장음표시 사용
181쪽
1 o DE STUDIO MATHEI EOS RECTE INSTIT.
ΚL basis, per spothesin. adeoque MΚ perpendiculum re vertice M in basim KL demissum. MΚ altitudo Δ rectang. M .
g. 6 I. Insunt resolutioni demonstrationis praecedentis , quae attenti nem merentur. Nimirum quando per notiones confusas clare perspicimu5, quae distincte cognoscenda ratiociniis inserenda, saltum in rati , cinando committimus qui quando admitti possit citia lapsus periculum, ex resolutionc confuse perceptorum in ratiocinia patet. Quod ii integram Arithmeticam & G cometriam eo m do pertractate libuerit, quem prinscripsimus & cxemplis illustravimus, vix quia quam in theoria Logicae occurret , cui non lux affundatur. Ipsa quoque resolutio demonstrationis corollarii , quam modo in medium attulimus, clarissimc docet, cur in d finiendo fuerimus prolixiores, quam vulgo ficri solet, & cur multa demonstraverimus principia , quorum nubius in Elementis Geometriae locus esse solet. Etenim , omissis istis definitionibus atque principiis, in demonstrationibus saltus in demonstrando committuntur, nec distinctam hujus notionem consequi datur , ubi nu quam , quae per notiones confiis clara putantur , distinciis ratiociniis inferuntur. Equidem non nego Uronibus initio studii mathematici molestum esse hunc rigorem, imino supcrfluum videri, propterea quod demonstratione non indigere existimantea, quae absque demonstratione vera intelliguntur; non tamen hinc sequi tur , rigorem istum sua carere utilitate. Quamvis adeo, initio studii m thematici , in gratiam tyronum , alaeo tantisper sit recedendum, in progressu tamcn non negligendus. Ea det causa in Elementis Germanicis mu lea
non definivimus, quae in Latinis dC
182쪽
C p. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &e. 1 i
niuntur; multa sine demonstratione i usum , quem in communi cogitatio. sumimus in illis, quae in hisce demon- num sese mutuo excipientium serie strantur. Nec hoc fecimus sine observamus. praegnantibus rationibus, quae mani- S. 63. Nos in Elcmentis nostris iustae evadent per ea, quae capite se- demonstrationes eo ordine digcssiquente dicentur. Non defuere, qui mus , ut in ratiocinia ex hypothesitantum definitionum & principiorum,& superaccedcnte praeparatione , si demonstratorum apparatum impro-iquando opus est, deducta & inter se barunt; immo autores nobis fuere, concatenata facile resolvi possint. ut in nova editione resecaremus, Etenim conclusioncs co ordine sese quae ipsis superflua vidcbantur, prop- invicem excipiunt, quae in repraesenterea quod evidentes sint demonstra-jtatione symbolica exhibentur, & iistiones, absque illis definitionibus & adjiciuntur citationes, quibus inise absque principiorum istorum demon- nuantur principia , quae in resolustrationibus. Enimvero si nostram tione commemorantur. Sumuntur
demonstrationum resolutionem vidc- etiam, ex hypothesi &, in demon-rint & ex sequentibus consilium in- strationibus problematum , ex contellexerint, quo id fecimus ; non struistione unde insertur conclusio , dubitamus fore , ut aliud sit ipsorum immo etiam ex demonstratis , conis judicium. clusiones ; nisi immediate ingredian- S. 6 a. Probe autem notandum tur ratiocinium proxime sequens, ut est, tum demum demonstrationes etae eandem bis poni inconsultum foret. naturales, seu ordinatas, & comple- Saltus si quos admittimus, quemad-tas, adeoque consummatas , quales modum in corollario, quod cxem.
in Logica requirimus g. 7sy, 8s ,ipli loco modo adduximus, tales sunt, 8ss si eo modo resolvantur, ut, nisi acutior fueris in demonstrania quem praescripsimus , ut plenariaido, eos non animadvertas, quod oriatur convictio , nec quicquam oculis in schema convcrsis per se ci quoad evidentiam desiderari possit. ra videntur; vcluti quod M sit vom
Et qui in Psychologia empirica satis tex trianguli , quod MK & KL im
fuerit versatus , ex principiis ibidem tercipiant rectum K. Nullum vero traditis, demonstrabit, tum demum,in demonstrationibus nostris depre- facultatum animae in cognoscendo,hendes hiatum, ut Omitterentur quae- rectum fieri usum, ubi demonstratio-idam , quae ad formanda ratiocinianes eo modo expenduntur, quo eas sunt nccessaria ,& sine quibus singula, dem resolvere docuimus. Nec mi-iquae ad demonstrationem requirunnus patebit, in demonstrando tum tur, formari nequeunt: qui ipse hia
cum fieri facultatum cognoscendi i tus demonstrationem reddit incom. V α pletam Disil by Corale
183쪽
i , DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
exactam hanc formam logicam naturae animae convenientem , quemadmodum ex Psychologia constat, demons rationibus vulgo non tribuunt autorcs : unde cadem facilitate non resolvuntur in ratiocinia, ex quibus constant, nec symbolice eo modo absque disti cultate repraesentantur, quo nos casiacm exhibere docuimus. a'amobrem, ex nostris quoque Elementis, Mathesis minore studio atque minore temporis intcrvallo ad-d sci potest, quam ex aliorum scit p-tis ; & si qua sphalmata, vel typographi incuria , vel festinante scri.
hentis calamo, irrepsere, Ea attentione adhibita haud difficulter corriauntur. DS. O . Vulgo demonstrationes non eo modo expenduntur, quo nos casrcsolvere docuimus. Immo ipse, cum Mathesi addiscendar operam darem , aliam viam ingrcssus sum, d nec tandem studium philosophicum
cum mathematico conjungcns & nrationem evidentiae anxius inquirens, in veram inciderem. Nimirum vulgo animum primo convertimus in conclusionem quam contextus iuggerit, & deinde inquiritur in rati
nem, cur ea tanquam vera sit admit.
tenda , quae vel cx hypothcsi, vel ex definitione , aut propositione quadam anteriore petita , & cum schomate oculis sub ceto colla a , at lcnto vim consequentiae confuse percipicndam exhibet, nullo ra.iocinio distincte
formato. Ex. gr. Si quis demonstra. tionem theorematis 6 S. Is 6Geom. expendere volucrit , is conclusiones xo &3lo i8o constri cum figu-Τab. I.
ra , ut intelligat, quid affirmetur. Quaerit deinde , cur haec propolitio sit vera ; & S. I 8, qui citatur, evolvens, ubi legit angulos deinceps positos juncitim sumtos conficere i8o grad. , recurrit ad figuram, ex qua ubi confuse percipit, angulOSIS Mitemque o de 3 este deinceps positos,
duas istas conclusiones admittit tar quam veras. Deinde recordatur, quod detrionstrandum sit , anguloso de Y esse aequales, hanc conclusionem cum illis confert, oculis in figuram conjecitis. Et ubi videt , cos relinqui, si angulus communis 3 auferatur , theorcinatis veritatem admittit ; cur hoc faciat quaesitus, respondens, quia ab aequalibus idem aufertur, seu particulariter, quia angulus communis 3 aufertur ; a&iomaistud , quod codem ab aequalibus
ablato aequalia relinquantur, nonnisi consule sibi repraesentans. Unde aud as alios respondentcs, hoc per se patere. Solenne enim est hominibus , ut per se liquere dicant id, quod pcr confusas perceptiones verum apparci, cur vero verum sit rationem rcddere nequeunt. Admi
tuntur hinc saltiis & hiatus in domo strando, quae, initio studii math matici , subinde haud parum o
flant evidentiae ad plenariam convi- rionem requisitae , antequam con
184쪽
Cap. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS &c. a 3
fusis istis ratiocinationibus adsuescas, ut familiaritas suppleat defectum evidentiae.
S. 6y. Quid intersit discriminis
inter nostram demonstiationum resolutionem, & communem eas ex
pendendi morem ; in scipso experietur , qui initio studii mathematici utramque viam ingreditur. Magis autem idem animadvortet, ubi in philosophia nostra versatus, Utrumque modum cxpendendi demonstrationes inter se conscrt. Quam diversi autem sint fructus , quos hinc percipere datur, cx capite sequente eluce1cet. Dicta igitur de secundo cognitionis gradu acquirendo suffciant. s. 66. Restat ut dicamus de tertio cognitionis gradu, quomodo ad eum perveniatur, quantum hic datur. Tertius cognitionis gradus inco consistit, ut ex iis, quae cognovimus , alia adhuc noόis incognita proprio marte eruere valcamus fg. I).
si quis demonstrationes nostra mothodo resolvit ; is modum colligendi cx assinatis quaesitum , continuo ratiociniorum nexu, inde perspicit S. 38 , ΑΙ , 47 , Ia, - , 39 )Quodii ergo has itum resolvendi demonstrationes prascripto modo sibi comparavcrit ; habitu ratiocinandi pollui, quo in veritatibus sibi adhuc incognitis eruendis opus habet. QRamobrem ista demonstrationum rosolutio maximopere quoque com mendanda est, in usum tertii cognitionis gradus i ita ut ad tertium appropinquemus, dum secundo acquirendo studemus. Et qui ad tertium cognitionis gradum adspirat, is multus esse debet in demonstrationibus
resolvendis ; cum omnis habitus non modo acquiratur, Vcrum etiam pem ficiatur , augeatur, & conservetur
continuo eXercitio g. 3o, 63 H A. empir. . Quamobrem cui te tius cognitionis gradus curae cordique est, is acquiescere non debet in Elementis Arithmeticae & Gcometriae, sed ad alias quoque Matheseos partos progredi tenetur. S. 67. Si ex assumtis ratiocinando , colligendum cst quod in thesi continetur ; ipsa resolutio demonstrationis , pra scripto modo facta, loquitur, non opus csse ut hoc tanquam cognitum praesupponatur. Quamobrem , sub generali tantummodo determinatione supponi potest
tanquam quaerendum. Unde theoremata convertere licet in problemata , qine , sub data in hypothesi conditione, investigari jubent, quod
thelis continet. Ita theorema de aequalitate angulorum verticalium g. 38 in hoc convertitur problema: In c-nire rationem angulorum verticaliumcκ intersectione duarum linearum rectarum prodeuntium. Similiter theorema de congruentia triangulorum angulum aequalem cruribus aequalibus comprehensum haben
blema : Invenire rationcm triangulo-
185쪽
i DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
rum angulum unum aequalem aequalibus cruribus comprehensum habentium ; & rationem, quam habent anguli duo reliqui unius ad duos reliquos alterius sigillatim ; necnon latus tertium unius ad latus tertium alterius. Theorema arithmeticum , de quotis, ex divisione duarum quantitatum per eandem tertiam resultantibus , quantitatibus divisis propor
transmutatur: Invenire rat onem qu
torum, qui prodeunt, si duae quantitates per eandem tertiam dividuntur. Denique corollarium, quod, catheto uno trianguli rcctanguli sinito probas,cathetus alter sit altitudo g. 1s ad problema redigitur hoc modo : sumto catheto uno trianguli rectanguli pro basi ; invenire, aut determinare altitudinem ipsius. Discere hinc li-Cet , quomodo quod jam inventum est spectetur ut adhuc inveniendum, ct instar problematis proponatur ad
exercendam artem inveniendi. Sane omnia theoremata , non modo in Arithmetica atque Geometria , Uexum etiam in omni Mathesi rcliqua, hoc modo ad problemata rediguntur, quae tanquam inveniendum proponunt, quod jam cognitum est, dum cxercitii gratia tanquam adhuc incognitum supponitur. S. 68. Quodsi theoremata ad se mam problematum fuerint reducta, quibus aliquid invcniendum proponitur ; data a quaesitis sunt distin. guenda. Quoniam in hac convcrsione aut, si mavis, reductione; qua in hypothes continentur, sumuntur tanquam data ; quod vero in thesi continetur, sub determinatione quadam generali, exhibet quaestum ;data & quaesita eodem prorsus modo a se invicem distinguuntur, quo superius thesin ab hypothesi separavimus. Ita, in exemplo primo angulorum verticalium, dari supponimus duas lineas sese mutuo intersecantes, ex quarum intersectione necesserio oriuntur anguli verticales ; quaeritur autem , quaenam si horum angulorum ratio ad se invicem. In thesitheorematis , determinatur ratio , quae inter eos intercedit, nimirum
quod sit ratio aequalitatis. Ast hic qualis ea sit, ignotum supponitur Minvestigari jubetur. In exemplo secundo de congruentia triangulorum, datur in duobus triangulis ratio, quam habet angulus unus unius a ad Tis. I. unum alterius A, ratio crurum a b adHr
AB & ac ad AC, nempe quod ubivis sit ratio aequalitatis, seu a A,M-AB & ac AC r quaeritur autem ratio lateris tertii ab ad AB , anguli b ad B, anguli e ad C M totius trianguli ac b ad totum ACB Immo quaeri etiam potest , utrum triangulum ac, sit simile, an dissimile triangulo ACB. In thesi thoorematis , denuo determinatur ratio horum omnium ad se invicem ,
qualis sit ; scilicci quod sit ratio aequalitatis , seu b c BC , b - B, C & Δ a e b - Δ ACB. Hie
186쪽
CU I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. I s
vero eadem tanquam ignota supponitiir de investigari jubetur. In excmplo tertio , quod arithmeticum cst, dantur duae quantitates, datur quantitas tertia , per quam istae dividendae , ut duo prodeant quoti ; quaeritur ratio , quam habent quoti hi ad se invicem. In thesi theorematis
eadem determinatur, nimirum quod eadem sit cum ratione quantitatum
divisarum s sed hic tanquam ignota' supponitur & investigari jubetur. Denique in exemplo quarto , datur species trianguli MKL , nimirum quod sit rectangulum, datur etiam bans, scilicet quod ea sit cathetus XL; determinari jubetur altitudo. In
theoremate seu corollario , quod in problema conversum fuit, altitudo determinatur, nimirum quod ea sit cathctus alter MΚ : hic vero demum quaeritur. Videmus adeo,
quomodo data a quae sitis distinguan
S. 69. Enimvero non sine ratione data a quaesitis discernuntur. Cum enim id, quod quaeritur, per ea quae dantur, determinetur ; ex datis ratiocinando colligendum est quassitum. Facimus hoc , dum demonsti ationem nostro more resolvimus ; neque enim in omni ratiocinatione supponitur tanquam cognitum, quod inde tandem colligitur, quando ratiocinatio finitur. Quamobrem patet, ad inVeniendum quod quaeritur, non aliud requiri, quam ut modo praescripto ratiocinemur. Nostrae igitur reis
lutiones demonstrationum totae an
lyticae sunt ; ostendentes modum , quo ex datis colligitur quaesitum, seu ratiocinando pervenitur ad id, quod invcstigandum erat. Eaedem adeo non minus ad tertium cogniti nis gradum ducunt, quam ad si cundum : id quod non obtinet, ubi
communi more demonstrationes expenduntur g. 6 . Insigne hic patet discrimen , quod inter nostras demonstrationum resolutiones , &communem eas expendendi modum intercedit: tanti aestimandum, quanto praestantior est gradus cognitionis tertius , quam secundus. Vclim huc animum advertant illi, quibus nostrae demonstrationum resolutiones superfluae, aut prorsus pueriles videntur. inodsi cxemplum
Vertere volueris, qui ad artem eximia inveniendi pervenerunt absque ista demonstrationum resolutione ; hoc parum nos movebit. Objectionem
enim eine nullam capite sequente ostendemus. Absit itaque ut hoccxemplo ab ista, quam commendavimus, demonstrationum resolutione te deterreri patiaris.
S. 7o. Ex iis , quae diximus &per anteriora satis manifesta sunt, liquet, quantum fallantur, qui sbi alii'ite persuadere conantur, quod demonstrationes syntheticae, quales
sunt EUCLIDIs, atque Geometr rum veterum, non simul sint analytiacae , consequenter veritates eodem modo
187쪽
modo ab ipsis rcperiri non potuerint, quo dcmonstrantur. Etenim, si ex alliuntis legitime ratiocineriS, quemadmodum ficri debere cx prin-ipiis Psychologiae cmpiricae demonstrari potest ; eodem prorsus modo colligitur quod ignotum est, & ad investigandum proponitur, quo, quod jam notum cst, .lcmonstratur. Dcdimus filcm Oculatam, quae in suspicionem adduci minime potest. Memini me olim , cum in Academia Lipsiensi Mathesin atque Philos
phiam docet cm , anicquam ad Proscisoncm Mathematum in Academia Halensi vocarer, Artem inveniendi juxta regulas D n. DE T SCHIRN-H A U s E N in Medicina meauis explicatam , per exempla exerciturus , Geonactriam es cntarem ca methodo pertractasse , ut theoremata ad
problemqta revocarem , & quomodo ex assumtis in hypothes , tanquam datis, eruatur quod in thosi continetur, tanquam quaesitum, Ostenderem, ipsaque problemata tanquam nondum soluta, sed adhuc solvenda proponerem, idemque imitarer in Arithmetica. Unde contigit in Elcmcntis Germanicis Arithmeticam praeticam a me pertractari methodo vere analytica ; ut ex unica notione numeri rationalis , qui juxta definitioncm EUCLIDis , fictitur tanquam imitatum multitudo, nimirum, juxta
methodum g cncticam, tanquam Ortus cx continua unitatis additione,
integi am Arithmeticam practicam
deduxerim , tyronum captui accommodato modo : quod tantisper attenti tacite animadvertent; iis autem
satis superque pei spectum est , qui
Dcdimus etiam hinc inde specimina quaedam in his ipsis Elementis Latinis , vcluti ubi de ex traditione radicum , & numeris aeque-differentibus agitur. S. 7 I. Ex rcsolutionc domonstrationum pra scripto modo facta, praeterea videre cit , singula ratiocinia , quibus collig tur quod demonstrandum crat, aut, ubi th orcina in pro. blema mutatur, quod investigandum fuerat, supponero aliquam definitionem, Vel propositionem jam cognitam, quae, vel opc ejus quod assumitur, seu datur, vel auxilio conci sionum jam clicitarum, in memoriam
vocatur. Parci etiam ne unicum
quidem ratiocinium abessio posse, siquidem ex assumtis infercndum, quod demonstrandum , vel ex datis deducendum , quod investigandum
erat. Etsi cnim non omnes ratiocinia distincte expendant : in confusis tamen ipsorum notionibus, quae animo obversantur , actu continentur.
Quaelibet adeo veritas latcns, ubi in apricum producenda, certas veritates cognitas supponit, quarum si vel una ignoratur, ut quaesitam invenias
fieri nequit. Q no plures igitur vinritates, hoc est, definitiones ' propositioncs. tibi pol spectae fuerint . coplures quoque invenire poteris ; cum
188쪽
abundes principiis, quibus ad rati cinandum indiges , ex datis inventurus quaesitum. Quamobrem dum s cundo cognitionis gradui acquircndo studes, ad tertium quoque acquirendum te pr paras, immo aptum reddis. Qui inoffenso pede, in det genda veritate latente eκ iis quae dantur, progredi voluerit; ei principia, quibus ad ratiocinandum opus habet, familiaria osse debent; ut ea, veluti sponte sua memoriam subeant, quoties eorum usus requiritur. Definitiones itaque , & propositiones , in
quarum etiam numerum referuntur resolutiones problematum , cum eo
quod fieri jubetur in theorema convcris , memoriae firmiter infigendae sunt ei, qui ad tertium cognitionis gradum adspirat ἔ ut multus esse debeas in acquirendo gradu primo, antequam ad tertium propercs ; nisi quod expediat ea , quae demonstra.
tionum vi tanquam vera assecutus es,
tanquam invenienda tibi proponi F. 6 7 : ita enim tanto facilius &absque ulla molostia, immo potius cum insigni voluptate, memoriae mandabis, quae eidem firmiter inhaerere debent, ac una cum gradu secundo tertium acquires. g. 7 a. Demonstrationes etiam mechanicae ad tertium cognitionis gradum ducunt; quatenus tentando manifestant incognitum S. 3 a ) : qui,
bus cum aequipolleant cκ empla innumeris s. 3s λ, horum etiam usus cst in tertio cognitionis gradum mi Oper. Ac them. TOm. V.
comparando. Quoniam tamen demonstrationes mechanicae , perinde ac cxempla S. cit. , veritatem comspiciendam non praebent, nisi in casu singulari, aut ad summum in particulari S. 33J ; in iis non acquiescendum, ne cum periculo crrandi a singulari ad univcrsale argumenteriS. Quamobrem propositio in casu singulari, vel particulari, detecta sumi debet tanquam universalis, & in problema converrenda ; ac deinde inquirendum , num, ex datis legitime ratiocinando , universaliter erui pos sit, quod in casu singulari, vel particulari , verum cognovisti. Ita comstat olim PYTHAGORAM animadvertisse, si quadratum numeri 3, quod est y, addatur quadrato numeri ψ , quod est is, summam a s exhibere
quadratum numeri s. Quamobrem cum perpendorct , si latus unum trianguli rectanguli fiat trium , alterum vero quatuor partium, hypothmnusam esse partium quinque; cons
quenter quadratum hypothenusae aequale esse quadratis reliquorum laterum ; suspicio ipsi onata est, num haec sit proprietas trianguli rectanguli, ut quadratum hypothenusae sit aequale quadratis laterum simul sumiatis. Non dissiteor levem admodum hanc esse suspicionem , si secundum regulas probabilitatis aestimetur; sed levis etiam suspicio ad investigandum verum invitat. Quamobrem ubi super trianguli rectanguli lateribus fuere constructa quadrata, supera Z cedere
189쪽
1 8 DE STUDIO MATHESEOS RECΤE INSTIT.
cedente praeparatione ad compar tionem quadrati hypothcnusae cum quadratis reliquorum laterum requisita, eo modo detegi poterat veritas, quo thcorcina istud demonstravimus S. 437 Geom.). Dico veritatem theo.
rematis hoc modo detegi potuisse :cum cnim confici , ipsiam non uno modo demonstrari posse, & demonstrationem unamquamque , nostro more resolutam , monstrare modum
ad veritatem liquidam perveniendi S. 7o , non una patebat ad camdem via. Demonstrationes itaque mechanicae, si tanquam artificium heurishicum adhibeantur, haud raro faciunt , ut de problemate quodam cogites, cujus cogitatio alias animum non subiret.
S. 73. Exempla, quae in superioribus dedimus, dicta confirmant. Ita si ducas lineas AB & CD se mutuo secantes in E , ut prodeant anguli
verticales o Je x; ac, vi demonstrationis mechanicae, corum aequalitatem deprehendas N. 32 ; ubi porro
sumis aequalitatem angulorum verti- calum tanquam universaliter veram,& hoc theorema in problema convertis S. 67 , eodem modo eruo tu veritas in omni casu, quo theOrema hoc demonstrandum esse ostendimus g. 38. o . Similiter si construas triangulum quodcunque ACB,& deinde altorum aes, ea conditione , ut fiat AB , angulus
gulo ac b exciso ex charta, in qua delineatum fuerat , ita ponas super altero ACB, ut putastum a in A, &latus ab in AB cadat; atque videas, triangulum ac besse alteri ACB aequale, & esse praetcrca b c BC, C C, atque ι-B; ubi hoc sumis tanquam universaliter vorum, & theorema in problema convertis S. 67 , codem prorsus modo ratiocinando assequeris, quod quaeritur , quo theorema demonstrandum esse supra praecepimus S. I, 7o . Me tacente patcbit , quomodo eadem valeant de exemplo , quod in numeris exhibet theorema , de quotis, ex divisione
duorum numerorum per eundem tertium resultantibus , numeris divisis proportionalibus ; ut plura eam in rem dici non sit opus. Obiter o servo, demonstrationem mechanicam de congruentia triangulorum, ubi ad
notionem congruentiar.animum ad
vertis, simul insinuare principia, quibus opus est ad ratiocinandum, sive in demonstratione synthetica, sive in investigatione ejus, quod quaeritur
ut adeo idea confusa , quae oculis obversatur, integram demonstrationem contineat, ab ea abstrahendam , si ad notionem distinctam revocetur. Immo notionem theoremati respondentem osse univcrsalem agnoscimus, si in rationem coincidentiae eorum,
quae in triangulis discernuntur, inquirimus , quatcnus patet candem rationem redire in quolibet casu. Coincidit hic demonstratio mechanica cum exemplis, quibus uni o saliter
190쪽
C p. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. i o
siliter repraesentavimus numerorum quadratorum & cubicorum gene lin g. 161, 266, 277, 28o Aru .). Ex. gr. in exemplo numerico , Io
quadratum numeri ψ , quae cit pars secunda radicis, prodit, quia ducitur in seipsum S. 246 Arithm. J.
Idem vero cum fiat in quocunque exemplo alio, eadem quoquc semper adest ratio , cur quadratum partis secund e prodirc dchoat. Similiter in exemplo geometrico, punctum b c
dit in B , quia a ponitur super A, & ab super AB , estque ab - AB.
Singula vero cum eodem modo sese habeant in exemplo quocunque alio, eadem semper adest ratio, cur punctum , in B cadere debeat. Principium nimirum ontologicum est, quod posita ratione sustici cnte ponatur
etiam id, quod propter eam potius est quam non est S. ii 8 OmoL : quod principium in Arte inveniendi
multum habet usum. g. 74. Constat G superioribus
S. o ), hypothesin solam non semia
per susticere , ut inde colligatur, quod erat demonstrandum ; sed praetcrea accedere debere praeparatiOnem, qua superadduntur iis , quae in hypothesi sumuntur, adhuc alia, cadem non invita sumenda, ut ex sumtis colligi possit, quod thesis continet. Q oniam theorematis in problemata conversis , quibus investigandum proponitur, quod thesis insinuat S. 6 ratiocinatio, eκ as, semiis tanquam dayis, eodem modo
cedit ad colligendum quaesirim , quo, in rcsolutione demonstrationis praescripto modo facta, colligitur quod demonstrandum crat S. 7o ); facile
intelligitur, praeparatione cadcin non minus opus esse in veritate in est, ganda , quam in jam inventa demonstranda. Quando praepalat one opus sit, quivis animadvertit ἱ nimirum, quando animum advertons ad assumta, deprehcndit decise principia,
quorum vi ex iis clicitur conclusio una, vel plures eliciuntur, prout casus tulerit. Hic itaque dispiciendumnum, praeter ea quae hypothclis continet tanquam detorminantia id quod thesi continetur, sumi adhuc possint alia istis minime repugnantia , quibus accedentibus, hypothcsis aptaeficitur ad conclusiones , vi principiorum anteriorum, inde inserendas. In demonstrationibus pra paratio ista non demum quaerenda ι sed Autor, qui theorema demonstrat, eam supinpeditat. Ast ubi theorema per m dum problematis proponitur ι Praeparatio non tanquam cognita specta.
ri potest , sed adhuc incognita supponitur; non tanquam jam inventa consideranda venit , sed tanquam quaerenda spectatur. Ad tertium igitur cognitionis gradum adspirans
inquirere tenetur, quomodo praepM tio innotescere potuerit. In cxemplo de triangulis, angulum aequalem aequalibus cruribus comprehensum habentibus, constat, datis cruribus cum an malo latercςpto, construi posse Z a trian