장음표시 사용
261쪽
aso DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
riam ductae aequales sunt f. 87 it . . quae est proprietas circuli, per quam definiri solet in Geometria
Hinc vero porro 8' liquet, Curvam hanc describi, si recta CA circa punctum fixum C in gyrum agatur :quae est definitio circuli realis.
Quoniam supcrius n. 3 reperimus1-υ si fiat x - υ ; ideo patet,s'. In nullo alio puncto, quam in C semiordinatam rectae dimidiae AB aequalcm esse posse. Si sit PM ,PCα v,CM VIa n. 6 Ierit per theorema Pythagoricum :
Quamobrem io'. ubivis extra centrum , semiordinata minor dimidia recta AB: consequenter cum minor sit semiordinata in centro erecta CDin. 3), semiordinatae autem sint choria darum dimidiae; I IR. diameter chorotarum maxima est.
ra . semiordinata itaque et tanto minor alia quacunquc semiordinata 1, quanto magis a centro distat ; consequenter chordae tanto minores, quanto a centro remotiores. Sit AB a , M-x, erit PB. Tab. II.
262쪽
Cap. IV DE STUDIO ALGEBRAE. as
Est igitur x '. Chorda media proportionalis inter diametrum AB &segmentum adjacens. Fab. II. Quodsi quaeratur rccta TM puncto eu δ', quocunque T intra circulum assumto
in peripheriam ducta ; ducatur, per centrum C & punctiim T, recta AB, quae erit diameter circuli, & ex puncto peripheriae M demittatur perpendicularis MP, quae crit semiordinata.
theorema in Elementis non extat : x eo tamen consequuntur, quae in
iis demonstrantur. Nimirum quia a CT constans est ; decrescente abscissa AP decrescit quoque rectangu lum ex AP in 1 CT ; & cum quadratum rectae TA non minus constans sit, quo minus fuerit rectangulum ex x CT in AP , eo major evadet excessus quadrati rectae TA supra hoc
rectangulum; consequenter eo majus
erit quadratum rectae TM , quippe eidem aequale , adeoque etiam ipsa recta TM. Et quando TM incidit in diametrum, seu punctum M in A, quadratum ipsius TM aequa e evadit quadrato ipsius TA ; consequenter I A major est qualibet TM, adeoque
maxima rectarum, quae cx puncto Tin periphcriam duci pollunt. Incidimus adco I 6'. in theorema 63
Ante invenimus se. I AMR AB. Tab. Π.AP, hoc est, quod quadpatum choria Set, s. dat sit aequale rectangulo ex diametro in abscisiam. 4lamobrem, cum crescente abscissa AP crescat arcusAM, crescat etiam rectangulum ex
diametro AB in abscissam AP i ideo
patet I TR. quadratum chordae majoris esse majus quadiato chordae minoris ; consequentcr chordam majorem subtendere arcum majorem , quam minor, seu chordam arcus majoris majorem esse, chordam mino
Alia ex aequatione ad circulum d ducuntur , in ipsa Analysi praesertim infinitorum, qua in Geometria sublimiori carere minime possumus. Ex hactenus dictis abunde patet, qu modo applicatione Algebrae ad ca ,
quae ex EUCLIDE notis lima sunt, methodus definiendi curvas per aequationes, & ex iis deducendi earum g neses ac constructiones, proprietates, aliaque symptomata, innotescere pO- tuerit. De sectionibus conicis ApoLLoxius similiter demonstravit theocremata, quorum Ope per aequatio-
263쪽
nes definiuntur, quemadmodum in hoc capite fecimus. Quamobrem apparuit , eandem methodum ad conicas quoque sectiones applicari posse. Atque sic cnata cst methodus tractandi curvas per aequatione seu Algebram ad Geometriam sublimiorem applicandi. Haec non eo fine a nobis adducuntur, ut inventorum laudi detrahamus; sed ut discamus, Vulgarium meditationem duc re ad maxime ardita ; & ca neglecta inventores sibimetipsis obesse , si quando per ambages quaerunt, quae obvia sunt recta via incedentibus; utque tyrones ideam hujus methodianimo concipiant , quae in ejus applicatione ad altiora facem praestri. Qui recta via in inveniendo progredi. tur ex iis, quae cognita atque trita sunt, colligit quae nondum patent, parum sollicitus , quam nam utilitatem sint habitura, quae deteguntur. Sed de his dicemus , ubi Artem inveniendi ex instituto exposituri sumus. S. I sq. Diximus superius S.I69 , nondum invento calculo universali, Algebram numerosam jam applicari potuisse ad Geometriam , ut per eam detegerentur theoremata & problematum constructioncs. Immo ipsa etiam applicatio ad Geometriam sublimiorem fieri pol rat non sine succcstii. Dictis igitur
fidem facere nostrum cst uno altero-quc exemplo. Ponamus CX. gr.
Habemus itaque duo theoremata I'. . Quadratum tangentis, in hypothesi probicinatis, cst aequale rectangulo ex secante in Hus portionem extra circulum. 2'. In eadem hypothesi tangens est media proportionalis inter secantem & Hus portionem cXtra circulum.
In Algebra speciosa diametrum apis pellamus a. tangentem b. Cum haea signa sint primitiva, perinde est sive
diametrum is, sive I , & num tan-gcntem b, an vero a dicas , modo in calculo universalitatem conservo, ut in locum a quemcunque nume
rum alium surrogare possis , si e rationalem , sive irrationalem, sive integrum , suc ii actum, qui in dato casu exprimit rationem ad diametrum tanquam unitatzm. Pona,
264쪽
Cap. IV DE STUDIO ALGEBR AE. 233Tab. I. Ponamus porro problema I 3 f.
gebram numerosam, sed univcrsali ter , quemadmodum solvitur per specissem. Solutio haec criti
Patet itaque hypothenusam trianguli rectanguli x esse aequalem cxccitui semiperimetri - supra inrtiam proportionalem ad semiperimetrum &latus quadrati et areae trianguli aequalis. Unde liquot, problema gCometrice construi, si ad semiperimetrum& latus quadrati areae trianguli aequalis quaeratur tertia proportionalis, &haec ex semipcrimetro austratur. AEquatio pro circulo erat 3 - - , ubi a diametrum denotat, sive igitur diametrum dicas η , sive I ut et , modo Observes ea, quae ad univcrsalitatem calculi conservandam
praecepimus; ex aequatione 3 ax-x , vel 1 - 2x-x eadcin erues, quae paulo ante ex altera eruimus
Immo nondum invento calculo litterati poterant quoque quantitates datae exprimi literis, quibus in Geometria lincas indigitamus, veluti in exemplo primo. Diameter BE TB-x Tab. II. radius AC TC AC Φ x Fig. io. tangens AT TE - BE Φ x Unde resultat aequatio AC Φ a AC. κε - - AC ε A a AC. κεκλ - AT
265쪽
,14 1 E STUDIO MATHEs EOS RECTE INSTIT
Tab. II. Similiter si diameter circuli dicatur ' δ' AB , semiordinata PM, abscissa AP; aequatio ad circulum est PM AB
AI AP ' unde eadem deducuntur, quae cx aequatione dedu
tcribus plura in potestate fuisse, quam existimavere, propterea quod ad sti
dium mathematicum non eam attcntionem attulerunt, quam in superioribus commendavimus, ut methodos
intimius perspiciamus,ea discementes, quae sunt legum methodi, ab iis, quae characteristicae tribuenda , & ut ch racteristicae ubivis commodum faci mus usum et neque enim iidem characteros aeque satisfaciunt in omni casu , sed alii aliis non sine utilitate haud raro substituuntur. Neque vero cst, quod excipias, nos in calculo universali numeroso, & substia tutis linearum appellationibus communibus, adhibere artificia ex characteristica, qua in Algebra speciosa
utimur, petita . veluti dum potentias linearum designamus per exponentes , numeris vel literis majoribus quibus lincae denotantur adscriptos instar apicum. Etenim hanc denotationem jam indicavit ΚεpLER Us in Harmonica calculo literati adhuc ignorato , & per ea Cadem patere
poterat, quae de natura numerorum Cossicorum , quos vocat, tradidit S T s s E L 3 V s in Arithmetica integra, multo ante, quam VI ET A de Arithmetica litorali cogitaret, & HARIOT-TUs atque CARTEII Us eandem ulterius perficerent. Et quamvis recentior characteristica commodior sit ; ipsa tamen mcthodus per Camnon variatur, quae ctiam absque omni characteristica subsistit i sit ita,
quod, deficiente characteristica com- moda, subinde tantae suboriantur molestiae, quas devorare non est cujusvis, & in requiratur attentio , ut abcrrore immunem te praestes , quam non quivis afferre valet. Haec ignorare non potest, qui ad characteristicam , qua hodie in Arithmetica
utimur , cam attentionem attulerit,
quam in superioribus commendavimus ; & quae acumcn istud, quo ea quae sunt leguin methodi, ab iis quae characteristicae debentur separantur ,
S. I sy. Circulus per aequationem algebraicam definiri potest, quia punctorum omnium M ad diametrum AB constans quaedam relatio est, 'quae exprimitur per relationem semia ordinatae ad abscissam ; demittendo scilicet ex puncto quolibet M pcrpendiculum PM in diametrum AB , ut abscindatur AP. Unde facile intelligitur idem succedere debere in aliis curvis ubi similis relatio obtinet.
Quamobrem cum constet, ApoLL o N I U M de parabola, hyperbola, de ellipsi, seu sectionibus conicis , tale quid demonstrasse; statim praevidere licet methodum, qua in circulo u si sumus , in iisdem quoque adhiberi posse. Enimvero possunt puncta cum
266쪽
vae referri ad quamcunque aliam rectam positione datam : id quod cum usui sit in sequentibus, exemplo circuli hoc ipsum declarare lubet. Ducatur recta AL , quae circulum in C tangat, erit ea ad radium GC perpendicularis Tab. II S. 3o8 Geom. . Ducatur quoque DA, ' quae circulum tangit in D, adeoque ad radium D G perpendicularis g. cit.), cum etiam CG sit perpendicularis ad
GD S. I 3, 78 Geom. , erit ALdiametro DE parallela S. a 3 8 Geom. & AD ad eandem perpendicularis
S. 23o Geom. , adeoque semiordinara S. 3 7o Anahs . Ducatur semiordinata alia quaecunquc PM, continuanda donec diametro DE in doccurrat; erit MVad DE pcrpendicularis. Sit AC DG a, AP , PM ; erit QM .e- i adeoque per naturam circuli, cum sit
Quae aequatio circulum definit respectu tangentis AL. Fiat jam x O, Crit
hoc est, in origine abscissae A semiordinata AD est radio circuli aequalis.
hoc est, semiordinata CN diametro circuli aequalis, seu perpendicularis: CN ad AC curvae in N Occurrit.
hoc est semiordinata LE radio circuisti aequali S. Quodsi quaeratur recta GM, cum sit per theorema Pythagoricum
Ergo GM AGM aQuare si ponamus, nos ignorare, ad quam curvam sit aequatio I patet hinc eam esse ad circulum. Nimirum quando ex aequatione data eruuntur, quae de curra cogis
nosci possunt, tum semper supponitur, non constare, ad quam nam cumvam sit aequatio. Quodsi semicirculus DNE ad rectam AL referretur, semiordinata PO forci I , adeoque
QΟ -a: Quamobrem cum eadem 'prodiret, quae ante aequatio; alterum ejus membrum a*-a η- duas habet
radices aυ & 3-a : id quod indicio. est, semiordinatain recta AC & min rem, & majorem esse posse , et consequenter ex ipsa aequatione. intelli gitur Disi tiros by GOoste
267쪽
DE sTUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
gitur , curvam a semiordinata secari in duobus punctis. Quoniam itaque in C eandem nonnisi in uno puncto N secat ; id indicio est, quod in Ceandem tangat. Similiter quia in A& L iemi ordinata nonnili unum valorem habet ; hinc conficitur, quod semiordinatae AD & LE curvam similiter tangere debeant. Unde liquet curvam esse in se redeuntem, & ejus puncta reserri ad lineam, quae tota
CXtra curvam cadit , ab ea tamen non distat. Distantia cnim a tota curva a stimatur ex perpendiculari minima, quae hic nulla est. Suadendum Omnino est , ut tyr nes notent, quomodo curvae agnoscantur , & a se invicem distinguantur ; nimirum relatione punctorum ad rectam quandam positione datam,& circulum referant ad varias rectae positiones, ut totius methodi vim ac potestatem rectius ac intimius perspiciant. Hoc enim pacto non modo nihil difficultatis habebit, quod in capite praesenti Occurrit , verum etiam doctrina de Locis geometricis, quae omnem rectae illius positionem possibilem supponit, non perturbabit Tyronem. Immo in genere notandum est, si ad maxime obvia & notissma applicentur methodi novae, in quas incidimus ἱ haud raro talia offerri, circa quae haercnt etiam excr- citatiores , ubi in applicatione methodi ad nondum cognita occurrunt.
Exemplum suppeditat aequatio, quam
modo dedimus pro circulo a - 2 Φ3 - χ--x . Etenim si sumis , cam explicare relationem quadrantis
AC, seu x a, per ea, quae Viadimus in aequatione praeccdente S. 193), prodire debere videtur 3 o. Unde miraris , ubi prodit 1 - 2 a.
Uerum cnimvero ubi consideras, aequationem a -aa - - habere duas radices, alteram nimirum a-I, ait
ram 3-a, & priori respondere QM, posteriori autem QΟ ; hinc disces,
tam semicirculi superioris DNE, quam inferioris DCE ad rectam ALrclationem exprimi; consequenter inpiincto C, ubi valor unus ipsius PM sive 3 o, etiam prodire dcbere valorem alterum ipsius m aa, rccta nimirum Po in CN degenerante. Quodsi tale quid occurreret in tracta tione aequationis, cui, quaenam curva respondeat, adhuc ignoratur; unde hoc fiat, non adeo facile animadverteres, & multum omnino olci ac operae perdereS, antequam eX perturbatione eluctari valeres. Similiter ubi ponis x o & x aa, prodit a - ΣΟΦΙ -o, adeoque y a o &a γ o , quae utraque aequatio dat
eundem valorem nempe a. Unde vides, in contactu D & E , duas radices aequales habere aequationem; quemadmodum deinceps supponitur in methodo tangentium, & sine quo principio CARTE fius ad methodum suam tangentium non pervenisset. Non
268쪽
Non addimus plura , cum hactenus dicta abunde sufficiant ad persuaden.
dum utilitatem meditationis eorum, quae nobis notissima sunt, ut corundem ope detegantur alia , quorum alias cogitatio animum nunquam
S. I96. Quodsi hanc methodum, quam adeo foecundam experiris in circulo , etiam ad curvas alias , quas tractarunt Veteres , applicare volueris ; non omnes promiscue per aequationes definiri posse animadvertes, ubi eodem modo puncta corum refers ad rectam quandam positione datam. Non succedet in Spiralibus ARCHIMEDIs, nec in Quadratice DINOsTRAT is, quemadmodum sub finem capitis videbimus. Quoniam itaque ex iis, quae de circulo diximus, & per sectiones conicas confirmantur, didiceris, quod aequutio curvam definiens supponat constantem relationem nuncti cujussibet ad eandem rectam positione datam; hinc utique patet, non dari posse aequationem ad curvam , cujus puncta ad rectam positione datam constantem relationem minime habent. Atque adeo non miraberis, nec ha rebit aqua, ubi curva offertur, quae per istiusmodi aequationem explicari nequit. Et patet ratio, cur CARTE. SI Us curvas distinxerit in algebraicas & non algebraicas, quarum illas Vocat geometricas, has vero mecha
nicas i propterea quod existimavit, il. Ias solas in Geometriam recipi posse, inopi Oper. Maiaem. TOm. V. 2 7 has vero ex eadem excludi debere ;quod ignotavit aequationes differemtiales, de quibus dicemus in Analysi
infinitorum , & quarum ope non minus algebraice tractantur curvae, quae a CARTEs Io mechanicae appellantur , quam quas geometricas appellat. Et sic patet ratio divisionis Curvarum in algebraicas & transcendentes,
quam tradimus g. 377, 38o Analysi
S. I97. Notandum vero est artificium , t o aequatio curvae particul ris reducitur ad generalem, quae infinitas curvarum species sub se comprehendit : id quod fit exponentium indeterminatorum surrogatione in locum determinatorum : quo artificio jam usi sumus in anterioribus, veluti in theoremate generali de binomio ad dignitatem quamcunque evehendo S. sue Analys. . Probe quoque notandum est , quod in istiusmodi
aequationibus observanda sit lex homogeneorum, quae praecipit, ut temmini singuli aequationum habeant dimensiones numero aequales, hoc est, ut unus valor prodeat, ductis tot
rectis in se invicem, quot in se invicem sunt ducendae, ut prodeat quilibet alter. Etsi enim in Geometria non detur magnitudo, quae ultra solidum , quod trium dimensionum est & tribus rectis in se invicem duinctis resultat, assurgit ; in Algebra tamen fictione non inutili admittuntur
hypersolida , quae ductu quotlibet rectarum in se invicem in infinitum resultant. Nititur haec fictio princi-
269쪽
us DE STUDIO MATHESEOS RECTE INsTIT.
pio, quod intcr duas lineas infinitar cadere possint lincar mediae continue proportionales , quemadmodum ex genes potentiarum in infinitum progredientium liquet; voluti si ponas
numeros in progressione geomctrica I , a, 6, 8, 16, 3a, &c. in infinitum, hoc est I, et , a , a F &c. in infinitum , ubi inter I & 2 una, interi & a 3 duae, inter I de a ' irra, inter I & a quatuor cadunt numeri medii continue proportionales, & sic porro in infinitum. Etsi enim hic numeri omnes, quorum ductu in se invicem resultant termini ulteriores, sint inter se aequales; constat tamen, vel ex Geometria es emcntari, in qua V. gr. recitangulum reducitur ad quadratum eidem aequale, de parallelopipedum ad cubum sibi aequalem,
ca, quae ductu linearum inaequalium in se oriuntur, reduci posse ad talia, quae oriuntur ductu totidem aequalium in se invicem. Sufficiant haec in gratiam tyronum dicta, ut ipsis aliqua lux affindatur in considerandis hypersolidis, quae Algebra admittit. Inprimis autem attentionem meretur a quatio, quae eminenter conain et omnes a quationes ad algebraicas curvas. Etenim in eo latent tria artificia, nimirum I '. quod a quatio. nis alterum membrum sit nihilum,
de quo artificio jam supra diximus
S. I 8s); a'. quod terminus unus repraesentet in casu particulari plures, Mi adeo coeficientes explicandi sint non uno, sed diversiis modis, 3'. quod in aequatione nulla habeatur ratio signorum, quae in particularibus v riant aequationibus , sed termini omnes afficiantur signo Φ , ne opus sit plures formare aequationes generales, ubi omnes particulares sub una comprehcndi possunt, quod sane artificium maximi faciendum. Enimvero ut applicatio sormulae generalis manifesta evadat , iubet cam applicare ad circulum. A quatio generalis est: Ο - - - 0 ε - - V- o Equatio ad circulum . 13 Φ ax-x Vides hic abesse v, nec ullum adest membrum constans ex mere cognitis, adeoque cy in Φ o, consequenter formula generalis contracta haec relinquitur: - μ' - o
adeoque b-a,n I -- I, 2Docet adeo hoc ipsum exemplum, quomodo terminus unus in generali comparetur cum pluribus in particulari , ut coefficientes indeterminati in generali determinentur ex pari,culari. Patet etiam , quomodo
signum Φ in formula generali non obstet, quo minua coeficiens negatia
270쪽
cip. IV DE STUDIO ALGEBRAE. is s
iris determinetur ex particulari, dum hic reperitur ι-- i. Habet nimirum , in casu praesenti valorem duplicem , alterum positivum q-a , al
S. I 08. Qui quae de circulo diximus probe pcrpendit, ci non haerebit aqua circa ca, quae de sectionibus conicis aliisque curvis in praesenti capite, & de locis geometricis insequente demonstrantur. Incepimus a parabola , quae est sectionum conicarum simplicissima. AEquatio ejus I M. Quodsi fiat
tam , ad quam refertur, AX. Sit alia abscissis AP - υ, eidem respondens semiordinata PM-α,
3'. Quando igitur abscissia para- metro aequalis , ctiam sciniordinatacidem aequalis cst , consequenter si abscissa parametro aequalis, sem oris dinata & abscisis aequales sunt. Sit I
4'. Si ergo semiordinata semipara- metro aequalis, quarta diametri partea vertice A seu origine sua distat. Quodsi aequationem ad parabolam
cum a quatione pro omnibus curvis algebraicis conferre volueris ἰ cum haec sit t
Haec addere libuit, ut appareat, eodem modo tractari posse aequationem ad parabolam, qua tractavimuS aequationem. ad circulum. Cetera enim patent per resolutioncm problematum in hoc capite propositorum. Kk a S. Iss. Disitirso by Corale