. inodsi porro ex hypothesi sumis : Quotus G prodit ex divisione quantitatis B per qua X titatem
173쪽
isa DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
litalcm C ; vi ejusdem principii infertur : unitas , sive i, est ad Cut G ad B. Exhausta hypothesi, ut inde nihil amplius concludi possit,
ubi conclusioncs modo elicitas inter se confers , patebit rationes F ad A,& G ad B, esse duas rationcs eidem tertiae I ad C aequales. Succurrit itaque theorema S. I 67 Arithm. : Rationes aequales eidem tertiae sunt aequales inter se. Atquc hinc infertur: Rationes F ad A & G ad B esse aequales , seu esse F r A G: B. Enim vero thesis ostendit, quaeri quomodo sese habeat A ad B. Huc si animum advertas, succurrit theorema I 8 S.I73 Arithm. Quantitates proportionales etiam alternando proportionales sunt. Atque adeo tandem insertur, esse F: G A : B, quod crat demonstrandum. S. 68. Symbolica demonstrationis hujus repraesentatio haec est i
Nulla hic opus est praeparatione, cum sola hypothesis ea contineat, unde vi principiorum anteriorum tandem infertur conclusio , quae vi theseos inde elicienda. Quod si maJoris perspicuitatis gratia in nume. is demonstrationem repriaesentare volueris, non alia re opus est , quam ut literis substituanuir numeri ; eo modo, quo
174쪽
op. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. 163
I: 3 8: a 4, per demonstrata n. I. I : 3 4 : Ia, per demons Ia n. a.
per litoras designatis subscribi, vel ad latus adjici, prout supra factum csse apparet ῆ. a J, ut claritate sua dispellant obscuritatem , quae signis
istis universalibus adhaerore videtur , quamdiu iisdem nondum satis fueris adsuetus. Ceterum si demonstrationem in numeris exhibere volueris , eadem demonstratione ad plura exempla applicata , absque ulla molestia fit rcpetitio , quod idem agendo semper aliud agcre tibi videris,
quatenus numerorum diversitas varietatem quandam inducit. f. 9. Cum repraesentatio demonstrationis in numeris non sit nisi ipsa demonstratio scientifica, seu generalis, ad cxemplum aliquod , majoris perspicuitatis gratia, applicata; quemadmodum in Geometria demonstratio applicatur ad figuram in charta delineatam , quae singulare exemplum praebet; ideo in eadem acquiescere licet, nec opus est , ut iisdem signa universalia substituas; modo tibi caveas , ne in ratiocinia tacite invehas determinationes nonnullas , quae in sunt numeris assumtis, non vero hU-pothesi. Etenim tum demonstratio non succedit , nisi in eo casu, ubi istae determinationes adsunt ; consequenter tantummodo casum quendam particularem attingit, nec universaliter demonstratur, quod erat demonstrandum. Atque adeo con- tingere potest , ut, dum conclusio in casu particulari elicita habetur pro universali, in errorem incidas. Enimvero error hic praecavetur , modo probe consideres, num quod assumis, 'conclusionis inferendae gratia, totum
in hypothesi contineatur , aut per praeparationem superaccedat , si praeterea aliud quid sumitur, nulla hab,
ta ratione eorum , quae numeris quatalibus insunt. Ita enim certum est, in omni exemplo alio ratiocinationem eodem modo procedere, nec
argumentationem fieri ab eo , quod huic exemplo inest singulare, sed ab eo, quod cum omnibus aliis sub hypothesi contentis commune habet.
numeri intcgri rationales. Ast principium , quo mediante hinc inferimus conclusiones , scilicet quod in omni divisione sit ut unitas ad diu visorem , ita quotus ad divide dum , satis ostendit, conclusionem
175쪽
364 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
per divisionem duorum numeroruma & ra , per eundem tertium 3 prodeuntes, nec supponi quotum esse
numerum integrum rationalem; consequenter nihil hypothesi superaddi,
dum domonstratio ad excmplum aliquod singulare applicatur. Ceterum, quae hic dicuntur probe notanda sunt, cum usum habeant etiam extra Mathesin atque in partibus Matheseos mixtis, di in cognitione Naturae mathematica , ubi majore circumspectione opus est, quam in Arithmetica : praesertim si theoria accurata nondum prostat, unde haurienda sunt principia demonstiandi ; nec distinctis ratiociniis in demonstrando fueris adsietus ; qualia requirit nostra de- monitration uin rcsolutio, earundemque symbolica repraesentatio, secundum leges animae , naturali ordine
ex hypothesi &, quae subinde eidem
stipe iaccedere debet, praeparatione, tanquam ex sente suo, pro luentia , quemadmodum cx principiis Psycho-lagiae empiricae demonstrari potest nullo negotio , modo ea habueris perspecta. S. o. Quoniam demonstrationis universalitati nil quicquam decedit, dum ad exemplum aliquod applicatur S. - ; ab ejus repraesentatione in numeris facile abstrahitur demonstratio, qualem libro inseri convenit; si quae assumuntur, & conclusiones quae hinc inseruntur , verbis cnun- cientur , & conclutionibus adjiciam tui citationes principiorum , quia rum vi hae inferuntur. Ita in casu dato
S. 48 talis prodit demonstratio :Quoniam quoti ex divisione duarum
quantitatum per candem tertiam reissultant, per hypothesin ; quilibet eorum est ad quantitatem divisam
ut unitas ad tertiam , quae utramquC
dividit S. 17 Arithm. ; consequenter quoti ad quantitates divisas eandem habent rationem g. 67 Arithm. . Sunt igitur inter se ut quantitates divisis S. i 3 Arithm. . e. d.
S. 11. Quodsi problema aliquod
demonstrandum cst ; notandum idem converti in theorema, sumta rcsolutione cum datis tanquam hypothes, & co, quod fieri debet , tanquam thesi. Ex. gr. Problema de ducenda linea alteri parallela, per punctum CX-tra ipsam datum , adhibita resoluti ne prima , quam superius exempli
loco produximus S. 27 , in hoc
theorema convertitur : Si ex puncto, extra lineam dato, demittatur ad lincam datam perpendicularis ; & expuncto alio intra candem pro arbitrio assumto, crigatur pcrpendicularis altera eidem aequalis : recta per punctum datum & extremum perpem dicularis alterius transiens est lineae datae parallela. g. 32. Ubi problema in theorema fiterit conversum, resolutio demonstra. tionis eodem modo absolvitur, quo in
demonstrationibus theorematum rein
solvendis usi sumus g. 38, i S 67 .
Sit ex. gr. resolvenda demonstratio
problematis, quod modo ad theorema
176쪽
c .L DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS &c. iss
rcvocavimus g. sI ; demonstratio Tib. I. Ita procedit. Recta VΚ, ex puncto VM 1, extra lineam RS dato , ducta est ad eandem perpendicularis ; recta TA, ex puncto T intra rectam RS pro arbitrio assumta, est itidem ad eandem perpendicularis, alterique perpendiculari VK aequalis, per constructionem seu resolutionem : adeoque perpendicula , inter rcctam datam RS& rectam per punctum V & A ductam intercepta , VK & TA aequalia sunt. Enimvero si perpendicula inter duas lineas intercepta aequalia sunt, lineae istae sunt parallelae g. aa 6 Geom. . Linea igitur, ducta per panctum datum V & extremum A alterius perpendicularis TA, est parallela linea datae I S. Ze. d. Videmus adeo ex iis, quae constructio, juxta resolutionem problematis facta suggerit, unico syllogisno inferri, quod demonstrandum
crat: quae ratio est, cur nullam in contextu demonstrationem adjecerimus,
sed tantummodo citationem principii, vi cujus cx constructione insertur, quod erat demonstrandum , nempe parallelisinus linearum RS & MN. S. y3. Symbolicatamonstrationis hujus repraesentatio nihil prorsus difficultatis habet. Etenim non alia re opus est, quam ut repraesentationi symbolicae resolutionis supra datae s. 27 adscribas data ex repraesen ratione problematis symbolica, & ad summum adjicias propositioncm ex
iisdem sermatam ι prouti hic factum esse vides: 'pothesis. Thesis Recta RS data, MN parat. RS.
VΚ perpendicularis ad RS, T punctum pro
MN parallela ipsi RS. Q e. d. S. Iq. Quoniam demonstratio problematis, quod exempli loco in medium protulimus G. 3 I & seqq. ,
perbrcvis est, utpote quae nonnisi unico syllogismo constat; non inconsuutum videtur addere cxemplum adhuc aliud. Sumamus itaque problema 3 3Geometriae de invenienda linea media proportionali inter duas datas. Sunt itaque data rectae duae AB & BE; Tab. I. quaesitum est recta BD media pro- - Qportionalis inter AB & BE. Resolutio jubet rectas AB & BE jungi in directum, ut prodeat recta AE; superAE describi semicirculum ADE : &cx B crigi perpendicularem BD semicirculo in D occurrentem; quae esse dicitur media proportionalis inter
demonstrare volueris. resolutione in
hypothesin versa & propositione prothesi sumta; sequens prodit theore
177쪽
166 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
semicirculus , & cx puncto quocunque diametri B erigatur perpendicularis BD semicirculo in D Occurrens; erit ea inter segmenta diametri AB& BE media proportionalis. S. 3 1. Quod si jam hoc theorema
demonstrare volueris, praeparatio accedere debet. Ducantur itaque rectae
AD & DE , chordae arcus semicirculi cognomines subtendentes, ut prodeant triangula ADB, BDE&A D E. Quo facto demonstratio ita
resolvitur. Sumimus ex constriicti
ne: Recta BD perpendicularis est ad AE. Hoc ubi perpendis, definitio perpendicularis lineae suggerit hoc principium g. 78 Geom.) : Si linea
recta fuerit ad alteram perpendicularis , anguli , quos cum ea efficit, recti sunt & aequales g. 7s Geom. . Unde insertur angulos m & n esse rectos & aequales. Porro rectae AD& DE semicirculum subtendunt, vi praeparationis & AE diameter circuli est , per constructionem. Unde patet, quod ADE sit angulus in s micirculo. Huc si animum advertis succurrit theorema g. 317 G m. ) : Angulus in semicirculo rectus est. Unde infertur: angulus ADE seuo ε x rectus est. Est vero ctiam angulus m rectus, per demonstrata.
Quamobrem, si angulum m ad an- lguium οὐκ reseras, succurrit princi- lpium g. i s Geom.): Omnes angu- lli recti inter se aequales sunt. Unde inscrtur : angulus m trianguli trianguli ADE. Enimvero angulus' utrique triangulo ADB & ADEcommunis est, atque adeo duo in hisce triangulis anguli aequales sunt. Memoria suggerit, siquidem anteriora eidem mandaveris , quemadmodum fieri debet, adeoque hic supponitur : Si duo anguli unius trianguli aequentur duobus alterius, etiam tertius unius aequalis est tertio ait rius s. a 6 Geom.). Hinc itaque colligitur angulum o in triangulo ADB csse aequalem angulo e in trian
gulo ADE. Quod si jam angulos in
triangulis ADB & DBE inter se conserS , tum patet duos angulos m & o trianguli ADB esse sigillatim aequales duobus angulis n & α alterius trianguli DBE. Succurrit itaque , ex anterioribus memoriae probe infixis , principium: si duo anguli unius trianguli fuerint sigillatim aequales duobus angulis alterius, triangula latera aequalibus angulis Opposita pro-l portionalia habcnt g. 267 Geom. .l Hinc infertur , latera AB & BD in triangulo ABD esse proportion ita lateribus BD & BE in triangulo DBE, quorum scilicet illa opponuntur angulis o & 3 , hi vero angulisl α & x, angulo o cxistente aequali a gulo α & angulo 3 aequali angulo a per demonstrata. Habemus adcoAB: BD BD: BE. Q. e. d. Ita demonstrationem rc luimus, ut singula distincte enuncientur , quae in
notionibus continentur , quae ean
dem absolvunt, & praesentcs animo Dissiligod by Corale
178쪽
ejus esse dcbent, qui eadem convincitur. Tab. I. g. I 6. Demonstratio problematis' hujus symbolice ita repraesentatur.
'pothesi. Desis. AB recta data BD recta quaesita. BE recta data AB: BD-BD BEAE diameter semicircuirADE semicirculus
BD perpendicularis ad AE, per conser. I'. m & n anguli recti
II. AD & DE semicirc. subtendunt, per praeparat. AE diameter circuli, pre constrin. adeoque ADE angulus in semicirculo.
m n, per demonstrat. num. I. vir n, per demonserat. num. q.
F. y-x &AB: BD-BD: BE. Q. e. d. f. IT. Atque adeo patet, inter demonstrationum theorematis & pr blematis nullam intercedere disserentiam , modo problema in theorema conVertatur, quemadmodum id fieri debere praecepimus S. 3 E, I . Et hoc pacto docuimus omnia , quae observanda sunt ei, qui ad secundum cognitionis humanae gradum adspirata Unicum adhuc moneri consultum ducimus; scilicet quod eκ resolutione demonstrationum pateat, cur pr positiones pure enunciare debeamus, quas brcvitatis gratia in contextustatim ad figuras retulimus, expositione cum propositione in unum conis fusa. Etenim ubi distincte ratiocinari volueris, quemadmodum exigit resolutio demonstrationis; necesse est ut propositiones singulae pure
enuncientur. Quamobrem etiam pure enunciatae memoriae mandandae s cum alias applicatio, in casu dato, ob literarum figuris adscripta.
179쪽
isg DE STUDIO MATHEs EOS RECTE INSTIT.
scriptarum diversitatem, confundat, ut alificilis ac molcsta evadat. In addiscenda igitur Mathesi morem veterum sequi tonemur, ut primum propositioncm unamquamque pure enunciemus, ac deinde eandem exponamus , separata expositione a propositione, quando eidem immixta.
f. 38. Quodsi objicias, nos nihil
dixisse de corollariis, quorum tamen bene multa in Elementis nostris occurrunt : facilis est responso. Corollaria enim sunt propositiones, quarum veritas perspicitur per definitionem, vel propositionem, cui subjiciuntur. Quoniam pleraque corum demon-matione indigent, quam per modum
principii ingreditur definitio, vel propolitio , cui subjiciuntur ; quae de
resolutione & symbolica repraesentatione propositionum diximus, ea quoque de corollariis tenenda. Nimirum propositio pure en unctanda, deinde cxponenda, exposita in hypothesin & thesin resolvenda, quarum utraque consueto more symbolico repraesentata. Demonstratio deinde , codem modo resolvenda, quo eandem in anterioribus resolvimus , eodem etiam modo symbolice repraesentanda, quo eanὸem in anterioribus rcpraesentavimus. Nullis
igitur peculiaribus praeceptis hic
S. 39. Ne quicquam in dictis supersit obscuri, exemplum aliquod superaddere lubet. Sumamus itaque
corollarium quartum theorematis 34 S. a 28 Geom. , quod revera est corollarium praecedentis tertii; cum non theorema ipsum, sed rius corollarium tertium ingrediatur demo strationem tanquam principium. Proinpolitio in codem contenta haec est e
Si in triangulo reciangulo cashetus unus Fumatur pro basi , eris alter altimis.
Haec propositio ita exponitur. Sit MKL triangulum, MK & KL catheti ejus. Dico si ΚL sumatur pro basi, Tib.Lfore MK altitudinem ejus. Hypo thesis adeo est quod triangulum M KL sit rectangulum , MK & KL sint catheti, & KL sumatur pro basi; thesis autem, quod cathetus MK sit altitudo trianguli. Demonstratio ita resolvitur , si nihil perceptioni co filis tribuere, sed singula aὸ notionem distinctam reduccre volueris Figura MKL triangulum rectangulum est, per hypothesin. Succurrit definitio 1 a cf. si Geom. : In triangulo rectangulo
angulus unus rectus est. Unde cori-
cluditur di In figura MKL angulus unus reictus cst: Porro latera MK MKL sunt catheti , per hypothesin. Succurrit definitio 17 F. 96 Geom. . Catheti trianguli rectanguli angulum
rectum intercipiunt. Unde insertur. Angulus Κ rectus est. Studio utor
syllogismo cryptico , quem a crypsi facile liberabit in Logica versatus, tum quia syllogismi cryptici frequentissme sua veluti sponte sese offerunt in demonstrationibus , manifesti autem
180쪽
cip. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. I so
lem studio quaerendi; tum ut crVpseos in ratiocinando idea animo sese inlinuet profutura in Logica, ubi theoria syllogismorum crypticorum
trad tur. Ceterum hanc conclutionem , quam modo intulimus , unicactiam ratiocinatione colligere licet hoc modo: Angulum K in triangulo rectangulo MKL catheti intercipiunt, per hypothesin. Angulus in triangulo rectangulo, quem cathcii intercipiunt, rectus est. Ergo angulus Κrectus est. Ex co, quod angulus Κredius sit , pcr immediatam consequentiam infertur : Cathetum M K cuin altero ΚL ethccre rectum.
Quod si hanc conclusionem sumas tantuam praemissam novi syllogismi, vi dcfinitionis lineae perpendicular s S. 78 Geom. succurrit principium:
laris est. Unde colligitur: Cathe-tus MK ad a'terum KL perpend cularis est. modii perpendas ex puncto M ad reetam KL ductam csse perpendicularem MK , succurrit vidcfinitionis s,. 81 Geom. 2 princi Pium : punctum, ex quo perpendicularis ad rectam duci potcst, eidem rcetae opponitur ; quod scilicet ex definitione , animo obvcrsante per consequontiam immediatam clicitur. Unde insertur: Punctum M catheto trianguli KL opponitur. Jam rectae KM & LM in puncto M concurrunt ad formandum angulum ΚML, ut acleo M sit verteκ hujus anguli,
k Oper. Mathem. TOm. V. quod per definitioncm 26 F. 34Geom. patet, nec demum per ratiocinia distineta elicere lubet. Hoc ubi perpendis, ac praetcrea ex hypothesi sumis quod KL st basis trianguli, succurrit definitio 74 S. Ii Geom. : Vertcx figurae est vertex anguit bali oppositus. Unde infertur :Punctum M est vertex figurae seu trianguli MKL. Rccordatus quod ML sit ad KL perpendicu aris , per demonstrat tinem , hoc formas judicium: Cathctus MΚ cst perpcndiculum cx xcrtice trianguli M in basin KL demissum. Quo dii denique huc animum advertis , succurrit principium g. a 27 Geom. : Per scia diculum cx vertico figurae in basim ejus demissim est a titudo figurae. Atque hinc tandem concludis: Cathctum MK cste altitud nem trianguli redum-guli MKL. s. oo. Quod i hanc demonstrafonem symbouce repraesentare Volue
tis . hoc modo id feri diabere, ex an terioribus abunde liquet. Hipothesis. Thess. MKL Δ rceiam MK altitudo, gulum,
MKL Δ rectangulum , per hypothesin. I'. In Δ MKL angulus unus rectus