장음표시 사용
281쪽
, , DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
potest per aequationcm ax-xz, quae cst aequatio ad circulum S. Is 3 . Si ponamus x - a
Unde liquet punctum R cum puncto o coincidere, adeoque curvam AR parabolam Ao secare in in Si fiat x - Ia Patet itaque , si arcus parabolicus Ao bisecetur, fore MN arcui dimidio aequalem. Ponamus ex adverso )
Unde manifestum est , in nullosio puncto , quam in medio arcus Ao arcum parabolicum AM rectae
MN aequalem esse. S. 2os. Praeter sectiones conicas definivimus potissimum eas curvas, quae a Veteribus fuerunt inventae,& quasi recentiores Geometrae addiderunt, antequam Algobra ad Geometriam sublimiorem applicaretur & doctrina curvarum amplificarctur. Vcteres praeter circulum, parabolam , hyperbolam & ellipsin considerarunt conchoidem , cinoidem , quadratricem, atque spirales, & recentiores addiderunt logarithmicam & cycloidem, cui deinceps accessit epicyclois. Tenendum nimirum est, Veteres non animum advertisse ad curvas , nisi quatenus problematis geometricis solvendis inserviebant. Duo autem apud ipsos cclcbrabantur problemata; alterum scilicet de inveniendis duabus mediis continue proportionalibus inter duas rectas datas . alterum de quadratura circuli. In usum prioris problematis solvendi NICO MEDEs invenit conchoidem , DI cLEs cis idem : posterius autem problema per spirales solvere tentavit ARCHIMEDES, per quadratricem DINOSTRAT E s. Recentius quadratura circuli tentata per cycloidem, ad cujus imitationem , si gonesin illius spectes, inventa opicyclois. Cum vero togarithmi cssent inventi & tanta utilitate in Mathesin practicam recepti ; in usum logarithmorum reperta est logarithmica, ad cujus imitationem deinceps cxcogitata logistica spiralis. Nostrum crat lineas curvas veteribus celebratas non praetermitte re silentio, qui lectorem nostrorum Elementorum ad Matheseos universae cognitionem innuducere intendimus, praescr-
282쪽
CU. IV. DE STUDIO ALGEBRAE. 27 I
praesertim eum inventis recentioribus ansam dederint, quae a Veteribus inventa fuerunt, quemadmodum jam hinc inde annotavimus. Logarithmica autem & cyclois usum praeclarum nactae sunt in problematis physic mechanicis, pro uti suo loco in Elementis Mechanicae ostendimus. Earundem itaque mentionem injicere debuimus. Habet quoque usum prorsus cximium epicyclois in Mcelia. nica practica, & aliis in v qntis reccntioribus ansam dedit. Quamobrem nec hancce silentio praeteriri fas erat. Quadratricem TFsimhau nam & Li.
Neam linuum, tangentium atquc sc- cantium non alio fine adjecimus, quam ut constaret, quomodo curum
rum gencses excogitari possint: quem in finem etiam adiecimus problemata
ultima hujus capitis g. 37s ct sqq.
S. 381, 383 Anal.) simul discimus,
quomodo curvae superiorum generum describi possint ope curvarum generum inferiorum. Ecce igitur tibi rationem, cur hasce potissimum curvas in praesente capite conlidera
- S. aro. Postquam ostendimus, quomodo Algebra utamur in cruendis curvarum descriptionibus, proprietatibus, alitique symptomatis: ad
Carum usum in construendis probi malis exponendum progredimur. Primum itaque docemus, quomodo problemata indeterminata construantur. Atque eo fine capite sexto lagitur de locis geometricis. Doctrinam hanc invenere veteres Geom tra' ; sed Recentiores ad eandem Algebram applicare coeperunt , ubi constabat intersectione duorum locorum construi aequationes altiores. Problemata indeterminata, quemadmodum vidimus superius cap. 2, sect. a , duas habent quantitatos incognitas, quarum, una pro arbitrio assum. ta, determinatur altera ; quemadmodum iidimus in curvis algebraicis assumta abscissa pro arbitrio dctorminari semiordinatam : id quod ctiam obtinere , si recta quaedam positione data referatur ad rectam aliam itidem positione datam, ex iis liquet, quae in Geometria de lineis proportionalibus inveniendis demonstrata sunt. Ita in triangulo rectangulo Tab. II
ABC , habet PM ad AP rationem si constantcm ipsius BC ad AB ; atque adeo sumta AP pro arbitrio , perrectam AC determinatur PM. Dum itaque problema indeterminatum construimus, omnes reperimus rectas
possibiles, quae eandem datam rei tionem ad se invicem habent. Unde si ad rectam positione datam applia centur parallelae, & quaeritur in recta
positionc data punctum , quod sit
origo unius indeterminatae , atque linea secans omnes istas parallelas, ut ad ipsas respondontes portiones in linea positione data habeant ea dem relationem datam ; problemati satisfactum. Hinc vero patet , cur linea ista dicatur L
283쪽
1', DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
cus ἰ quia nempe continet omnes lineas rectas, quae in problemate in locum indeterminatarum substitui possunt ; seu quia in ea sunt fingula
puncta , quibus terminantur rectae, una indeterminatarum pro arbitrio assumta, determinanda . EX. gr. in
triangulo rectangulo hypothcnuia AC
est locus omnium rectarum propor
tionalium cruribus AB & BC: et nim continuatis rectis AB & AC in infinitum , intra cruia hujus anguli
continentur omnes istae proportionales , quarum una sumitur in AB altera vero determinatur per rectam
AC ; & in recta AC sunt om mapuncta M, quibus terminantur indeterminatae ad AB normales , ut fiant assumtis AP in data ratione proportionales. Ratio est relatio simplici Lsima, quam exhibet recta ad rectam aliam relata. Relationcs vero cetera constantes repraesentantur per lineas curvas ; qualis cst in circulo , ut quadratum semiordinatae sit aequale rectangulo ex segmentis diametri. Videmus adeo aequationcs quae duas involvunt lineas incognitas. geometrice construi posse; quatenu, c.rdum exprimunt relationem constantem , quam habent singula lineae curvae puncta ad rectam positione datam, seu quatenus eadem sunt aequationes ad curvam quandam lineam, quam definiunt. Atque ideo aequationes , quas an tu diximus aequationes ad curvam, hic vocantur lo-
. a II. Monuimus in anterior,bus , curvam rcferri possc ad quamlibet rectam positione datam , sive ea curvam secci in vertice , sive in alio quocunque puncto, sive eandomnon siccet, sed tota intra cam cadat intervallo vel nullo , vol dato ab eadem distans, & sive axi fuerit parallela, sive ad eundem obliqua. Hinc detcrminantur omnes casus possibiles aequationum localium : quae quomodo reperiantur, ex iis patet, quae de circulo paulo ante ostendimus Cum S L U s i υ s aequationum localium usum in construendis aequationibus
cubicis & biquadraticis docuisset;
Pill LIPPUs DE LA HIRE Algebram ad loca geometrica applicavit,& in omni casu aequationes loca es ad rectam , circulum, & sectiones conicas in vcstigare docuit : quod idem fecit OZANAM Us. Enimvero cum sic plurcs prodirent aquationes particu arcs ad eandem lincam ;Jo ANNEs CRΑ1Gl i s aequati nes genera es investigavit ad sectioncs conicas, quae omno particulares Eminenter continent: cujus cXemplum
secutus Hos ITA Litys. Nobis quoque placuit generalia invenire theoremata construendi omnes aequationes loca es ad rectam & sectiones conicas I cum pCr ca constructiones problematum indeterminatorum, Via vero analytica, crui possint. Rcm penitius examinanti constabit, non aliis hic opus esse artificiis, quam quae paulo antς insinuavimus, cum de aequationi
284쪽
CU. IV DE STUDIO ALGEBRAE. 273
tionibus ad circulum ageremus. Theoremata generalia inveniuntur,
si investigentur theoremata in casu maxime composito ; in quo linea , ad quam refertur curva, ponitur esse ad axem obliqua, & origo abscissarum distarc a vertice , vel centro curvae, si quod habet, aliquo intervallo. Etenim si hic quaedam lineae constantes supponantur nullae, inaequatione termini evanescunt , qui in eas ducuntur, sicque prodit aequatio in casu simpliciori. Hoc fieri
debere observavimus superius , cum in circulo origo abscissarum statuere Tab. II. tur in L intra verticem A & centrum Fig. f. C. Vidimus enim si ponatur AL o, aequationem in eo casu repertam 3
in aequationem ad circulum ax- , in casu simplicissimo, quando origo abscissarum est in A. Enimvero non modo aequatio magis composita, hoc pacto, reducitur ad simpliciorem ; verum etiam schema , quod cxhibet constructionem illius arquationis , degenerat in schema , quod hujus repraesentat constructionem. Ex. gr. si fuerit LH o, li-Me. νς. nea DH incidit in D L, adeoque pars Algςb- schematis , quae vclinquitur, casum istum reptadsentat, in quo rceta positione data DL, ad quain refertur curva AMB, cst axi ASP parallela. lQuodsi porro fiat KD o, relinqui- ltur pars schematis, quae repraesentar Icasum, in quo abscisia computantur in axc ultra verticem continuato ΚS, Wopi Oper. Mathem. TOm. V.& origo earum statuitur in aliqua avertice distantia Κ. Denique si etiam ponatur AK- o, prodit schema cais sum ordinarium exhibens, in quo a scisse sumuntur in axe AS, & origo abscissarum in vertice. Methodus
adco qua utimur, non modo aequationes locales omnes ad eandem curvam una aequatione includit, eodem artificio , quo aequationes omnes ad curvas algebraicas ad aequationem unicam generalem reduximus fg. 38s
Mais.) ; sit ita quod ibidem aliud
praeterea artificium adhibendum erat, quo hic non habemus opus ς quial ibidem aequationes omnes una somi mula comprehendendae, non eranti ejusdem gradus , quemadmodum in praesenti obtinet; sed etiam unico
schemate omnium aequationum localium constructiones comprehendit.
j Quaenam haec sit praerogativa prael methodo communi, qua singuli casus sigillatim expenduntur; facillimo
negotio animadvertet, qui, quae de l locis geometricis tradimus, cum iis conferre voluerit, quae de iisdem docet DE L A HI RE, vel OZAN
S. a II. Unum adhuc superest, quod de theorematis hisce generalibus observandum, ne eorum applicatio turbet tyrones. In schemate nostro supponimus, originem abscissarum removeri ultra verticem , ita ut abscissa linea quadam data cxcedat abscissam ordinariam. Enim vero vidimus supra , originem carundem M m etiam
285쪽
a 4 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
etiam statui posse ex parte altera, veluti in L, ita ut abscissa LP deficiat ab abscissa ordinaria linea quadam data A L. Similiter rectam axi palaticlam , vel ad cum obliquam
ponimus ultra cundem , ut augeat semiordinatam ordinariam PM rceta quadam data ; cum tamen etiam ha
lineae ita duci possnt cx parte opposita, ut semioidinata QM vel in deficiat ab ordinaria PM, linea quadam data PQ , vel PR. AEquatio igitur localis generalis non videtur
omnes aquationes particularcs continere , nec schema illi respondens
comprehendere Omnia schemata, quae harum construetionem exhibent. Dubium hoc ut tollatur , nostrum est docere, qua ratione innotuerit, quo modo iidem quoque casus in eo, ad quem computavimus aequationcm , contineantur. Supra reperimus aequa.
tionem ad circulum, si origo abscissarum fuerit in L, 1 -A-b Φ ax- 2ιx-x . Ponamus jam originem
AEquationem hanc a superiori non differre videmus nisi signis & hanc diversitatem hinc oriri observamus, quod ibi abscissa ordinaria AP sit x - ό , hic vero b - x. Quodsi e go aequationes istae redigantur ad nihiluin, quemadmodum in hac doctrina fieri solet; habebimus in eo casii, ubi abscissarum origo in N,
in casu autem Opposito , ubi origo abscissarum in L ,
semper eliceretur politivus, cum in priori coeficiens negativuS comparandus esset cum negati VO - 2b, in posteriori coeficiens positivus cum 4- ab. Quod ii vero quationem , quae cum formula posteriori conserridebebat, cum priori componis, adeo que quantitatem politivam cum n
gativa , nccesse est ut valor ipsius bprodeat negativus. Si - b substituas in locum Φ b in a quatione altera ;pro H- 2bx habebis ' χιx , pro se ab vero ψ- Αἱ ducendo scilicet - a in -b: ast bi retinet signum suum, quia b in b efficit Φ ι . Atque sic aequatio posterior degenerat in priorem ψ ut adeo prior in utroque casu adhiberi possit; modo notra, quoties in casu particulari lege comparartionis valor ipsius b elicitur negativus , toties sumendam esse rectam eidem respondentem ex parte Oppo sita, ut sit AL b. Idem cum eo dem modo obtineat quoad distantiam parallelae axi ab eodem Pinmanifestum cit , cur una sormula satisfaciat in casu utroque , modo
observetur, quod de valore negativo Dissit Zoo by Corale
286쪽
In aequationis particularis cum generali comparatione prodeunte anno-τab. II. lavimus. Idem adhuc clarius patet
in parabo a. Etenim si fuerit SA- b , SP - x , adeoque AP - κ-ό ; erit ex natura Parabolae, si parameter fuerit a,
Hic denuo patet, a quationem posteriorem non differre a priori, nisi diversitate signorum in iis terminis,
quorum coeficiens cst b ; in priori enim habemus Φ ab , in posteriori
ab. Quamobrem ubi in applicatione formulae generalis, quae ad casum priorem spectat, confers terminum negativum aequationis ad casum posteriorem spectantis cum positivo, qui ex formula casus prioris sumitur; valor utique prodire debet negativus
pro A L. Patet otiam hic, si inaequarione posteriori pro Φ b substituas - , , ducendo b in - a, prodire adeoque aequationem pos teriorem degenerare in priorem; quemadmodum ex adverso prior abit
in posteriorem, si in priori substituas - b pro Φ b. Quodsi enim ducas
Φa in- b, prodibit - ab , quemadmodum habet formula posterior. Videmus adco , quomodo innotuerit , candem formulam subire posse vicem duarum , si valoris hegativi
quantitas sumatur ex parte opposita. Immo videmus, perinde osse, sive in formula generali abscissam & semi- ordinatam statuas ordinariis AP &PM majorem, sive minorem ; ut adeo nulla ratio intrinseca fuerit clectionis , sed tantummodo extrinseca rquod ideo monemus , ne quis in Philosophia hinc petat argumentum contra principium rationis sufficientis in electionis casti. Utimur codem artificio, non sine maxima utilitate , in Analys infinitorum seu calculo differentiali & integrali , quemadmodum suo loco videbimus; ubi ex
eadem ratione Valorem negativum
sumimus pro magnitudine ex parte opposita sita. Absit itaque ut tibi persuadeas, hoc fieri ex natura quantitatum privativarum ; & hinc colligas, quantitates privativas esse veras quantitates, seu in numero positivarum , cum satis constet eas non denotare nisi defectum quantitatis verae, seu positivae, per positiVam, quae deficit, aestimabilem ; quemadmodum pecunia, quae debetur, non est parata pecunia , quam habes, etsi per paratam pecuniam aestimetur, quae solvenda, ut debitum tollatur.
Nullae revera sunt quantitates negativae, etsi utiliter in usum calculi unia versalis fingantur. Cavendum Omnino est, ne entia ficta Mathematicorum confundantur cum realibus in
detrimentum scientiae philosophicae. s. 2I3. Hinc simul patet ratio,
287쪽
irs DE SΤUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
cur in casu particulari demonstraturi constructionem ex formula generali elicitam ; eruendo ex hac aequationem ad construendum propositam;
non utamur valoribus negativis, qui per comparationem cum formula generali prodeunt, sed iis substituamus positivos: id quod fieri non licebat,
si per naturam quantitatum valor esset negativus. Valor negativus v. gr. T b. u. rectae A L nonnisi fictilius est ; quate- nus aequatio , unde elicitur, r praesentare fingitur casum, quem non repraesentat i cum revera non exhibeat
nisi cum , in quo origo abscissarum est in N; propterea quod , hac fictione,
eadem formula sufficere deprehenditur in utroque casu, quam absque ea nonnis in uno adhibere liceret, nimirum quando origo abscissarum est in N. Extra hanc fictio iem utique contradictorium est, quantitatem po- stivam esse aequalem pri alivae; quemadmodum etiam in ipsa Analysi contradictionem inde colligimus, atque X ea porro , notioni impossibilis convenienter, cf. 97 Ontol.) impossi
Ex eo itaque, quod Valor ipsius γάprodit negativus, qui producit pro 'radicem imaginariam ; insertur , impossibile esse, ut abscissa fiat diametro aequalis , recte omnino, cum idem per se pateat, ubi supponis notum esse, quod aequatio sit ad circulum, & origo abscisarum in L, cum abscissa major
esse nequeat recta LB a b. Nimiurum hic colligitur, hypothesin x a esse absurdam ; quia hinc sequitur , quantitatem positivam esse aequalem privativae , aut radici imaginariae . quod absurdum esse supponitur. S. 2I . Ut usus formularum generalium in construendis aequationibus problematum indeterminatorum clarius elucesceret, aliquot exemplis eundem illustrare lubuit S. 393 Anal.). Patet per ea , Ope istarum formularum, nos Via vere analytica deduci ad problematum inis determinatorum constructionem, ac constructiones semper obtineri concinnas, quales in Geometria desiderantur I ut adeo non solius brevitatis gratia easdcm praetulerimus metho do communi , qua usi sunt DE LAHi RE & OZANAM Us. Dedimus quoque exempla , S. Is 7 , o oo Anal. , quibus ostenderemus , qu . modo , ex constructione locorum, deriventur arquationes locales , ut appareat ad quamnam curvam sit locus constructus. Quoniam vero id intendimus, ut, dum artificia Analyseos inculcamus , simul doceamus Veritates mathematicas cognitu utiles ; ideo selegimus constructiones
288쪽
cuivarum, quas pro fornicibus com- proportionalis ad axem majorem &mendant Architecti, ut constaret, eas esse ellipses A sionianas. AEquatio-
-- o esse ad ellipsin , constare
poterat ex collatione cum formula
generali pro ellipsi S. 188 Anah .
Quodsi consueto more hanc aequationem cum formula ista compareS, deprehendes a csse axem majorem, dvero minorcm ellipseos. Etenim vissimulae generalis
Quoniam parameter ι est tertia minorem g. a 3 Ana VJ ; cum a sit axis major, erit d minor, & obp-ἰa abscissae computantur a vem tice Similiter aequationem alteram 3 Φ - - - - o esse ad ellipsin,
cjus cum formula generali collatio prodit; & illius cum hac compar tione secta patet, quod a sit axis di midius major, d vero dimidius minor. Etenim vi formulae generalis
a dx Quoniam a est dimidius axis major , & parameter i tertia proportionalis ad axem majorem & minorem f. a 3 Mat. , seu quarta ad dimidium axem majorem , minorem dimidium, & minorem integram S.
289쪽
ατ8 DE STUDIO MATHEI EOS RECTE INSTIT.
-a originem abscissarum esse in vertice ellipseos. S, a I s. Utraque aequatio localis, etsi ex diversis constructionibus eruatur, eadem est; nisi quod in posteriori a& ddenotent semiaxes, in priori autem
integros axes conjugatos. Forsan non inconsultum erit hic docere, quomodo constructio utraque eruatur exaequatione ordinaria ad cllipsin. AEqua tio haec est)-x- - , in qua b parametrum, a vero axem majorem denotat. Quoniam parameter est tertia proportionalis ad axem majorem a &
- d . a. Quodsi ergo in aequatione ordinaria hunc valorem in locum ipsius b surroges ; habebisi in x in es, a is a
a : d - - - x : IPatet adeo semiordinatam in ellipsi esse quartam proportionalem ad axem majorem, minorem & semiordinatam circuli super axe majore descripti ci-dem cum semiordinata ellipseos abis Fab. nicisse respondentem. Quamobrem cum pro a de d sumi etiam possit I a
super axe majore describatur semici cuius & in P erigatur perpendicularis
PN, ductaque centro C radio CN
in eum transferatur CR semiaxi minori aequalis , ac tandem ex R demittatur perpendicularis RM ; fore punctum M in ellipsi t quae est ipsa constructio SERLLI ex aequatione ordinaria elicita. Cum cnim sit Mi
Poteramus itaque constructionem Sertianam ellipseos jam ex aequatione ordinaria elicere in superioribus, cum doctrinam de cilipsi traderemus. Etsi autem aequatio ex altera construi ctione elicita cadem sit cum anteriOre ex ea tamen non minus deduci poterat constructio altera. Etenim Tab.m.
sit ellipsis ADB , cujus axis major fu 7'AB, semiaxis minor EF. Describatur, radio CD, semicirculus EDF,& erecta perpendiculari PM ducaturaxi AB parallela MN, ex N vero demittatur perpendicularis Nin, quae erit ipsi PM aequalis. Si sit AG - a, DC- d, AP - x, erit aequatio ad
290쪽
Quare si ad semiaxem majorem, &m in orcm ellipseos , atque abscissam AP pro albitrio assumtam, quaeratur quarta proportionalis, erit ea abscissa E in cui respondet semiordinata QN in circulo semiordinatae ellipseos PMaequalis. Quodsi displicet rcsolutio per ana lysin lationum ; analogiam, qua ni titur constructio, per Algebram quoquc reperire licet. Etenim
Notanda hic sunt artificia, quibus, constructiones ex aequatione ordinaria eliciuntur. Nimirum in aequatione ordinaria substituimus valorem parametri, quam ex cadem elicuimus , ut eandem ingrediantur nonaisi lineae in ipsa contentae. Ita eniin prodibat aequatio , cujus in analogiam resolutione constructio prior erat manifesta. Ex eadem aequatione in analogiam resoluta prodit quoque altera ; substituendo valorem quadrati semiordinatae ellipseos ex circulo circa axem minorem descripto. Equidem praevidere non licet, quid per substitutionem sit proditurum , non tamen ideo ea negligenda est. Ubi ienim veritatem quaerimus; tentanda sunt omnia , donec incidamus in theoremata & constructiones problematum. Principii substitutionis magna vis est in Analysi t efficit enim aequationem dependentem a pluribus veritatibus , ut jam ex ea per reductionem cadem crui possint, quae cκ iisdem more Veterum ratiocinando colliguntur. S. 2I6. Enimvero ut intelligant rib.m. Urones, idem artificium etiam in aliis F. s.
curvis adhiberi posse , lubet hoc ipsum applicare ad hyperbolam. Prishyperbola aequatio ordinaria est a bx Φ -- Est etiam hie, si axis
Quodsi ergo hunc valorem in aequa. tione ordinaria substituas, habebis. in x , d, x