장음표시 사용
241쪽
a3α DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
problematis arithmeticis usi fuimus ;ut pateant artificia , quibus utimur, in aliis casibus similibus , quando
occurrunt , imitanda. Ut autem constructionem concinnam reperias,
primo tentanda est per tegulas generales, quae praescribuntur. Deinde dispici cndum , quomodo omnes linearum determinationes cidem schc-mati includantur, in quo lineae singulae commodum nanciscantur situm; ut prodeat schema, quod visum minime offendit, & in quo citra molestiam lineae ex loco uno in alterum transportantur. Nulla adhuc datur constructionum clegantium theoria , in qua clegantia , quam ipsi tribuimus , ad notiones distinctas reducitur ; quamvis ea non impossibilis sit. Pendet ea a principiis generalibus pulchritudinis entis compositi, quam ct ipsam nemo hactenus explicavit. Insunt Architecturae civili notiones quaedam generales, quae huc faciunt; sed nemo hactenus ad eas, quantum publice constat , animum advertit. Quamobrem hactenus, in casu omni, demonstrari nequit, constructionem, quam dedisti, csse cam, in qua nihil desiderari possit. Et haud raro, c sui magis quam arti tribuendum, quod in constructionem incidas, quae pulchritudine sua sese commendat. Neque vero existimandum est, si vesin nostris Analyseos Elementis , vel
apud autores alios, Occurrunt conis structiones clegantes; eas ex formula
algebraica juxta regulas generales r soluta primo statim conamine d ductas fuisse. Quin potius pro certo tenendum, cas haud raro multum negotii fecisse inventoribus, antequam ad eam formam deducerentur, quam habent. Ceterum ut dicta intelligam tur, specialia quaedam addcnda 1unt. S. I 74. In problematc I a 3 La A . , quo , cx data perimetro & area trianguli rcctanguli, hypothenusam invenire , ipsumque
triangulum construere docemus, non minus aequationis invcstigatio, quam trianguli constructio singularia quaedam habent, quae attentionem merentur. Quodsi in investiganda aequatione via ordinaria, quam monstrant regulae generales, incedcre voluissemus, hoc modo aequatio inventa fuisset.
Duae cum inveniendae sint aequationes , alteram suppeditat theorema Pythagoricum , vi cujus AC -AB ΦBC s. 437 Geom. , alteram Vero
242쪽
cap. IR DE STUDIO ALGEBRAE. 23 r
calculus, si viam ordinariam ingrede- ris stricte in hariens regulis generalia lbus. Incidis in aequationem quadraticam affectam ; cum in solutione , quam in textu dedimus, arquatio sit simplex, adeoque primi gradus. Qiiodsibi per constructionem geom tricam detorminare volucris, primo cruendus est valor ipsius m. Est vero
tet, te eadem opera, si aequatione in contextu utaris, reperisse hypothenusam, qua hic valorem m Iepe ris , quo in constructione geometrica aequationis ultimae hic opus habes: ut adeo dubitari non possit, constructionem quoquc fore multo prolixiorem , & intricatiorem ea , quam in contextu exhibemus. Abbreviatur calculus, & arquatio multo simplicior eruitur, quia problema ad aequati
nem reducturus uteris theoremate
de compositione quadrati, cujus r dix binomia S. 161 Arit J : ade que plures veritates cognitas supponis, quam si viam ordinariam ingrederis ; & ad circumstantias particu lares animum attendis, quarum viam ordinariam ingressus nullam habes rationem. Nihil itaque hic singulare occurrit, quod non eodem modo locum habeat in aliarum regularum generalium applicatione. Quica attentione utitur in addiscenda Mathesi, quam in capite primo im culcavimus ; rationem hanc jam diadicit in Praetica Italica, ubi, ob cimeumstantias singulares , Ope theorematum quae tanquam cognita praesupponuntur, & quorum in regula trium Opus non habemus, calculus abbr viatur. Discas hinc velim, quod, si nostro more in studio Arithmetica & Geometriae versatus acumen quoddam tibi comparaveris, te in studio quoque algebraico fore acutiorem,& dum eidem incumbis, in majore
luce versaturum. Acumen vero ,
hoc studio algebraico auctum, non uno nomine sese tibi commendabit,
ubi ad Philosophiam & alia addiscendum Disiligod by Corale
243쪽
a; a DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
dum progredieris , immo in ipsa
praxi vitae. Enimvero constructio quoquc trianguli rectanguli, ex perimetro & area datis, attentionem meretur. Vulgo triangula rectangula construimus ex datis cruribus, quibus ad angulum reinum junctis determinatur hypothenusa. quae etiam ratio cst, cur problema per regulas generalcs solventes investiganatis cruris 3 valorem. Construi vero etiam potest triangulum rectangulum data hypothenuia & altitudine : quae constructio denuo uberiorem theoriam supponit, quam communis ; quod facile animadvertes , ubi fundamentum , quo nititur constructio , pompendere volueris. Unde vides cur, inventa hypothenusa , etiam quaesiverimus altitudinem. Et quoniam
inventa in numerum cranitorum refertur, x non amplius spectatur tanquam magnitudo incognita , sed pro
cognita habetur ; ut adeo constructionem praeter neccssitatem efficeres
prolixiorem & intricatiorem , si prox valorem inventum in aequatione 3-b : ἱκ , - 2b : κ substituere velles. Immo commodius accidit, si retineas 1 - ό : , quam si , reductione modo ordinario facta, sumas 1 - 2b : x. In quo denuo latet quoddam artificium, quod in geometricis constructionibus formularum algebraicarum utile est, & quo etiam in sequentibus utimur. S. III. Regulas arithmeticas non adscripsimus, brevitatis gratia; non modo, quod geometricarum comstructionum hic potissimum habetur ratio , verum etiam quod ex ant rioribus satis manifestum supponimus, quomodo formulat algebraicae arithmetice explicentur , & regulae arit, meticae inde deducantur. Non immen ideo tyrones negligere debent formularum per numcros raplicati nem, & regularum arithmeticarum enunciationem. Etsi vix opus esse videatur, exemplo praesenti rem declarari ; ut tamen consulamus minus perspicacibus, id fecisse non nocebit. 2Equatio itaque x - ἔa- 2b : a
hanc suppeditat selutionem arithmeticam , adhibito artificio , quod sub finem paragraphi praecedentis commendavimus : I. Quaeratur ad pcrimetrum dimidiam υ, & latus quadrati areae aequalis , , tertia proportionalis , quae crit - ' 2. Haec sub
trahatur a semiperiphcria D, relinquetur hypothenusa quaesita. Arithmetice explicabis formulam hoc modo. Sit a se I 2 , ι o. Erit
g. r76. Qui cx solutionibus problematum proficere voluerit, qua tum datur a is negligere minime debet theoremata, quae offerunt aequa-tioncs. Quamobrem in problemate, quod nunc perlustramus , docuimus, quomodo theorema ex aequatione secunda , seu penultima cruatur. Enim vero ipsa etiam aequatio ultima the
244쪽
rema non inelcgans suppeditat. Cum enim abi : a vel b : a sit differentia inter semipcrimctrum trianguli rectanguli la & hypothenusiam x, extemplo patet theorema sequens : Disserentia inter Upoisenusam se semiperimetrum
trianguli rectanguli es tertia proponionalis ad semiperimetrum er latus quadrini area trianguli qualis. Non video quid obstet , quominus hoc
theorema ceteris Geometriar esemen.
taris adscribi possit, nisi quod usum, quem habere possit , non praevideas :nullum enim esse demonstrare minimc vales. Sane si hac ratio sufficeret ad theoremata ex Mathesi climinanda , multa ex eadem arcenda &olim fuissent, & nunc essent ι quorum cgtcgius prorsus, successu tem -PO: is, comparuit usus, & in post rum comparebit. Ecquis praevidere poterat uium, quem habet comparatio progrcssionum arithmeticarum &geometricarum , cui inventum togarithinorum longe utilissimum deberi constat, & qua S Ti F E Ll υ s usus in algebraicis a quationibus intimius eκ-plicandis Quodsi igitur hanc comparationem tanquam inutilem rejiccire voluissent Mathematici, locum in Mathesi eidem denegaturi, quod usum ejus minime praeviderent; lo-garithmorum doctrina & ardua illa, quae in Mathesi sublimiori ab eadem pendent, forsan hodienum non cLsent detecta. Inventores non solliciti esse debent, num, quod investi
gandum sibi sumunt, utile sit, sed l
mpi Oper. Mai m. TOm. V. 233ntim quod investigaverunt sit verum. Utilitas enim sua veluti sponte sese manifestabit, ubi in veritate investiaganda progrediuntur , quam pra videre nullo modo poterant. Multum obest incrcmento scientiae, si qui eam promovere possunt ac volunt, hoc praejudicio tenentur , quod de veritatis inveniendae utilitate prima moveri debeat quaestio. Haec cnim cura tangere debet nonniit cos , qui ab aliis inventa certo fine addiscunt; etsi cautione multa opus sit, ubi utilitatem ex vero aestimare voluerint; ne, quemadmodum plerumque acci dit , quae maxime utilia sunt pro inutilibus reputentur. S. I 77. Forsan non inconsultum judicaveris, ut constructiones ex calculo erutae, itemque theoremata hinc derivata etiam more Veterum, seu synthetice demonstrentiir. Non imis
probo consilium , ubi hoc facile fieri potest, & xa fini problemata
quaedam per leges rationum rcduximus, quemadmodum problema Iis
ctio demonstrationem quaesitam continet , modo singulae analogiae verbis cnuncienti tr. Enimvero , cum per Algebram solvantur problemata, quae a cognitione nostra adhuc pio. cui sunt remota ; defectu principiorum ad ratiocinandum re quisitorum , per quae ratiocinando colligi poterat quaesitum, quemadmodum in Geometria fecimus ; multa haud raro theoremata interme-
245쪽
αμ DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
dia essent inventcnda, antequam de monstratio synthetica dari posset. Unde facile intelliges eam non esse in potestate tua. Sume excmpli loco theorema, quod modo s. r 76 elicimus: In triangulo rectangulo differentia hypothenuis a semiper,
metro cst tertia proportionalis ad semiperimetrum & latus quadrati triangulo aequalis. Si demonstrationem syntheticam dare volueris, haec analogia ex aliis notis colligenda portheoremata de ratione quantitatum. Enimvero in Geometria es emcntari nihil adhuc demonstratum est de perimetro trianguli rectanguli. Quamobrem alia adhuc invenienda essent
Iheoremata, antequam demonstrationem consummatam dare possis, quales dedimus in Geometria. Nobis jam non vacat eam in rem inquirere , ut exemplo dicta confirmaremus. Nemini igitur suademus, ut tempus in quaerendis istiusmodi demonstrationibus fallat, quod longe utilius in exercenda Analysi consumere datur. Quodsi vero obvia fuerit demonstratio,cam addi non dissuademus S. I 78. Si existimaveris demonstrationes syntheticas dari posse , si
vestigiis calculi insistens verbis enum Cies, quae per eum patent, & in reddendis rationibus ad leges calculi confugias; totus falleris: nequc cnim sorma demonstrationis mutabitur, si characteribus expressa verbis enun- cientur. Abunde hoc videre licetia Phoro mia HERMANNI, cuju4 praetensae demonsti ationes syntheticae seu lineares, quas Vocat , quantum distent a demonstrationibus Eucli. deis nullo negotio deprehendet, qui cum fuerit in rcsolvendis demonstrationibus more nostro vers tus resolutionem demonstrationum
Hermannianarum tentare Ioluerit.
Praestat igitur in analysi acquiescere, quam per eandem reperta minus recte demonstrare. Sane ipse NEW ΤΟ-Nus quod citra injuriam in maxima Viri summi merita dictum csto, multa, corollariorum instar, absque ulla demonstratione subjicit propositionibus, quae subinde prolixam d siderant demonstrationem , si Eucli
deo more evincenda corundem veri
ira ; immo corollariorum loco habet quae absque ulla demonstratione pateant lectori , quae posita propositione minime ponuntur. Exempli loco est, quando problema inversum virium centripetarum in sectionibus conicis pro corollario directi habet, cum tamen convcrsio per se minime pateat; nec quis ferret, in Geometria elementari, si, eκ parraticlismo linearum demonstrata angulorum aequalitate, per modum corollarii absque demonstratione inferret: Ergo etiam parallelae sunt Encae, si anguli alterni fuerint aequales. Non Omnes propositioncs posse converti ex doctrina logica de conversone satis manifestum est. Quamobrem ubi conversio per rationes logicas nou statim patet, conversa utique demo
246쪽
demonstranda est. Immo cum ex principiis logicis demonstrandum foret , propositionem converti posth ;Geometris vcteribus consultius visum cx principiis propriis, aliunde non supponendis , demonstrare conversam. Nos vero , qui omnibus justum statuere protium solemus, demonstrationes logicas in numerum artificiorum heuristicorum referimus, per quas reperire, nonnunquam saltem conjectare licet, propositionem aliquam datam & demonstratam converti posse. Qui intellectus perfiaciendi gratia Mathesi operam navat, is a rigore demonstrandi ne latum quidem unguem recedere tenetur; ne methodi confusae notiones & de eadem concepta praejudicia noceant
cxtra Mathesin : quod quam facile fieri possit, jam in superioribus monuimus s. Ioo , I 1 . g. 179. Ceterum, cum demonstrationibus syntheticis confundendae non sunt demonstrationcs , quibus evincitur constructionem juxta sommulam per calculum crutam rite esse factam. In his enim supponimus quaesitum eo modo determinandum csse , quemadmodum exigit formula algebraica. Quoniam nos constructiones ad formulam retulimus , ea rundem demonstrationes in ipsa con structionum explicatione jam continentur. Quodsi vero illas verbis nunciare velles, demonstratio ubique adficienda foret, de qua hic serino est. Ita in exemplo nostro, ubi triangulum rectangulum construenia
: S. asy Anal f construis Tab cito pure enunciabitur hoc modo :I'. Erigatur ad perimetrum BD pcrpendicularis AB , quae sit ad latus quadrati areae trianguli aequalis in ratione dupla ; fiatquc BG ipsi lateri huic aequalis. a'. Quaeratur ad BD, AB & BG quarta proportionalis B H. 3'. Fiat BC semiperimetro aequalis ;& ex C in I transferatur modo inventa BH. v. Super B I describatur semicirculus : & ad Bo dimi.
sius AB, quaeratur tertia proportionalis ΒΚ. 3'. Ducatur aenique eκ
puncto K diametro BI parallela ΚL. Quodsi 6'. punctum L cum extremis diametri B & I rediis BL & LI connectatur, prodibit triangulum rectangulum quaestum BLI. Hoc modosi enunciaveris consiluctionem , ut prodeat rosolutio problematis, quali forma exhibentur resolutiones in Ge metria Elementari ; demonstratio sequens adjicienda utique est , ut manifestum evadat, suppositis formulis algebraicis tanquam veris, seu, utiloqui amamus, iisdem concessis, comstructionem esse veram. Nimirum quoniam BD a, AB-2b, BG-b ; erit quarta proportionalis BH- ab : a. Quare cum sit BC- a & CI-BH, erit BI x, seu hypothenusa trianguli rectanguli construendi per sommulam primam. Jam quia porro Bo se , BG - BE-ι, erit BKG g a . Diqitirco by Corale
247쪽
DE STUDIO MATHESEos RECTE INSTIT.
b : is, adeoque altitudo trianguli rectanguli construendi. Quoniam
itaque recta KL cst ipsi BI parallela& BLI semicirculus super hypothenusa trianguli descriptus ; crit BLI
triangulum rectangulum , cujus hypothenusa --ab : a & altitudo -b tb. Quod erat construendum. Suppono nimirum hic tanquam notum, quomodo triansulum rectangulum
datae altitudinis supra hypothenula sit construendum. Quodsi cnim notum non sit , demonstiatio ex principiis
Geometriae elcmentaris facile contexitur. Etenim angulus BLI, cum
sit in semicirculo per consis. rectus cst S. 3IT Geom. , adeoque BLI triangulum rectangulum, cujus hypothenusa BI S. si,ss Geom. . Linca KL est diametro BI paralicia, & ΚΒ ad BC perpondicularis, per construa. consequenter perpendicula inter casdem intercepta ΚΒ & ex L in BI demissu in aequalia sunt S. 226 Geom. . Enimvero ΚΒ cst altitudini trianguli aequalis, per constrin. & perpendiculum ex L in BI demissum ipsa trianguli BLI altitudo g. 227 Geom. . Patet itaque si supra hypothcnusa describatur semicirculus & in cjus
altero extremo crigatur perpendicularis altitud ni aequalis, per ejus vero summitatem ducatur recta diametro
parallela & punctum , in quo haec
secat semicirculum, connectatur cum extromis diametri; triangulum romangulum datae altitudinis supra hypothcnusa data esse conitructum. Problema hoc, cum sua demonstratione , Elcmentis Geometriae inseri poterat ; ex cuius quippe principiis eodem prorsus modo demonstratur, quo problemata cetera ibidem do
S. I 8 o. Cum formulae algebraicae contineant regulas, per quas ex datis determinatur quaesitum ; & per calculum ac demonstrationem aequationis , nisi haec in conditione seu hypothesi problematis continetur, verum esse constet, quod sic determinetur quaesitiim, quemadmodum vult formula ; qui constructiones cx mulis erutas pure enunciat, & easdem deinde hisce convcnienter factas de monstrat, in demonstrando sese non minus exercet, quam si in demonstrationibus Arithmeticae & Geometriae Hementaris versetur. Quamobrem qui methodum demonstrandis bi familiarem reddere intendunt, eadem extra Mathcta feliciter usuri; iis omnino suadendum , ut constructiones pure enuncient , & ad eam formam redigant qua resolutiones problematum in Geometria Elemcntari exhibentur, atque deinde demonstrationes, cum quibus jam nobis negotium cst , superaddant. F. I 8 I. Et quoniam problematum simplicium reductio per leges rationum, cujus exempla quaedam dcdimus S. 239 , 266, 28s Anast , & r ductio quadratici ordinis ad lineas r ciprocas g. 263, 263, 278
248쪽
Cap. IV DE STUDIO ALGEBRAE. 237
terum, & demonstrationes ad sormam Veterum componendas formaliter continet; eam negligere minimc debet , qui methodum Veterum cum methodo Recentiorum conjungere voluerit. Probe nimirum notandum est , signorum usu non variari ipsam methodum, quae in modo ratiocinandi consistit, sed tantummodo facilitari & clariorem reddi; quemadm dum demonstrationesVeterum eaedem manent , si nostro more resolutae, ope Artis character isticae, symbolice repraesentantur. Sane per hoc, quod in Geometria Mementari utamur signis, quorum in Algebra usus cst, demonstrationes non fiunt algebraicae , quemadmodum hebetiores judicant ; sed tantummodo brevius &clarius exprimuntur. Vocabula non minus signa sunt , quam signa alia , quae in locum corum surrogantur. Quemadmodum itaque cadem mancidemonstratio, si vocabula idem significantia sbi mutuo substituis, pro uti in versionibus accidere solet , ubi v. gr. Latinis substituis Germanica , vel Gallica ; ita nec alia evadit, si vocabulis alia signa substituis , quae cum ipsis idom significant. Ita perinde est, sive dicas, triangulum BDEsmile est triangulo BAC, sive scribas , A BD E in Δ BAC : etenim si verbis reddere volueris, quae ita scripsisti , verbis istis cadom efferre teneris ; perinde ac diccndum est, das me re e BDE UI dem Dre reti
yAC Mnlita, ubi Germanice redde
re volueris, quod Latine dictum fuerat. S. I 82. In problemate II , S. 17 Anahs) quo , data arca trianguli rectanguli, cujus latera sunt in proportione continua , inveniri jubentur latera , & reductio , & constructio singularia habet, quae atten
tionem tyronum mcrentur. In re
ductione notandus est modus , quo eliminatur quantitas alterutra incognita, utpote a regula generali rec
dens f. i I snal ). Notanda quinque est applicatio calculi irrationa lium , qua formula efficitur simplicior. In constructione autem notatu dignum est artificium, quo num ri irrationales in lineis exhibentur,& radices quoque quadrato - quadratae per Geometriam Elcmentarem construuntur. Quae enim in aliquo problemate singularia occurrunt, ad ea advertendus est animus, cum eidem insinuentur artificia, quibus utendum in casu simili , quoties, is occurrit. Et selecta dicuntur problemata, quae Vel in Veritatum cognitu neccssariarum notitiam nos deducunt , vel artificia suggerunt, quibus Ars inveniendi locupletatur, ipso usu rectius discenda, quam per praecepta; cum haec non satis intelligantur,nisi per exempla. Quamobrem qui in Analysi
proficere volucrit, non sine singulari attentione circa singula problemata versari tenetur; ut, si qua nova occurrunt, ea comparatione cum regulis generalibus instituta advertat & memoriae infigat. Gg λ S. 183.
249쪽
138 DE STUDIO MATHESEOs RECTE INsTIT.
S. I 83. Non commemoramus hic alia, quae in ceteris prob ematis annotabit attenta mente & solutionem& constructionem perlustians ; ne prater necessitatem justo prolixiores videamur. Unum tamen est, quod notasse non piget , scilicet ex problemate Ia 4 9. 27 3 Analys) patere, per Algebram subinde prodire formulas , quae statim dant constructionem, quam Veteres suo modo invenerunt. Patet in hoc problemate ratio, quod in aequatione investiganda insistamus iisdem principiis, quibus usi Ucteres in eruenda construetione. Et quamvis problema se
tagoni inveniendo contrarium in nuare videatur; videbis tamen , si attentius rem consideres, nos totos inco esse, ut investigemus relationem
lateris Pentagoni ad latus Decagonidi Hexagoni regularis eidem circulo instriptorum simul, qua nititur constructio Veterum. Eam Vero non dare regulas reductionis generales ;sed utendum hic esse singulari artificio substitutionis; quo neglecto, per aequationem xy-Αb-M: ai, Vel per longe alia prodiret con structio, quam dedere Veteres. Immo nisi relatio lateris Pentagoni ad latus Decagoni & Hexagoni simul, ex inventis Veterum, nobis cognita& perspecta fuisset; non facile adfuisset ratio, cur de ista substitutione cogitassemus. Duo igitur hic probe notari velim, cum in veritate investiganda multum relictum sit tentaminiabus , in problematum resolutionibus algebraicis & pra sertim in formularum constructionibus , operam dandam esse ut problema & ejus construetio cisiciatur dependens a veri tatibus aliis jam inventis ; quae dependentia in methodo Veterum, qua usi sumus in Geometria clementari,& in demonstrationibus propositionum syntheticis , unice attenditur,& ut ea fini tententur substitutiones, quibus locus esse potest. Eluccscit hinc usus , quo commendatur studium in veritatibus nobis jam notis analytice investigandis, si nempe pr
Ponantur tanquam quaerendae. Istiusmodi enim investigationes cificient , ut animum attendas ad artificia, qua
alias eundem non subirent, & quibus posthac felici successu usurus es in investigandis iis , quae nondum cognita , sed adhuc latent. Neque cnim sussicit, artificia quaedam esse in
potestate nostra; verum etiam requiritur ratio, cur eadem mentcin nos
tram subeant, quando iisdem commode utimur : id quod ex principiis nostris psychologicis abunde patet. Ratio autem ista non semper a nobis pendet , sed a casu , qui potestati nostrae subducitur. Quodsi vero artificia nobis fuerint familiaria, quoniam iisdem jam ante usi ea attentione convcniente memoriar infiximus ;probe conscii varia esse tentanda, ubi vcritas latens eruenda , eadem nobis in memoriam revocamus : id
250쪽
Cis. IV DE STUDIO ALGEBRAE. ars quod denuo per principia nostra psychologica manifestum est ; ut nihilalfirmctur, quod non ex iisdem dea monstrari possit, si demonstratio cxigatur I quamvis defectum demon. strationis hic suppleat experientia domestica, si quis dictis fidem habere
S. 18 . Forsan nec inconsultum crit quaedam adhuc moneri circa examen Regulae Re Min , polygonum regulare quodcunque circulo inscribendi. Constat ex Elementis EUCLIDIs , constare modum, quo trigonum, quadratum, pentagonum, octogonum , decagonum , quinde-cagonum circulo inscribitur, & idem patet ex anterioribus. Quamobrem totum examen huc redit, ut investigetur valor lateris cujusdam polygoni, aut saltem partis ejusdem, per regulas demonstratas ; deinde vero idem valor cruatur per regulam R ENALDINI ; quae si vera fuerit, valor per cam inventus crit alteri aequalis. Quodsi crgo hosce duos valores aequales ponas , & eκinde cruas contradictionem ; hinc patebit , regulam Renata ianam csse
falsam, cum alteram veram csse constet. Nimirum hinc agnoscitur illam contradicere veritati manifestae, ademque , per principia logica , quibus nititur tota mcthodus demonstrandi per indirectum , colligitur eam faliam esse debere. Examen adeo praesens pendet a principio contradictio
nis, & ia applicatione methodi de
monstrandi per indirectum consistit. Eodem artificio utimur etiam in aliis; veluti si quis dederit Quadraturam circuli; sumta diametro pro unitate, valorem peripheriae cruimus in fractionibus decimalibus , quia constat
numeros LUDOLPHI notissimos cum
Veritate consentire. Quodsi enim ab his diversi prodeant, praetensam quadraturam circuli veritati contradicere , adeoque falsam esse colligitur. Novi equidem quod huic examini manus victas dare nolint, qui circuli quadraturam sibi invenisse videntur rsed hi sunt, qui ignorant, quomo
do numeros litos eruerit LUDoL-
p Η U s , & quales sint methodi rcccntiorum, quibus investigantur series infinitar pro circulo, unde iidem numeri deducuntur. Valeat hic pervulgatum istud: Cum ignorante primcipia non est disputandum. S. I 83. Quantum intersi discruminis, inter constructionem elegantem & minus elegantem , clarissime elucescit, ubi utramque constructi nem ' trianguli rectanguli, cx data area una cum angulo uno obliquo, inter se conferre volueris. Ipsa vero haec collatio etiam maniscribit rati nem , cur constructio secunda prima
sit clegantior. Constructio secunda simplicitate sua sese ita commendat, ut in Geometriam reserri possit. Η het autem hoc singulare constructio, quod recta simul repraesentet sinum totum, & rectam datam; sicque loco quartae proportionalis iuvenienda Probi. ris. sit