장음표시 사용
191쪽
rso DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
triangulum consequenter per crura data & angulum interceptum datum triangulum , non minus integrum, quam latus ejus tertium , eidemque ad contos duos angulos reliquos deici minari ; adcoque ire hypothesi nihil eorum deficere, quae assumenda sunt, ut inde colligi queant, qua
per ca deici minantur. Quoniam V ro quaeritur triangulorum ratio, ratio lateris tertii unius ad tertium alterius , & ratio angulorum ad idem adjacentium in uno ad angulos ci-dem adjacentes in altero sigillatim aratio vero omnis vel aequalitatis vel
inaequalitatis est S.I3o Arith.); per modum hypotheseos tantisper sumitur, rationem aequalitatis hic obtincri. Haec hypothesis cum examinanda sit, utrum veritati consentaneast, nec ne ; quaeritur quomodo aequalitas innotescat. Quamobrem, cum, juxta notioncm communem , aequalitas aestimetur ex congruentia, notio congruentiae insinuat triangu lum unum super altero poni debere Atque adeo in praeparationem incidimus. Vides adeo, quomodo notiones communes insinuare queant praeparationem : id quod tamen non semper procedit, cum non omnia ex notioni-hus communibus immediate deduci possint. S. 7s. Quoniam tamen, per naturam animae impossibile est , ut quicquam nobis in mentum veniat, nisi quatenus antea cognita , beneficio eorum quae nunc cogitamua , vel in memoriam revocantur, vel ratiocinationem ingrediuntur; quae ex noti nibus communibus immediate deduci nequeunt, ex aliis utique notionibus derivanda. Quamobrem ut hoc a pareat, sumamus exemplum alterum,
quo usi sumus in superioribus g. 3 λin demonstratione problemaris , de invenienda media proportionali inter duas rccias datas , in hoc theorema conversi t Si ex quocunque puncto diametri excitetur perpendicularis peripheriae circuli occurrens , erit ea inter segmenta diametri perpendicularis. Patet hic demonstrandam esse proportionem linearum AB, BD
BE ex eo, quod BD sit ad AE perpendicularis & ADE semicirculus.
Quamobrem cum constet, triangula similia habere latera aequalibus angulis opposita proportionalia I consequenter linearum proportionem ex
triangulorum similitudine colligi posse ; ideo liquet, dispiciendum esse, annon lineis quibusdam ductis, ut
prodeant triangula, obtineri possint triangula similia. Ducuntur itaque subtensae arcuum AD & DE ; quia sic prodeunt triangula ADB , ADE& DBE, quae , per modum hypotheseos , sumuntur tanquam similia, ab co qui vcritatem demum investigat; & deinde experimur , num eorum similitudo demonstrari possit; consequenter num haec bene sumta
fuerit. Quodsi modum, quo in hanc praeparationem incidis, distincte perpendis a evidem est, id quod demo γ ' stra'. Diuiligod by Goosl
192쪽
CU. I. DE DIVERIIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. 18r
strandum est ad animum revocare similitudinem triangulorum. cujuS notionem antea tibi acquisivisti ; & ex hypothesi theorematis palol, ductis rectis AD & DE, Obtineri triangula,
quae utrum similia sint, nec ne, angulos eorum inter se conferenti innotescit ; cum ex anterioribus constet , triangulorum similitudinem ab aequalitate angulorum pendCre; consequenter per eandem probari. Ni. mirum in inveniendo conjecturis locus est ; ubi cx iis, quae dantur, Viprincipiorum tibi perspectorum, ratiocinando colligi nequit quod quaeritur; quemadmodum in demonstranda aequalitate angulorum verticalium succedit S. 83. Cum Vero conjectando, nonnisi casu , prima statim vice incidamus in veritatem ; ideo haud raro variis modis tentanda est praeparatio , antequam in eam incidas, quae recta est r id quod satis experiuntur, qui veritati proprio marte cruendae Operam navant. EnimVcro de iis hic dicere disertius, quae ad Artem inveniendi spectant, nostri
non est instituti, ubi tantummodi d cemus, quomodo ad praeparationempe enire potuerint, qui bene politam retinuerunt. Bene autem postas esse eas, quae in demonstrationibus adhibentur, ipse successus in demonstrando probat. Non tamen existimandum, est , quass earundem inventores prima statim vice in casinciderint, quemadmodum exemplummodo datum insinuare videtur ; sed
potius tenendum, tentatis haud raro pluribus sine successu , eam retentam tuisse, quam successus approbabat. Sed talia, suo tempore, demonstraturi sumus a priori, ex ipsa animae natura,
in Arte inveniendi; ii quidcin Deo visum fuerit corporis animique vires eo .usque conservare, donec ad hanc te iam pertexendam ordo nos deducet. S. 76. Hic non aliud agendum est, quam ut ostendamus, quomodo inquiramus in modum, quo ad praeparationes in Elementis nostris occurrentes pervcniri licuerit ; rcddendo rationem, cur hoc modo fiat, tum . ex conditionc propositionis demonstram dae, tum ex anterioribus , quae tanquam cognita & nobis familiaria supponuntur. Quodsi ergo , ad imitationem eorum quae, exempli loco, in medium attulimus S. 76, 7I , praeparationes omnes in Elcmentis nostris cxpcndere libuerit; nulli dubitamus lucem affulseram sufficientem iis, qui ad tertium cognitionis gradum adspirant. Quibus vero in s cundo acquiescere visum est, illi hac disquisitione non habent opus, huic que labori supersedere ponunt ac d bent. Suffcit enim iis pra paratione prouti praescribitur, ad hypothesin accedente , demonstrationem legitime procedere, qua animus convincitur verum csse, quod crat demonstram
g. 7 . Illud adhuc superest, ut
sit, si resolutionem problematis suppin
193쪽
181 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
nis tanquam incognitam , adeoque eandem consideras tanquam inveniendam. Ex hac cnim hypothcii, perinde ac in theorematis, vi anteriorum ratiocinando, colligendum,
quid fieri dcbeat, ut facias , quod
erat faciendum. Sumamus exempli loco problema de linea recta per datum punetum alteri rectae parallela ducenda. Supponamus factum, quod petebatur ; nimirum rectam MN,
quae per datum punctum V transit, alteri RS, quae data supponitur, esse parallelam. Quodsi hoc sumis ; ex anterioribus succurrit: perpendicula inter duas parallelas intercepta aequalia esse f. aa 6 Geom. . Unde infertur : duo quaecunque perpendicula inter rectas MN & RS aequalia sunt. Porro constat , quod V sit punctum extra lineam RS datum. Huc animum advertenti succurrit S. 2I6 Geom. , a dato puncto extra lineam datam perpcndicularem demitati posse. Unde infertur, posse quoque ex puncto V ad rectam RS d mitti perpendicularem, nempe VK. Succurrit porro, ubi perpendis duas requiri lincas perpcndiculares inter rectas MN & RS , ut per earum aequalitatem pateat parallelismus imsarum, per demonstrata , ex quovis puncto intra rectam datam assiimio erigi posse perpendicularem S. a IaGeom.). Unde denuo infertur, CApuncto quocunque lineae I S, ves uti T, erigi poste perpondicularem TA.
Iam , quia MN supponitur ipsi RS
paralicia, & UΚ atque TA sunt perpendicula inter hasce parallelas intercepta, adeoque aequalia, per demonstrata; resolutio, quae quaerebatur , jam patet. Nimirum Io . expuncto dato U demittenda est perpendicularis VK ad rectam RS : a v. mpuncto quolibet T erigenda est perpendiculatis TA priori aequalis : 3 . per duo puncta A & V ducenda est recta MN. Haec ipsa est resolutio , quae in Elementis nostris legitura 1 8 Geom.).
g. 78. Patet autem, si hoc modo in resolutionem problematis inquiris; hinc simul modum problema in theo. rema conversum demonstrandi m nifestum esse. In ea enim investiganda uteris principiis, quibus in demonstrando habes opus : id quod recollatione eorum , quae modo dicta sunt, cum resolutionc demonstrationis superius facta S. 32. patet. D
monstrationes nimirum, una cum resolutione, una eademque opera deteguntur I ut adeo non opus sit,
nisi ut, ubi synthetice proponere VO- lucris quae invenisti, ea, quae faciunt ad resolutionem, separes a ceteris, quae ad demonstrationem spectant. Subinde tamen etiam in Elementis nostris resolutionem & demonstrationem una exhibuimus; quemadmodum in hoc ipso casu factum, quem exempli loco produximus; & in aliis, ubi prolixior in doli Onstratio , veluti in problematis de extrahenda radice quadrata & cubicata. 269, 28 a. Arium S. 79.
194쪽
Cisp. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. 183
s. 79. Demus adhuc exemplum aliud. Supponatur itaque resolutio problematis io sS. ara Geom) delinea perpondiculari, ex dato in recta data puncto , cxcitanda. Data strecta ML , & in co detur punctum G ; cx hoc puncto G duccnda est linea, quae sit ad rectam ML perpendicularis. Ponatur factum, quod petebatur, nempe ducta perpendicularis G I. Succurrit ex anterioribus :Si linea recta ducenda, duo dari debent puncta, ex quorum uno ad alterum ducitur recta S. Ia I Geom. . Unde infertur : Praeter punctum G, quod datur , determinandum csse assi
huc punctum aliud Ι, ut recta GIduci possi. Liquet igitur , totum negotium in co versari, ut punctum lI determinetur. Ponamus denuo hoc csse factum. Sumitur itaque: Recta ex puncto I ad punctum G ducta perpendicularis est. Succurrit principium . Si recta quaedam fuerit ad alteram perpendicularis , anguli deinceps positi aequales sunt g. 7s Geom. . Unde infertur: Anguli MGI & IGLaequales sunt Sumatur IG pro crure
triangulorum contiguorum communi.
Patet triangula ista habere angulum unum aequalem & , crus unum ejus esse aequale, nempe idem. Succurrit cκ anterioribus principium S. I pGeom. : Si duo triangula habuerint angulum unum aequalem duobus cruribus sigillatim aequalibus compre- fhensum , ctiam latus tertium unius
aequale crit lateri tertio alterius. At- ique hinc insertur : Si praeterea fiat GK GH, erit etiam LI HI. A que adeo liquet , si fiat GK-GH , hoc est , si ex puncto H capiatur utrinque aequale inlcmetillum, in pumctis Κ & H eodem intervallo quocunque alio cum hic longitudinis GInulla habenda sit ratio , sed tantummodo situs ad rectam ML per imtersectionem determinari posic pu ctum I, quod quaerebatur, ut recta IG duci possit. Denuo manifestum
cst, resolutionem problematis analyticam simul continere & Hus d monstrationem. Quodsi unam ab altera separes, utraque prodibit, qualis in Elementis nostris extat. Obi. ter moneo, inter principia heuristica in Geometrica referendum csse , ut dispiciamus , num triangula congruentia & smilia determinari possint, quorum ope procedat ratiocinatio ad investigandum quod quaeritur, vel demonstrandum quod asseritur requisit . Quomodo in hoc principium inciderint Geometrae, nostrum jam non cst disquirere. Erit alibi de eo dicendi locus. - g. 8o. Subinde resolutiones problematum innotescunt sola attention ad theoremata inventa, ad quas nulla patet via, si haec tanquam incognita supponuntur. . Istiusmodi est problema de invenienda linea media proportionali inter duas datas. Etenim si supponimus lineam BD esse inventam , quae inter duas datas AB& BE media proportionalis est, se
195쪽
i 84 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
Tab. I. currit tantummodo vi definitionis c*. v ass. Arithm. θ: Si fucrint tres lincae continue proportionales, erit prima ad secundam, ut secunda ad tertiam.
Atque hinc infertur Recta data AB est ad inveniendam BD ut haec ipsa BD ad alteram datam BE. Etsi hic
ad similitudinem triangulorum tanquam principium heuristicum confugias i & sumas BD esse crus commune duorum triangulorum similium
fuerit ad AE perpendicularis, angulum x angulo I aequalem construi debere , quod etiam sicri posse conflat f. ao8 Geom. ; quoniam tamen BD determinatae magnitudinis est, non constat , quantus fieri debeat angulus x, ut recta AD attingat punctum D , quod quaeritur, atque ita determinandum, ut crus anguli x secet AE in puncto E. Nihil itaque
conficies , nisi supponas theorema tanquam cognitum : Si ex puncto quocunque B diametri AE erigatur perpendicularis peripheriar in puncto Doccurrens ; crit ca inter segmenta diametri AB & EB media proportionalis. Ubi vero hoc theorema tanquam ΠΟ- tum sumitur, resolutio problematis, de invenienda recta inter duas alias datas mcdia proportionali, sua quasi sponte sese offert. Etenim non
multa attentione opus cst , ut animadvertas rectas datas AB & BE in Candem rectam transferri, & super
eadem semicirculum describi posse; infertur vi corollarii theorcmatis primi S.I36 Geom. . Neque ullum est dubum , quin inuciatori resolutionis hujus problematis ante innotuerit theorema istud, quam de resolutione cogitaret. Non est quod excipias , nos theorema istud non
praemisisse in Elemcntis nostris problemati huic. Etenim si ita visum fuisset, praemitti poterat: sed in syn.
thesi non necessirium erat. Dum cnim demonstranda est resolutio, problema in istud theorema convcrintitur, atque demonstratio cjus adji. citur , quemadmodum ex superioriabus constat g. 34, 31 . Non nego fieri quoque potuisse , ut resolutio cadem deduceretur ex aliqua proprietate trianguli rectanguli, scilicet ex hoc thcoromate : Si ex an
gulo recto D trianguli rectanguli ADE demittatur ad hypothenulam AE perpendicularis DB ; erit haec ipsa DB media proportionalis inter hypothenuse AE segmenta AB &BE. Quodsi cnim supponas tanquam
notum , quomodo super data hypothcnusa construi possit triangulum rectangulum : resolutio problematis nostri non minus in aprico est. Plures haud raro patent viae ad eandemvcritatem , & prouti vel haec , vel alia principia , tanquam cognita suinponuntur, unus hanc, alius aliam cabcat viam. Mihi tamen probabilius est , ex proprietate circuli potius, quam trianguli rectanguli, resolutio nem de qua nobis sermo est fuisse doductam. Enimvero nis opus est, ut ca
196쪽
Cap. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. is,
de re contentionis serram cum aliis reciprocemus. Ubi enim veritates tanquam quaerendae proponuntur,qua: jam inventae sunt, sufficit in. gredi viam , qua recto facultatum cognoscendi usu ad eas pervcnire
S. 8 I. Dantur integrae disciplinae mathematicae , quas inter Algebra eminet, aut, si mavis, Analysis mathematica, quibus docetur, quomindo veritates mathematicae sint inveniendae. Nemo non intelligit, ad tertium gradum cognitionis math
maticae adspiranti inprimis opus esse, ut in iis addiscendis assiduus sit. Enimvero ea de re nobis demum dicendum erit, ubi ad specialia descendemus. Hic enim nonnili generalia tradimus, quae in qualibet Math eos parte observanda sunt; etli tantummodo exempla ex Arithmetica &Geometria dederimus. S. 8a. Rcstat denique ut adhuc dicamus, quomodo definitiones expendere debeat, qui ad tertium cognitionis gradum adspirat. Facile apparet, inquirendum hic quoquecsse, quomodo definitiones fuerint dote , aut inveniri salaem potuerint. Quamobrem id nobis agendum est, ut ostendamus, quomodo haec inquisitio sit instituenda. Definitiones cisse duplices, nominales , & reales , in Commentatione de methodo mathematica monuimus g. II, I 82, ubi etiam docuimus, quomodo tum ad Oper. Mathem. TOm. V.
nominales S. Io& seqqo, tum ad re les perveniatur S. a s & seqq. . Iuxta regulas igitur ibidem traditas definitiones ad examen revocandae:
quod quomodo fiat, uno alteroque cxemplo docendum. g. 8 3. Congruentia definitur , quod sit coincidentia terminorum , & con puere dicuntur , quoium iidem ter mini esse possunt. Definitio haec explicat, unde congruentiam agnOLccre possis in duabus magnitud nibus, veluti in duabus lineis, vel superficiebus. Quamobrem cum definitio nominalis sit, cujus beneficio res agnoscitur , & ab aliis distinguitur S. II Comment. de As h.); definitionem hanc nomina cm csse hinc couligitur. Primus modus perven:cndi ad definitiones nominatos conlistit in eo, ut ad rem prasentem quam re cipimus animum attendamus, & cum
cura distinguamus quae distingui possunt ; eaque fini singula primum
sigillatim consideremus, mox Vero e dem inter se conseramus. Quodsi inquiramus , utrum hoc modo definitio congruentiae inveniri potuerit, nec ne ; hoc modo cam detectam esse deprehendes. Sumantur, eX. gr. duo fila ejusdem longitudinis coexistensa , dicuntur ea sibi mutuo comgm c. Quodsi quaesiveris, cur sibi
mutuo congruere dicantur ι non aliam reddoro potes rationem , quam quod ab eodem termino
incipiant , & in codem desinanta
197쪽
seu quod cxtrema eorum coincidant, ipsaque etiam coincidant quoad longitudinem. Atque adeo patet, EX lege ratiocinandi S. 3Αs Log. , coincidentiam terminorum hic dici congruentiam. Similiter notio lineae rectae abstrahitur a filo exicnso, cujus crassities, cum diminui posse concipiatur in infinitum, doncc tandem CVanescat, a notione confusa ejus abstrahitur notio lineae in genere, quod sit longitudo latitudinis expers: quae est definitio lanea in genere,quam dedit Eu CLIDE s. Quod si iam notionem rectae confusam ad distinctam revocare volueris , distinguenda in
ea sunt, quae distingui possunt, eaque fini singula primum sigillatim considerari, & mox inter se conferri debent S. Is Meth. . Cum in linea non concipiantur nisi puncta, quae a se invicem distingui possunt,
ct situs corundem, quem ad se invicem habent; recta a curva differre nequit, nisi situ punctorum quae in ca assiimuntur. Advertit hoc E U-C. L I D E s r unde Rectam definit, quod sit linea ex aequo interjaccns inter sua extrema. Enimvero cum huic punctorum Qui nulla respondeat notio , nisi consula, quam verbis ex aequo interjacere inter sua extrema indigitat, eadem nempe cum noti ne confusa lineae rectae ; nihil explicuit , nec definitione sua uti potuit.
Nos igitur assumentes partem quamcunque rectae AC, camque confercntes cum tota AB, inquisivi is, numquid in situ punctorum, quae in parate assumintur , deprehendi possit, quod diversum sit a situ punctorum
in toto assumtorum. Ubi nullam diversitatem reperiri posse deprehendiamus ἔ memoros definitionis similit
mus per lineam, cujus pars quaecumque toti similis. Nimirum , vi illius definitionis , in parte ad totam collata, praeter magnitudinem nihil observare datur, quo ca a tota distingui possit. Quamobrem cum Linea curva sit, quae recta non est ἱ e demqtie, supposita definitione rectae, hoc modo definiri poterat smi. g8ymi. ; nos in definitionem nostram Linea curva incidimus, quod nimirum sit linca , cujus partes toti dissimiles S. et a Geom. 2. Ita si assumas T b. duos peripheriae arcus quoscunque ' AC & AB , ducasque chordas coingnomines ; stum puncti C ad A &B ad A distinguere licet per dive
iam rationem Iubtensarum ad diam trum I neque cnim arcuum subtensae omnes candem ad diametrum rationem habent, ut adco pars arcus ab
arcu intcgro, hoc modo , distingui possit. Tacemus modos alios distinguendi situm punctorum in parte ;consequenter partem ipsam , a tota. Geometriae sublimioris gnari non ignorant hoc principio distingui curvasa se invicem. Sed cum seniores Geometrae in recta a curi a distinguenda haesitaverint, definitiones utriusque daturi ; non opus est ut tyrones, inmodin
198쪽
Cap. I. DE DIVERSIs COGNITIONIS GRADIBUSI&c. 18
modo quo caedem detectae fuerunt inquirendo, industriam suam fatigent. Tum enim idem manifestus erit, ubi in Geometria curvarum fuerint Veris sati. g. 8 . Similiter videre licet ubi. vis, lineam rectam cum altera in e dem puncto concurrentem, diversimode ad se invicem inclinari posse. Unde, non attenta inclinationis diversitate , enata cst definitio Anguli
in genere S. 34 Geom. , quod scilicet sit duarum linearum in puncto
uno concurrentium mutua inclinatio.
Quodsi ergo recordatus , a puncto quovis ad punctum quodvis lineam rectam duci posse et o Geom. crura anguli CAB recta CB jungi concipias ; resincndo super iis , quae in figura, quae sic prodit, distinguuntur; reperitur S. io Meth. ) definitio trianguli in genere, rectilinei scilicet; quoniam, in Geometria Elcmentari , cum aliis nullum nobis est negotium , quod sit figura tribus lineis rectis terminata g. 87 Geom. . Quodsi perpendis, in hac definitione non
determinatam esse rationem laterum AB, BC & AC ; & recordaris rationem omnem vcl esse aequalitatis, vel inaequalitatis I 3o Arisb. ; addem do determinationem rationis laterum ad se invicem, nascuntur triangui
rum species S. 2 a Meth. . Nimirum , si tria latera habeant ad se invicem rationem aequalitatis, seu omnia inter se aequalia sint ; definitio praesto est Trianguli aquilateri S. 88. Geom. . Si sumis eadem habere ad se invi-ccm rationem inaequalitatis, hoc est, singula inaequalia esse ; definitioncm habes Trianguli salem so. Geom.). Denique si sumis latus unum habere
ad unum reliquorum rationem aequalitatis , ad alterum vero rationcm
inaequalitatis, seu duo nonnisi latera aequalia esse; in definitionem Trian. guli quieruri incidis.. S. 83. A definitione trianguli aequilateri, quod tria latera aequalia habet , abstrahitur definitio figurae
aequilatera in genere, omissa dcto-l minatione numeri laterum ao
M. ; quod scilicet sit figura, cujus latera singula inter se aequalia sunt S. 88 Geom. . Atque adeo satis patet, quomodo, ope regularum in Commentatione de Methodo mathematica explicatarum , detectae fuerint , aut saltem detegi possint, dcfinitiones nominales Geometriae, immo in qualibet Mathcscos parte. Idem enim quoque succedero in definitionibus aliis experietur, qui tcntare voluerit. S. 86. Sufficiant igitur haec dixisse de definitionibus nominalibus : restat ut nonnulla addamus de realibus. EX. gr. lineam quandam rectam LM, juxta ductum alterius rectae Lo, mo- Tab. I.
tu sibi semper parallelo, hoc est, ut in quolibet situ semper parallela sit,
deorsum moveri posse constat. Quamobrem, si hoc fieri sumis: prodit definitio parallelogrammi in genere. Similiter rectam quandam
199쪽
rum agi posse, donec redeat ad temininum A, unde d gressa suerat, per se liquet, & per notiones communeSconfirmatur. Quodsi ergo hoc sumis ; prodit definitio Circuli realis S. a 3 Meth.).9. 87. Eadem definitiones reperiri quoque potuerunt, praesuppositis definitionibus nominalibus. Parallelogrammi definitio nominalis est, quod sit figura quadrilatera , cujus latera opposita sunt parallela S. IoaGeom. . Quodsi concipias rectam
LM juxta ductum. alterius rectae movcri deorsum : patet figuram describi quadrilateram. Quod si linea ponatur sibi semper manere parallela; liquet latus ON opposito LM esse parallelum, & rectas quascunque parallelas inter latera OL & MN intemceptas esse aequales. Enimvero si li-ncae parallelae aequales intra easdem lineas comprehcndantur, Erunt quinque hae inter se parallelae S. a 37Geom. . Unde insertur, Latus qumque MN esse opposito Lo parallelum. Evidens adeo est, figuram, quae describitur , motu lineae rectae LM, juxta ductum alterius: eciae LO, sibi semper parallelo, esse quadrilateram & habere latera opposta saraulcia. Atque sic liquor, figulam hoc modo descriptam csse , vi definiti nis nominalis , parali clog ammum. Nimirum, si definitio nominalis parallelogrammi sumitur a parallelogrammum dici nequit nili figi a quae& quadrilatera est, & latera opposita aequalia habet. Quamobrem ubi definitionem rcalem , hac supposita,
dare volueris; ita omnino concipienda, ut nominali non repugnet istagenesis, sed ex genesi figurae potius
demonstrari possit, nominalem definitionem eidem convenire. Quodsi excipias, supponi hic, quae demon stranda ante sunt , quam definitionem realem ex nominali deducere valcas, nimirum quod lineae parallelae inter duas lineas interceptae aequales csse debeant, ut hae quoque inter se sint parallelae; objectio nulla cst. Ecquis enim dixerit, salva vetitate, definitioncs reales ex nominalibus deducendas csse, nulla theoria praesupposita, quae demonstranda a te venit. Quin potius ipsum exemplum , quod modo dedimus , contrarium loquitur. Dcfinitiones nominales suinere licet, antequam theoremata demonstrentur. Sumere qu que licet rcales, antequam demonstrentur propositiones, modo genesis inici ligatur possibilis absque domonstratione; scilicet ut nihil fieri jube tur , quod absquc demonstratione fieri posse non constet. Sed figuram , quae per genesn prodit , esse eandem , cujus definitio nommalis datur, utique demonstrandum. Quodsi ergo demonstratio supponit principia , quae absque demonstratione v ra csse non perspicitur ; illa utique ante demonstranda sunt quam figuram Ccnitam cum Oa, cujus definitio nominalis datur,candem esse ostendi potest.
200쪽
c .L DE DIVERSIS COGNITIONI s GRADIBUS, &e. iso
S. 88. Facilius ex definitione nominali detegitur realis circuli, non suppositis aliis , quae de circulo demum demonstranda. Nominalis circuli definitio est, quod sit figura plana , linea in se redeunte terminata,
ex cujus singulis punctis ad punctum intermedium C doestae rectis sunt inter se aequales. Quodsi sumis, quod
in hae definitione continetur , circulum terminari linea curva in se redeunte ; atque succurrit, vi intentionis inveniendi genesin curvae, seu detegendi motum, quo describitur, describi lineam , si punctum ab uno termino ad alterum moveatur S. io Geom. ; facile animadvcrtis, lineam , qua terminatur circulus, describi, si punctum describens continuo motu redeat ad terminum A,
unde digressum fuerat. Quod si porro sumis, vi definitionis nominalis, rectas ex singulis lineae istius punctis ad centrum C ductas esse aequales ; cons quenter punctum describens A esse alterum extremum lineae rectae, cujus alterum extremum fixum haeret incentro C , patet, si punctum A a te mino suo dimoveri debet, ut tamen alterum rectae AC extremum in puncto C sit fixum ; rectam AC circa punctum fixum C moveri debere. Vides itaque circulum describi , si recta quaedam AC circa punctum fixum C in gyrum agatur quae ipsa est circuli definitio realis deducta ex nominali , nulla praesupposita theoria circuli, sed tantummodo assumtis, quae in definitione nominali comtinentur. g. 89. Dn. DE T SCHIRNHAU-s E N in Medicina mentis definitiones reales mirifice depraedicat , iisque omne tribuit pretium , nominalibus nullo relicto. Enimvero , quemadmodum vidimus, definitiones reales ex nominalibus deduci posse; ita vicissim nominales deducuntur in ream libus: id quod in circulo levi attontione animadvertitur. Exempla alia
dedimus in solidis f. 36 σ seqq.
Geom. . Etsi autem non negemus , ex definitionibus realibus haud raro facilius deduci, quae ex nominalibus operosius demonstrantur, adeoque ad inveniendum eas esse admodum utiles nominales tamen realibus praestant in robus ad sua genera sua,
que species reducendis: id quod in demonstrationibus & in applicatione
theoriae ad casus obvios maxime usui est. Quamobrem definitiones nominales non sunt contemnendae, immo certo fine realibus pra ferendae, quae ad res obvias agnoscendas & ab aliis distinguendas non adeo commodae sunt, quam nominales; idquod ipsa circuli atque parallelogrammi definitione reali docetur.