장음표시 사용
291쪽
ag, DE STUDIO MATHESEOS RECTE INsTIT.
Quodsi ergo ex centro hyperbolae C erigas CD d, & super BP, abscisia AP pro lubitu assumta, describas semicirculum secantem perpendicularem in A crectam in N, & PN ax εκ transferas cx B in L , tandemque in L erigas perpendicularcm LI , Occurrentem rectar per B& D duetie in I ; crit LI semiordinata 1 abscis .e AP respondens. Quamobrem, si fiat recta P M ad BP per- pcndicularis I Ii erit punctum Min hyperbola. Cum in praxi non opus sit semicirculum describi , sed
ex medio BP, tantummodo intersecanda recta AN in N , & intervallum PN ex B in L transferendum ; quo G vis in hyperbola punctum M hoc modo facillime determinatur, ut con struetio pro non ineleganti haberi possi. Notent igitur hic tyrones, quod ad artificia , quibus in solutio.
nibus problematum utuntur Autor S, animum attendere debeant, eadem
statim adhibituri ad alia , quantum
ipsis datur. Nec inconsultum crit, ut Aurores, qui de sectionibus conicis commentati sunt, evolvant, &ubi theoremata & problemata clegantia occurrunt, ea analytice investiganda sibi proponant. Ad hoc
studium ut eos incitaremus, iisdemque viam, qua eundum, commonstraremus , ca in medium proferre
Iibuit, quae de ellipsi Ac hyperbolad eta sunt. Unicum adhuc addendum. In hyperbola aequilatera adeoque lx- , consequem
ter PM-PN. Quamobrem punctium M in eadem nullo fere negotio de termin tur, scilicet si ex medio BP, intervallo ἱ BP, intersecetur AN in N, & intervallo PN intersecetur PMin M ; ut adeo non opus sit, nisi in A erigi perpendicularem infinitam. f. III. Nos non progredimur ultra loca solida , in quibus acqui
Verunt Veteres : neque enim haec doctrina ultra hosce limites multum
vit lineas tertii ordinis , seu curvas secundi generis, quarum arquationes ad tres dimensiones ascendimi. Eam esse completam demonsti avit STtR-L I N G I u s , simulque ostendit, quomodo , aequatione curvae tertii ordinis data, inveniatur locus, hoc est, species curvarum dignoscatur, ad quam eadem est. Enimvero haec non sunt ad captum tyronum , in quorum usum conscripsimus Elementa nostra ; neque adhuc ea ratione pertractata, ut eadem facilitate intelligantur, qua a nobis prop sita capiuntur. Neque etiam opus
est , ut hac doctrina sis instructus, ubi ea , quae in sequentibus tradimus , intelligere volueris; immo eadem ignorata non impeditur progressus in Analysi recentiorum, qua Geometria ad naturam applicatur. Hoc non eo fine monemus , ut praeclaris inventis laudem suam detrahamus ;sed ne tyrones remorentur progressum ad ulteriora ; affectantes scientiam eorum , quorum ignorantia eidem
292쪽
dem minime obstat. Monitum igi- hic utimur, tota huc redit, ut con- eur nostrum exigit ptarsens institutum. struantur duo loca, quorum interse- Ultra enumerationem linearum tertii ctione determinatur radix aequatio- ordinis, seu curiarum secundi genc. nis, seu linea recta, quae cidem res, ris, nemo adhuc progressus. Atque pondet. Invenit eandem S L U S i V s. adco doctrina de speciebus curvarum Etsi enim non desint, qui cam Jam algebraicarum tanto adhuc intervallo C ARTE fio perspectam fuisse condistat a perfectione sua, quanto ab tendunt; certo iamcn, quod affir- eadem distare Algebram monuimus. mant, probare minime possunt; cum Abunde tyronibus ad altiora adspi- alia quoque via in regulam suam in-rantibas sulficiunt ea, quae de locis cidere potuerit, quam in Geometria geometricis tradidimus. Et ubi ad ar- pro construendis aequationibus cubiti ficta , quibus in doctrina hac expia. cis & bi quadraticis, per parreolamnanda utimur, animum attulerint at- & circulum, pra scribit. Quemad-tentum , ut cadem animo distincte modum vero inventa Veterum pro
comprehendant ; iisdem plurimum fuerunt Recentioribus ad invenienda juvabuntur in altioribus, quae dein- sua, quibus ad ulteriora progressuris ceps sequuntur. Hoc auxilio me- nsui sunt inventa anteriora ; ita du-thodus comparationis aequationum i bium non est, quin Veterum quoque particularium, in quibus coefficicntes inventa iacem protulerint S Lusio indeterminatarum sunt determinati, ad methodum suam construendi aequa. Cum assumtitiis, in quibus coefficien- tiones cubicas & biquadraticas inve-tes isti indeterminati sunt, familiaris niendam. Etenim cum Veteres mul-
redditur. Ejus autem in Analysi tum desudarent in duabus lineis EF,
multus est usus. GH , mediis continue proportiona-
S. II 8. Doctrinam de locis geo- libus inter duas datas AB , CD, in-I I
metricis non solum proposuimus in veniendis; MEN ECHMUs Via vere usum constructionis problematum in- analytica perven t as solutionem pro- determinatorum , cujus ideo dedi- blematis tantopere celebrati, ope inmus aliquot exempla; sed & in usum tersectionis dua um parabolarum. Constructionis aequationum altioriim, Atque in hac ipsa constructione con- praesertim cubicarum & bi quadrati- tinetur idea ejus methodi , quam carum. Quamobrem capite septimo S Lus id s primus reperit: id quod docemus primum in genere, quomo- ut appareat , analylis MEN ECHMIdo aequationes superiores construan l paulo disertius explicanda. Quoniam
tur , & mox in specie , quomodo I GH teria proportionalis ad AB &ERCOnstruantur arquationes cubicar & bi. t itidemque CD tertia propori onalis quadraticae. Methodus autem, qua ad EF & GH; habemus
293쪽
a81 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
Pa tot itaque , quadiatum primarmedarum continue proportionalium csse aequato rectangulo cx data prima AB in quaesitam alteram, seti modiarum continuae proportionalium secundam ; quadratum vero secundae mediarum continuo proportionalium csse aequale rectangulo ex datarum ahera in primam qua sitarum seu continue proportionalium. Quoniam
in parabola quadratum semiordinatae est aequale rectangulo ex parametro in abscissam; igitur patet si, para- metro data una AB , describatur pa. rabola ; secundam quaesitarum GH fore in numero abscisiarum, & eidem rcspondentem semiordinatam fore primam quaesitarum EF : contra si, parametro data altera CD , describatur parabola; secundam quaesitarum GH fore in numero semiordinatartim ejusdem , & eidem respondentem abscissam fore primam quaesitarum.
esse abscissam ivi parabola una &semiordinatam in altera, & quae in una semiordinata est , eandem esse Tab.IΠ. abscissam in altera. Obtinet hoc sduae parabolae, AMR & AMO, circa axes AD & AE, ad angulos rectos junctos , describantur ; in puncto enim intersectionis semiordinata PM parabolae AMR aequalis est abscissae Ainparabolae alterius AMO , & vi
cissim semiordinata QM parabolae AMO aequalis est abscisse AP p
rabolae AMR. Patet itaque si rectae datae sumantur pro parametris parabolarum AMR AMD ; rectas AP & PM fore duas medias continue proportionales inter duas istas
rectas datas. Hic est modus inveniendi duas lineas medias continue proportionales inter duas datas.
rum intersectione determinatur semi- ordinata PM, quae radici aequationis 33 - ab o respondet. Constructio adeo ME NEC Ilaii in simiat ideam methodi SL UsIANAE.
ansam quoque dare soterat inveniendae rcgulae tartesia , qua aquationes cubicae & biquadraticae con struuntur. Nimirum cum cx illo
constet, aequationem cubicam construi per duas parabolas , quarum
mutua intersectione determinatur radix ; in Arte inveniendi autem tentaminibus multa relinquantur; facile animum subit cogitatio tem ii, num citaculus
294쪽
culus quoque per verticem parabolarductus in puncto intersection s cX traverticem determinet radicem aequa- hWhtionis cubicae. Sit itaque centrum circuli, per verticem parabolae A descripti, in C ; si ex eo in axem parabolae demittatur perpendicularis CD, cui-dens est per rectas AD & DC determinari & centrum C , & radium A C. Sit itaque PM -I, parameter a, AD - b, DC c. Demittatur ex C perpendicularis CR ad semiordinatam PM ; erit RM - 1-c,& ex natura Parabolae AP - f.
st ab Patet itaque, intersectione circuli porverticem parabolae transeuntis & parabolae , construi posse aequationem cubicam , in qua secundus terminus deficit. Ut jam determinetur valor ipsius b, seu rectar AD, & valor ipsius c,
seu rectar DC ; sit aequatio alteri aequivalens
Quodsi cum C ARTEs Io sumas parametrum pro unitate , & fiat in axe AH sem parametro, erit
hoc est, recta H D est aequalis coeffiacienti dimidio termini tertii, & DC coefficienti dimidio quarti , secundo
deficiente; quemadmodum habet re gula CARTES II. Non aliis hic utimur artificiis, quam quibus usi sumus in determinanda tam gente sectionum conicarum juxta methodum C ARTEs II S. qio, 66O , si Analis).C A RT E s 1 Ο itaque constructio Me NECHMi, qua utitur in inveniendis duabus mediis continue pro portionalibus inter duas rectas, ansam dare potuit inventcndi regulam construendi aequationes cubicas in quibus secundus terminus deficit; S artificia ipsi familiaria, quibus hic utitur, animum avertere potuerunt ab idea con-N n a struct in
295쪽
, g DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
structionis per combinationem duorum locorum in constructione M ENECHMI contenta, ad quam eundcmadvertit SL Usi US ; ut adeo certo
asseverari non possit , methodum Sis nam cognitam jam fuisse C ARTE flo, & eadem hunc pervenisse ad regulam suam. Quicquid sit, utile tamen est tyronibus perpendisse,
quomodo inventum MENECHMlanalytice expensum, & ideam constructionis aequationum superiorum per combinationem duorum locorum , & ansam inveniendi regulam construendi aequationes cubicas, in quibus secundus terminus deficit, ad bi quadraticarum constructionem deinceps extensam , praebcre potuerit; siquidem ad tertium cognitionis gradum adspirant. - Quoniam ex qualibet aequatione secundus torminus
auferri potest S. 343 Anal s) & hoc
pacto aequationes cubica' omnes reducuntur ad tres casus S. 3Αs An ) ; regula C A R T E s I I, quae secundum terminum deficere supponit, omnibus omnino arquationibus cubicis construendis susscit ; etsi haud difficile sit candem quoque extendCre ad eas aequationes, quae secundum torminum habent, quemadmodum operose ostendit B A R E R. V s , nos brevius docuimus fg. εχ et Anal. . Cur vero methodum Stasianam pra Gramus regulae Cartesianae a B A Κ E R o extensae, rationem reddimus in scholio probi. 14s. S. 6o8 Analysi . S. Ho. Notandum Vero est, quod constructiones a quationum cubic, rum & biquadraticarum vere analyticas tradiderimus ; ut adco in iis industriam suam utiliter exerccant, qui ad tertium cognitionis gradum a mspirant. Tanta autem perspicuitate doctrinam hanc exposuimus, ut, qui
in anterioribus industriam suam desiderari non fuerunt passi, nihil prorsus dissicultatis sentiant. Inprimis autem hinc discere licet, quomodo
tollatur omnis difficultas, quae ex numis longa rerum moditandarum serie nascitur. Quamobrem huc animum advertant, quotquot meditationibus longis adsuescere voluerint. Quod qui faciunt, hunc utique percipient fructum , ne longitudine meditati num defatigentur. Id tantummodo adhuc mon us tyrones, ut, ubi lincus construendus, formula generalis, cum qua particularis data consere
da , cx superioribus exscribatur , &eidem aequatio localis construenda subscribatur, ut termini comparandi sibi invicem respondeant. EX. gr. in problemate a s c S. 6o7 Anal. locus ad circulum est 3 Φ xx - ο- o. Formulae igitur generali ea ita subscribitur, quemadmo. dum hic factum esse vides :
296쪽
appareat, quinam termini sint nihilo aequales in casu particulari dato. Hoc nimirum pacto statim videmus, quinam coefficientes lint invicem comparandi, & quinam poni debeant nihilo aequales; ne ex confusione
oriatur error. Quamvis Vero, prolixitatis evitandae gratia, non omnia combinavimus loca , quorum aequationes ex aequatione cubica vel bi- quadratica clicuimus; qui tamen ingenium & industriam suam exercere voluerint, hoc non inutiliter facient. Ubi vero , comparatione aequati num particularium, cum formula generali facta, valores omnes linearum
ad constructionem loci requisitarum fuerunt determinati : oculi convertendi sunt in schema formulae generali rospondens & delendar lineae, quarum valores reperti sunt nihilo aequales: ita enim relinquitur schema aequationi . particulari respondens. Quamobrem si lineis remanentibus
adscribas valores modo rcpertoS
statim videbis, quomodo locus sit construondus. Et ubi schemata duobus locis respondontia inter se confers ; illico patebit, quomodo unum alteri sit imponcndum, ut lineae, quae utrobique eaedem sunt , sibi mutuo
congruant; consequenter quomodo aequatio data sit construenda. Hac via si incedere volueris, non modo aberit molestia , quae o nimis diu continuanda meditatione suboritur ;verum etiam constructione ad finem
perducta voluptate persundetur ania 3 sinus , qua' studium Matheseos continuo magis magisque tibi commendabit, & ardorem in eodem progrediendi accendet. In primis ctiam lensum evidentiae acquires ; statim posthac an madversurus , ubi distincte . perceptis quaedam permiscentur, quae adhuc confuse percipiuntur: id quod inprimis usui est extra Mathesin, ubi confuse perceptorum cum distincte
perceptis commixtio magis nocet,
quam in Mathesi ; praesertim iis in casibus, in quibus intellectus ab ima
ginationc avocandus totus, ut Verita
tem liquidam verspicias. Hoc etiam obtinebis, ne nimia festinatione te praecipites I & ut inter multos strepitus attentionem conserves t eam
que interrumpere possis, quotiescunque volueris, certo semper tramite progressurus, quando visum fuerit;
quemadmodum viator recta via incedens ab cadem minime aberrat, nec iter jam emcnsum repetere tenetur, ubi gradum sistit, quotiescunque libuerit. Neque verendum est, ut diuturna meditatione defatigetur animus & sanitati corporis insidiae stria antur. Non opus est, ut in hisce assi rendis multum studii colloccmus, quamvis ad singula demonstranda a
priori principia suppeditet Psychologia nostra. Qui enim dictis obediens
fuerit, in seipso experietur, veritati consentanea esse , quae dicimus non loquentes nili experta. S. 22 I. Quoniam idem problema
multis modis construi potest , cum N n 3 V. gr.
297쪽
186 DE STUDIO MATHESEOs RECTE INsTIT.
V. gr. cidem aequationi cubicae satis- lfaciat non modo cujusvis loci solidicum loco ad circulum, Verum etiam
cuiusvis loci solidi cum quovis loco solido combinatio ; quaeri omnino
poterat, quaenam curvae sint ceteris praeferendae'. CARTES Us aequatio. nes cubicas & biquadraticas non construit nisi per parabolam & circulum; cisi non ignoraverit, easdem quoque construi posse per ceteras sectiones conicas , atque circulum. Videtur utique hoc fecisse, quod aequatio parabolae & circuli sit simplicior aequationibus ceterarum secti onum conicarum. Cum enim vitium is
His, ipsi sit, s aequatio construatur per lineas superioris cujusdam generis, quae construi potest per lineas generis inserioris , veluti si aequatio cubica vel biquadratica construatur per curvas secundi generis, cum construi possint per curvas primi generis; cx ejus lcm omnino generis curvis cas praeferre debuit, quae per aequationcs simpliciores definiuntur.
Rectate autem monuit NEWTONus, in construcitione problematum geΟ- metricorum non respiciendum esse
ad aequationes curvarum , sed potius ad carum descriptionem ; ita ut hae praeserantur aliis, quae sunt facilioris descriptionis. Unde ad construenda problemata solida adhibet con choidem , etsi ea fit tertii generis. Immo non improbat, si quis ad da.
tum angulum in data ratione secandum utatur cycloide, quae motu rotae, vel circuli, super recta facillime describitur; cis ea per nullam a quationem algebraicam definiri possit.
Eis autein aequationes cubicae ac bi quadraticae Omnes per circulum ¶bolam construi possint ; non ta-mcn ideo consultum est, ut non aliis
etiam sectionibus conicis in istis
aequationibus construendis utamur.
Etenim ubi problemata algebiaice solvimus, haud raro incidimus inaequationes locales alterius sectionis conicae, quam parabolae; ut adeo sua veluti sponte sese osterat ad constructionem , cum parabola demum anxie quaerenda esset; & , per aliam sectionem conicam quam parabolam, haud raro multo concinnius construi potest. Quaedam adco lineae quibusdam problematis videntur quasi propriae , ita ut destinentur eorundem constructioni; quia pariunt elegantem , & simpliciorem , .s linearum rationem habeas, ex quibus datis
quaesita determinanda ; cum constructiones ceterae evadant intricati ros, ct schemata pariant confusa , si omnes constructiones subsidiariae eidem simul inserendae , ncc curva supponatur tanquam data, nec lineae ex coelsciciatibus terminorum reperiundae tanquam jam repertae. S. 2aa. Apud Veteres celebrabantur problemata, de inveniendis lineis duabus modiis continue propo tionalibus inter duas datas , & de trifcctione anguli. Cum cnim per Geometriam Elementarem facillime ii
298쪽
cis. IV DE STUDIO ALGEBILE. 287
veniatur media proportionalis inter duas datas , & angulus non minus faelle bisecet tir , per solas rccitas &circulum , seu per Geometriam ese. mentarem ; Veteres primum horum problematum solutiones intersectione rectarum & circuli quoque tentarunt, sed frustra. Unde ad constructiones per alias lineas cui as confugiendum
tandem erat. Quamobrcm nostrum quoque erat , ut , constructiones
aequationum cubicarum & biquadraticarum illustraturi, horum inprimis
problematum rationem haberemus. Distinxerunt vero ideo Veteres problemata in plana, solida, & linearia. Plana appellarunt, quae per rectas &circulum construi possunt, quia hae lineae supponuntur in plano descriptae ; solida, ad quorum constructiones adhibendae sunt sectiones conicae, quae, cum per coni dati sectionem prodeant , tanquam in solido datae
supponuntur. Cumque praeter rectam , circulum , & lectiones coniacas, lineas alias in Geome fiam recipere nollent ; problemata plana &1olida sola geometrica appellarunt, quemadmodum etiam lineas illas solas geometricas dixerunt. Per alias vero lineas construenda problemata, mechanica vocarunt; ipsasque, quarum Ope construuntur, lineas mechanicas nuncuparunt. Ast C ARTES I U s, connubium Arithmeticae cum Geometria introducens , cum vid rei sectiones conicas per aequationes
definiri posse algebraicas, & praeter
eas dari curvas innumeras alias, quae per istiusmodi a quationes definiuntur; hasce omnes illis aequiparavit &in Geometriam rccipicndas esse intulit; in numerum mechanicarum rejectis , quae aequationes istiusmodi
respuunt. Invento autem calculo disterentiali; cum curvae, CARTES lomechanicae dictae , non minus per
aequationes differcntiales definiantur, quam ccaerae per oldinarias, & ad constructiones probi matum utili is- morum adhibeamur, quemadmodum in Mechanicis videbimus; his quoque aditus , in Geometriam factus. Unde multo amplior evalit speculationum geometricarum campus, quia Veteribus intra nimis arctos limites coercebatur. Sane inventa longo praeclarillima ex Matheli exularent, si recentiores Geometrae vestigiis, vel Veterum, vel CARTES II, imsistere voluissent. S. 223. Non omnia problemata per rectam & circulum construi posse, inventio duarum linearum mediarum continue proportionalium
inter duas datas , & trisectio anguli docuit; & ex aequationibus algebraicis, ad quas ducunt solutiones problematum , patet ratio. Quemadmodum enim aequationum quadratic rum constructio pendet ab invenienda una linea media proportionali inter duas alias quomodocunque datas I ita constructio cubicarum supponit duas inedias continue propor
299쪽
,88 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
tionalcs, constructio biquadraticarum tres in cnicndas & ita porro. Inaequationibus puris hoc ipsum obvium cst ; in affectis non minus ostendi potest. Suificiat nobis in gratiam tyronum id ostendisse in aequationibus puris. AEquatio quadratica pura est x ab. Patet hic esse
adeoque constructurus aequationem invenire debet mediam proportionalem inter a & b. . AEquatio cubica pura est x3 - ax , adeoque κη - a b κ
Igitur a. x. r. b sunt continue proportionales. AEquationem ergo cubicam puram constructurus, invenire debet duas medias continue proportionales inter datas a & b, quarum prima x est radix aequationis cubi caesurae
Similiter aequatio biquadratica Pura est
tinue proportionales; S a quationem biquadraticam puram constructurus, invenire debet trcs medias continue proportionalcs inter duas datas a Zeb , quarum prima x est radix aequationis. Intersectio rectar & circuli nonnisi unam exhibet lineam mediam continue proportionalem inter duas. Quamobrem si plures invcniendae supponuntur, sola rectae ac circuli intersectione obtineri minime possunt. Hinc duarum inventio deduxit M E N E C II M u M ad intersectionem duarum parabolarum , quemadmodum vidimus supra S. D 8 . S. 226. Forsan autem non inutile erit, si hic exemplo aliquo ostendamus, quomodo inventio duarum linearum mediarum continue proportionalium ad aequationcs cubicas aste ctas deducat; ne quae de extremis quomodocunque datis diximus obscura videantur , nec satis a tyronibus intelligantur. Sit igitur problema tale : Data quatuor quanιιtatum continue proportionalium prima est differentia quarta a secunda; invenire singulas. Resolutio haec erit. Sit Quant. I a Quant. II x
300쪽
Videmus itaque constructionem aequationis cubicae affectae dependere ab inventionc duarum mediarum proportionalium inter duas extremas, quarum prima simpliciter datur, altera autem per differentiam a prima mediarum. Ad constructionem vero sese offerunt aequatio ad parabolam x - - o, & aequatio ad hyperbolam intra asymptotos v--- - Α- Ο.Cum vero etiam sit x: 1 3:κ-badeoque I x -M, consequenter
3 -x bx - o i loco hyperbolae intra asymptotos offert etiam sese hyperbola aequilatera. Eodem modo ex sequente problemate liquet, quomodo inventio unius mediae proportionalis ducat ad aequationem quadraticam affectam. Scilicet , data quantitatum continue proportionalium prima se disserentia tertia a secunda, invenienda sit secunda. Sit itaque Moysi Oper. Mathem. TOm. V. Quantitas I a Quant. II - κDiffer. II & III b crit III - κ-badcoque per conditionem problematis
Non sine ratione addimus exemplum aequationis quadraticae affectae, propterea quod harum arquationem constructionum reduximus ad inventionem linearum reciprocarum F. a 61 Anal. ; ne existiment tyroncs veritati consentaneum non csse, quod eadem pendeat ab inventione mediae proportionalis inter duas extremas ι quomodocunque datas. Poterant casus omnes a quationum cubicarum per inventionem duarum, casus vero omnes aequationum biquadraticarum per inventionem trium mediarum continue proportionalium illustrari;
siquidem prolixioribus esse licuisset.
S. aas. Doctrina de numellis irr
tionalibus illustratur problcmate ass63o A L), in quo ostendimus,
quomodo numerus irrationalis quicunque per lineam primatur ; ut intelligatur, cur Veteres quantitates irrationales non in numeris, sed in
continuo considerarent, unde oriuntur , adeoque eas ad Geometriam retulerint. Attentionem denique meretur usus constructionis aequationum ad curvas datarum, per combinationem locorum a cum hoc