장음표시 사용
271쪽
,so DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIΤ.
. I99. De methodo tangentium, qua utimur problematis I 8 I, I 89 ,ao8, S, qio,Ho, 69I MAU. , quaedam adhuc annotanda sunt. Tan. gentes curvarum facillime determinantur per calculum differentialem,
quemadmodum in Analysi infinitorum docemus. Quoniam vero secti lncs conicas referre minime licet ad ldiametrum, nisi praesupposita tangen- ste , cui semiordinatae sunt parallelae l& quae ex puncto contactus ducitur ;ideo necessarium fuit tangontem de- terminari per Algebram communem. Adhibuimus itaque methodum CARTES i , quae nititur hoc principio, quod in contactu duae radices evadant aequales r id quod superius in Tab. II. circulo reperimus S. Is s 3. Pona-R ' mus enim rectam TR secare curvam in
M & N ; evidens est, quod , si abscissae AP & Aindicantur x, eisdem respondere duas semiordinatas PM & QN, per quas ' in aequatione explicari
potest. Ducatur alia ιν , quae candem curi am secat in punctis m& n:
habebimus denuo duas semiordinatas m de 'n, per quas explicatur 1 inaequatione data. Patet autem a scissam unam PM continuo crescere,
di alteram QN continuo decrescere, donec punctis M & N in contactu coincidentibus, in aequatione data una alteri fiat aequalis. Ad haec qui animum advertit , nullo negotio ac-prehendet , quomodo ad methodum istam pervcnire licuerit. Patebit autem suo loco, subtangentem per banci methodum prodire candem in sectio,
nibus conicis, quae invenitur per calculum differentialem. Etsi autem haec methodus videatur universalis, ad tantas tamen in curvis altioribus calculi perplexitates deducit, quae vix videmtur superabiles. Unde in ca perficicnda plurimum desudarunt Geometrae , donec tandem ope calculi differentialis obtentum fuerit quod
S. io Anast . Quodsi hic ponas
Quamobrem patet, Io. in origine abscissarum curvam secare rectam p sitione datam, ad quam refertur. Si fiat x - a
adeoque denuoy o Unde liquet, a . cu am quoque secare rectam, ad quam refertur, si absecissa fit datae a aequalis, adeoque con cavitatem obvertere eidem rectae: cκ quo porro sequitur, cum m altera parte codem modo sese habeant, quae modo reperimus , curvam esse
272쪽
3'. AEquatio adco ad ellipsin degenerat in aequationem ad circulum, ut circulus pro specie quadam cilip. seos haberi possit, nacturus nomencllipseos aequi latcrete , nisi jam antea nomine circuli insignita suisset haec
Quodsi a ponatur infinita , erit inaequatione ad ellipsin Ladeoque 3 Cum adeo aequatio ad ellipsin degeneret in aequationem ad parabolam, ideo liquet '. In locum ellipseos , cujus axis infinitus est, surrogari posse parabolam eandem cum ellipsi para-
Quodsi quis haereat in infinitate axis elliptici, & in eo , quod hinc
colligatur o; is evolvat, quae
in Ontologia de infinito mathematico demonstravimus. S. 2o I. Eodem modo in hyperbola quoque generalia quaedam ex aequatione ejus colliguntur. AEquatio ad hyperbolam cst : MΦM , seuerit 3 o Patet ergo 1 - φ . . I . in origine abscissarum curvam secare rectam positione datam, ad quam ea resertur. Sit x acrit 3 ab Φa b: a- ab Φ Α- rab
transverso aequalis , semiordinatam fore mediam proportionalem inter axem transvertum & duplam para-
Patet adeo 3'. si abscissa fuerit para.
metro aequalis semiordinatam esse mediam proportionalem inter param trum & compositam ex parametro &tertia proportionali ad axem tran versum & parametrum. Sit alia abscissa v, alia semiordinata eidem respondens α ἱ erit per naturam curvae bul
273쪽
asa DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
crescere seiniordinatam ; adeoque curvam continuo magis magisque ab axe recedere; consequenter in infinitum continuari
Quodsi aequationem pro hyperbola cum generali pro omnibus algebraicis
Reliqua in ipsa Analysi reperiuntur.
S. 2oa. Enimvero applicemus eandem methodum ad aequationem pro hyperbola intra asymptotos. Quoniam x - ab ,
adeoque, I infinis Patet itaque I '. in origine abscisis rum semiordinatam esse infinitam. Similiter cum si v -
adeoque I -QUnde liquet 2'. rectam , in qua sumuntur abscis, cum curva non concurrere nisi intervallo infinito, seu ab eadem non distare nisi intervallo infinite parvo i quatenus ab quantitas ordinaria per infinitam divisa dat particulam infinite parvam , quae reia pective nihilum est. Sit jam alia abscissa m , semiordinata alia i , erit per naturam curvae
adeoque et Q x Videmus ergo 3' crescente abscissa decrescere semiordinatam ἡ conis sequenter lineam curvam continuo magis magisque ad eam appropinquare rectam, in qua sumuntur semioris
Quoniam itaque haec cum curva non concurrit nisi infinito intervallo, aut potius ab eadem non distat nisi quantitate infinite parva , quaad
274쪽
op. IV DE STUDIO ALGEBRAE. 263
illa in infinitum continuatur svinum. 24 ; & in origine abscissarum semio didinata infinita vi num. I i curVacontinetur inter duas rectas , quae in infinitum excurrunt, & ad quas curva continuo propius propiusque accedit, nunquam tamen easdem secat. Continetur adeo inter asymptotOS. Ex hoc exemplo apparet, quomodo ex aequatione colligatur, quod cur-Va , quae per eam definitur, habeat asymptotOS. S. 2o3. Sed demus etiam eXcmplum in curva quadam superioris generis, cujus aequatio perplexa vide tur. Sit itaque x Φ χὐ3 - 1 x
invenimus pro Conchoide prima sive superiore g. 1 38 Anal.) ; crit
Quare 3 infin. 3 infin. Patet itaque I '. in origine abscis-Brum semiordinatam esse infinitam , consequenter cunae asymptotum.
Quando igitur Σ'. abscissa fit ipsi a
aequalis, semiordinata nulla est, ademque curva rectam, in qua sumuntur abscissae, secat. Quoniam 3 ex infinita nulla evadit, dum x cx nihilo degenerat in a ; cesse est 3'. crescente abscissa dccrescere semiordinatam.
Est igitur , latus trianguli rectanguli , cujus hypothenula componi-
ordinata infinita dicatur regula, recta. b distantia poli a regula, recta Verois distantia verticis a regula, quemadmodum termini in Conchoide recepti sunt S .s 33 Anal. i semiordinatam esse crus trianguli rectanguli, cujus hypothenuis componitur ex. tertia
275쪽
16 DE STUDIO MATHESEOS RECTE IN S ΤΙΤ.
a polo distantiam, atque distantia ejusdem regulae a vertice, crus vero alterum ex abscissa & distantia regulara polo.
Hinc s'. ex data abscissa BP , distantia regulae a polo BC, & a vemtico BA, reperitur semiordinata PM, si ex P intervallo BA intersccetur regula in Ο, & recta Po producatur, donec perpendiculari CH in polo erecta in H occurrat ἔ tandemque intervallo CH intersccetur PM ad AB perpendicularis in M. Quoniam enim PB x, PO a, BC-b; crit OH- - consequenter PH - F a, trianguli rectanguli PCH hypothenusa. Quamobrem cum porro sit CP - b Φ xi erit CH consequenter quia PM CH; erit
PM semiordinata quaesita. Quodsi fiat CL PB & CN - BA, ac LN ad BC perpendicularis ; recta CNproducta statim resecabit semiordinatam PM. Manifestum itaque est, quomodo eX arq uatione eruatur modus deteria minandi geometrice punctum curvae respondens cuilibet abscissae, quamvisa quatio primo intuitu videatur admodum perplexa. Ceterum in applicatione methodi generalis adhibentur varia artificia, cx anterioribus i cquidem nota , quae tamen tyroni non statim succurrunt. Quamobrem hinc clucescit, quod jam laepe inculcavimus, artem exercendam esse per exempla, non per regulas particularcs: etsi particulares annotandae sint, ubi occurrunt; ut tanto facilius se currant, quando donuo iisdem opus habemus. Non addimus de conchoide alia , quae ex ejus aequatione deduci poterant, ne simus justo prolixiores. S. ao . Etsi ex dictis appareat, ductum curvae hac methodo facillime indagari polse, ut de reliquis taceamus ἱ non tamen existimandum est, idem in qualibet promiscue curva eadem facilitate succedere. Eicnim si in aequationibus altioribus occurrunt termini , quos duae indeterminatae ingrediuntur, nec carum separatio in promptu est , quemadmodum vidimus in conchoide g. ro 3 ; haerebit
Quodsi ponamus x - a, prodibit 3
- ab - a3 , arquatio cubica affecta, ex qua radicis cxtractio dissicilis &cujus constructio geometrica per inferiora demum patet. Similiter, quamvis per calculum algebraicum, quae quaeruntur, haud raro mira facilitate eruantur, quemadmodum supra vidimus in circulo S. is 34, &plurima capitis praesentis problemata loquuntur, quae de sectionibus conicis proposuimus; subinde tamen cauculus prolixus & intricatus evadit, prouti videre licet in probi. I93, I9y,
276쪽
g. aos. Nos sectiones conicas conia sideravimus in plano & aequationes againsimus, quae cas definiunt. Hinc vero nondum constat, curias istas esse sectiones coni, nisi supponas theo Hiam sectionum conicarum a Veteribus traditam, tanquam cognitam. Quamobrem consultum csse duximus analytice demonstrari, sectione coni prodire has ipsas curvas, quas in plano consideravimus , & quarum descriptiones, proprietates aliaque symptomata Ex aequationibus affuintis de
teram aequationes, quas assiimsimus, Cruere ex proprietatibus , quas cxsectione coni derivavimus r sed cur hoe minime fecerimus, jam monuimus S. 1 14 AM J. EX. gr. pro parabola ex sectione coni deduximus
Quare si ponamus, constantem a talem assii mi, ut sit γ' - ax; ex idens est fore etiam q-o, atque adeo in omni puncto curvae osse quadratum semiordinatu aequale rectangulo cxabscissa in eandem rectam constantem. Pol sic autem a talem assumi, ut sit 3 a x patet , quia a tertia
proportionalis est ad abscissam &se ordinatam. Idem etiam hoc missu Oper. Atii m. TOm. V. modo patere poterat. si alternan do csse debet 3 : x - qx: M S. ITIArishm. cum ratio non sit nisi homogeneorum S. Iro Arishm. x deo
denotare debent rcctangula, quorum latus unum unius est x , latus unum alterius e , latus vero alterum unitas seu recta , quae pro unitate sumitur S. 373 Geom. . utique cadem utro
haec recta eificere debet rcctangulum I x , .equale quadratost , unitas ista degenerare dcbct 'in tertiam proportionalem ad x & 3 , quam fore
eandem cum tertia proportionali ad ρ & α per modo demonstrata patet. Unde manifestum est, aequationem ad sectionem coni praesentem esse
Notandum adeo hic est, si in aequationibus non appareat lex homogeneorum Observata, termini pauciorum dimentionum coel ficientem csse unitatem , seu rcctam quandam determina tam , quae pro unitate sumitur. Cum autem quaelibet recta pro uni ate assum polst, unitatem csse eandem non sumendum , sed demonstrandum est. Ita sumere licet 1: - x, ubi cocniciens ipsius x cst i ; si mere quoque licet q- - α, ubi cociscicns ipsius αcst 1. Enimvero non licet sumere coel ficientes ipsarum x & α csse a quales ; sed hoc demonstrandum, quemadmodum ex modo diciis claret. Nihil hic supponitur, quod non sit ex
notione numeri rationat s .ntegri manifestum, quem incommuni Arth- Ll mctica Disitiam by Corale
277쪽
,ss DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
metica practica eonsideramus; modo ad communia perpendenda omnematiciationcm afferamus: qua neglecta, haud in o haerent tyrones, ubi sumuntur quae per ea patent, & ad ardua magis applicantur; nili fideMathemati. corvin tanquam vera admittere velint, quorum rationem minime capiunt. g. ao6. Id quoque notandum est, in a quationibus, per quas dc niuntur curvae, originem abscissarum non semper assumendam esse in aliquo curvae puncto , ctiam si recta, ad η lam curva refertur, eandem secat
vel tangit; sed eandem esse posse quodvis punctum aliud in eadem
recta assumtum. Ita ex. gr. in si
eulo , si peripheriae puncta referuntur Tab. I. ad diametrum AB, origo abscissarum H ι' -Τ' statui potest in centro C, ut sit PC- x , PM - 1 & radius AC - MC- a. Quoniam enim MCι - PM
sinit , quam altera, quam supra dedimus , & unde circuli genesin atquc proprietates, cum aliis symptomatis, deduximus g. is 3 . Atque ex hac uatione cadem deducere licet, quae ibidem ex altera deduximus , si tan quam data supponatur , ut adhuc ignoretur, ad quam nam curvam ea sit. Etenim si hic ponas
Ι - Ο Unde patet 1'. si abscisa fiat semi- ordinatae, quae in origine abscissarum est vi num. I , a qualis, curvam secare rectam politione datam, ad quam
Quoniam a -3 Φ xx, ideo liquet , 3'. Hypothenusam trianguli rectanguli , cujus crura sunt abscissa&semiordinata, ad quodvis punctum curvae esse candem , conssequenter cum haec hypothemiis constanter ex origine abscissarum ducatur, rectas Omnes ex origine abscissarum ductas ad curvam esse inter se ara ualeS. AEquatio adco nos deducit ad gcne-sn circuli non minus, quam ad definitionem esus nominalcm ; & , ubi definitio circuli ex clcmentis nota supponitur, hinc discimus, a uationem esse ad circulum. Immo potest origo abscissarum etiam extra cCntrum statui, veluti in L , ubi ALr,b. mconstans est , & abscissa LP. Sitrii. x s. enim AL-b, AB-a, L x, PM-3 , erit AP b Φ x , PB a-ι-x, consequenter ob PM AP. PBντα ab - ιδ Φ -- a lx-x
278쪽
CH. IV DE STUDIO ALGEBRAE. 26 Quodsi hic ponas
Unde liquet, I '. in . origine ab scissarum semiordinatam esse mediam proportionalem inter rectam quandam constantem , & differcntiam ejus a constante alia a.
quam fieri posse ipsi a aequalem, sed
-υ ε ab μ ιι Videmus itaque 4'. si abscissa fiat . , semiordinatam esse Z. . Quodsi ponamus
AEquatio igitur degenerat in aequa-tioncm ordinariam pro circulo S.
Licet etiam originem abscissarum statuere extra circulum , veluti in N, ut sit, NP - x, adeoque si NA-b, AP κ-b. Et similiter abscissas computare licet in aliqua a contro C distantia, ut earum origo vel sit inter A & C, vel inter C & B. Haec si notcnt tyrones , in doctrina de locis geometricis & constriictione aequationum altiorum nihil prorsus lentient difficultatis. Patebit etiam, quomodo ad formulas generales plana sit via. Quae vcro hic annotamus de relatione curvarum ad rectam, quae curvam in puncto quodam sciacat, eadem quoque locum habent, ubi eandem referre libuerit ad rectam extra curvam quomodocunque sitam. Nec oleum atque operam perdunt tyrones , si in omni casu possibili aequationem ad circulum invcstigent, ut methodum definiendi curvas per aequationem intimius inspiciant benefficio exempli omnium facillimi ¬issimi , idem imitaturi in curvis aliis, quod in circulo iecere. g. ao7. Enimvero abunde ea docuimus , quae in hac methodo lucem accendunt tyronibuI, ne in ton c-
279쪽
, fg DE STUDI MATHEs Eos RECTE INSTIT.
hris palpitcnt ad magis ardua pro. gressi, quemadmodum vulgo accidere solet. Sed dicenda quoquc nonnulla sunt de lineis non algebraicis , quarum nonnullae sub finem capitis Tab VI. definiuntur. Definimus Quadraticem Di Nos TRATIS, per a lx, tibi κ denotat arcum AN , a Quadrantem AB, b radium AC, &3 portionem radii AP , quae ad radium
eandem rationem habet, quam habet arcus AN ad Quadrantem. Qilamobrem etsi aequatio alias definiat triangulum rectangulum aequi crurum; consequenter in ea spectetur relatio rectae, quae hypothcnusa est ad crus unum , in quo sumuntur abscissae ;p1 aesenti tamen in casu aequatio, quae eadem videtur, prorsus diversa est. Etenim in casu priori, quando est ad triangulum rectangulum aequicrurum, a Acae denotant lineas rectas ; in posteriori autem, quando ad Quadratricem est, a designat quadrantem, x arcum circuli quadrante minorem. AEquatio igitur algebraica non est I nisi cum in ea singulae literae denotent i
stante aequationes istiusmodi , quas curvae lineae ingrediuntur , tractari
possunt codem modo, quo ante tractavimus a ebraicas : quod succcd re ipsa praeiens aequatio docere potest. Etenim
Undc liquet, quamprimum x fit quadranti aequalis, rectam AP , quae designatur per ν , degenerare in radium
Si κ - las labEvidens igitur est, dimidio quadranti respondere radium dimidium. Eadem adeo eliciuntur, quae per genesin Quadratricis manifesta sunt. Quod vero etiam alia ignota hinc
deduci possint, suo patebit loco S. 33 Anal. in . : id quod omnino
notandum, ne nullum in usum aequatio ista data videatur. Singulare quid habet aequatio, quod non exprimat relationem ipsius curvae ad rectam positionem datam per se, sed relationem potius curvae alterius, nimirum Quadrantis circuli, cujus ope determinatur punctum M ;quod rectae AP & arcui AN, hoc est duabus indeterminatis 3 dex respondet. Exprimit stificet relationem amcus AN ad rectam AP , qualis esse debeat, ut ipsi AP respondeat punctum M in Quadratrice. Data enim hac relatione datur etiam punctum M.
280쪽
Quoniam vero I adeoque AP quarta proportionalis ad arcum AN, quadrantem AB & radium AC; determinatio puncti M dependet a rectificatione indefinita circuli , consequenter a circuli quadratura. Ceterum Quadratrix insinuat artificium reductionis constructionis curvarum
ad curvas simpliciores, supposita harum quadratura vel rectificatione: neque enim in omnibus curvis rectificatio pendet a quadratura, prouti in circulo obtinet vi. theor. 7. S. I 28 Anal. , quemadmodum suo loco videbimus , ubi de quadratura & rectificatione curvarum agitur. Artificium hoc maximi momenti est in Analysi infinitorum ad Geometriam sublimiorem applicata , quemadmodum patet per problemata physico- lmechanica, qualia in Elementis Me- lchanicae occurrunt. Quamobrem lconi ultum est , ut tyrones, qui ad ltertium cognitionis gradum adspirant, tempestive annotent, quom Ο-do inventa Vetcrum recentioribus Geometris insinuaverint artificia, aut saltem insinuare potuerint, siquidem attentionem suam deficere non fit runt passi. S. 2o8. Notandum adhuc est, posse etiam cur, as reserri ad curvas alias positione datas, quemadmodum referuntur ad rectas positione datas, ita ut abscillae sumantur in curva
Positione data , quemadmodum sui muntur in recta positione data: quodi ut facilius intelligatur, dabo CX m-plum. Sit A Mo parabola Apollo-Tab. H. t -- seu primi generis. Produca 's' 'l tur semiordinata PM in N , doneci recta MN habeat ad arcum parabo-l licum AM cam relationem , quam habet semiordinaia PM ad ejus abscissam AP; evidens est, si arcus AM- x, MN 3 & recta quaedam constans a , fore γι - ax. AEquatio haec ab aequatione ad parabolam in j co discri, quod ae denotet arcum parabolicum AM, cum in quationei ad parabolam denotet rcctam AP.
Ccterum cadom cx aequatione hac deducuntur, quae ex aequatione ad
parabolam , nisi quod theoremata
ingrediatur arcus parabolicus. Nimirum cum sit 3 , ax; sciniordinata MN est media proportionalis
inter arcum parabolicum datum A M& rectam quandam datam constantem a , quae tertia proportionalis est
ad quem is arcum parabolicum &ipsi respondentem sciniordinatam. Et quemadmodum in parabola quadrata semiordinatarum habent rationem abscissarum , ita semiordinatae curvae ANR sunt in ratione arcuum parabolicoruin ipsis respondentium.
Hoc artificio jam usus cst ARCHIMEDEs in spiralibus qui cas retulit ad peripheriam circuli tanquam ad
axem. Facile autem apparet, relationem semiordinatae MN ad arcum AM exprimi possc per aequationem